单元检测卷(一) 解三角形-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

单元检测卷(一)　解三角形 (时间：120分钟　满分：150分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订) 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．在△ABC中，A＝60°，a＝，则＝(　　) A．2 B． C． D． 答案：A 解析：由正弦定理可知＝＝＝2．故选A． 2．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案：C 解析：c2＝72＋82－2×7×8×＝9，所以c＝3，所以B最大．cos B＝＝－.故选C． 3．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝60°，b＝6，sin A－2sin C＝0，则a＝(　　) A．3 B．2 C．4 D．12 答案：C 解析：因为sin A－2sin C＝0，所以由正弦定理可得c＝a，因为B＝60°，b＝6，所以由余弦定理可得b2＝a2＋(a)2－2a··＝62，整理可得a＝4.故选C． 4．在△ABC中，下列结论：①a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，则A为60°；③a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC为等腰三角形．其中正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：①a2＞b2＋c2⇒b2＋c2－a2＜0⇒<0⇒cos A<0⇒A为钝角⇒△ABC为钝角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc⇒b2＋c2－a2＝－bc⇒＝－⇒cos A＝－⇒A＝120°；③与①同理知cos C>0，所以C是锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．④因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，则由正弦定理可得：sin C－sin A cos B＝(2sin A－sin B)cos A，即sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，即sin B cos A＝sin A cos A，所以cos A＝0或sin B＝sin A，A，B，C∈(0，π)，则A＝或A＝B，所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．故选A． 5．在△ABC中，a2＋b2－ab＝c2＝2S△ABC，则△ABC一定是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案：B 解析：由a2＋b2－ab＝c2得，cos C＝＝，所以∠C＝60°，又2S△ABC＝a2＋b2－ab，所以2×ab·sin 60°＝a2＋b2－ab，得2a2＋2b2－5ab＝0，即a＝2b或b＝2a.当a＝2b时，代入a2＋b2－ab＝c2得a2＝b2＋c2；当b＝2a时，代入a2＋b2－ab＝c2得b2＝a2＋c2．故△ABC为直角三角形．故选B． 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，又因为b＝c，所以a2＝b2＋b2－2b×bcos A＝2b2(1－cos A)，由已知a2＝2b2(1－sin A)，得sin A＝cos A，因为A∈(0，π)，所以A＝.故选C． 7．如图，山高BC＝300 m，一架无人机Q上的仪器测得山顶C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，图中各点都在同一铅垂平面内，则此无人机距离地面的高度PQ为(　　) A．100 m B．200 m C．300 m D．400 m 答案：B 解析：根据题意，可得Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300 m，所以AC＝＝＝200 (m).在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，由正弦定理，得＝，解得AQ＝＝200 (m)，所以在Rt△APQ中，PQ＝AQ sin 45°＝200×＝200(m).故选B． 8．锐角三角形ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　) A．1＜a＜3 B．1＜a＜ C．<a< D．不确定 答案：C 解析：因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＞0，cos B＞0，cos C＞0，所以b2＋c2－a2＞0，a2＋c2－b2＞0，a2＋b2－c2＞0，所以1＋4－a2＞0，a2＋4－1＞0，a2＋1－4＞0，即3＜a2＜5，所以<a<.又c－b<a<b＋c，即1<a<3．由得<a<.故选C． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.根据下列条件解三角形，其中有一解的是(　　) A．a＝6，b＝5，B＝45° B．c＝6，A＝60°，B＝45° C．a＝6，b＝7，B＝30° D．a＝6，b＝7，C＝60° 答案：BCD 解析：对于A，因为a＝6，b＝5，B＝45°，所以sin A＝＝＝<1，且a>b，所以角A有两解，故A错误；对于B，因为A＝60°，B＝45°，所以C＝75°，故只有一解，故B正确；对于C，因为a<b，B＝30°，所以角A只有一解，故C正确；对于D，a＝6，b＝7，C＝60°， 则由余弦定理可知，c确定，故只有一解，故D正确．故选BCD． 10．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形 C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 答案：ACD 解析：因为tan A＋tan B＝tan (A＋B)(1－tan Atan B)，所以tan A＋tan B＋tan C＝tan (A＋B)(1－tan A·tan B)＋tan C＝tan Atan Btan C>0，又A，B，C是△ABC的内角，所以角A，B，C都是锐角，故A正确；若acos A＝bcos B，则sin Acos A＝sin Bcos B，所以2sin A cos A＝2sin B cos B，所以sin 2A＝sin 2B，所以A＝B，或A＋B＝90°，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故B错误；若bcos C＋ccos B＝b，sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A＝sin B，则A＝B，所以△ABC是等腰三角形，故C正确；若＝＝，则＝＝，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，所以△ABC是等边三角形，故D正确．故选ACD． 11．如图①是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．受其启发，某同学设计了一个图形，该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形，如图②所示，若AB＝7，DE＝2，则(　　) 　　 A．BD＝3 B．AD＝5 C．cos ∠ABD＝ D．△ABD的面积为 答案：ABD 解析：设BD＝x，则AD＝2＋x.在△ABD中，∠ADB＝180°－60°＝120°，由余弦定理可得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，即49＝(2＋x)2＋x2－2(2＋x)x·(－)，整理得x2＋2x－15＝0，解得x＝3(－5舍去)，所以BD＝3，AD＝5．则cos ∠ABD＝＝＝，所以sin ∠ABD＝ ＝，所以△ABD的面积S＝AB·BD sin ∠ABD＝×7×3×＝.故选ABD． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．) 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c cos B＝2a－b，则C＝________． 答案： 解析：方法一(正弦定理边化角)：根据题意，在△ABC中，由2c cos B＝2a－b，得2sin C cos B＝2sin A－sin B，变形可得2sin C cos B＝2sin (B＋C)－sin B，则有2sin B cos C＝sin B，即cos C＝，因为C∈(0，π)，则C＝. 方法二(余弦定理角化边)：根据题意，在△ABC中，由2c cos B＝2a－b， 得2c·＝2a－b，变形可得a2＋c2－b2＝a(2a－b)，即a2＋b2－c2＝ab， 所以cos C＝＝，因为C∈(0，π)，则C＝. 13．在四边形ABCD中，AB＝6，BD＝3，BC＝4，∠ADB＝∠CBD，A＝60°，则△BCD的面积为__________． 答案：6 解析：＝，所以sin ∠ADB＝＝1，所以∠ADB＝90°，S△BCD＝BD·BC＝6. 14．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________，周长最小为________．(本题第一空2分，第二空3分) 答案：　3 解析：由c2＝(a－b)2＋6，可得c2＝a2＋b2－2ab＋6，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，所以a2＋b2－2ab＋6＝a2＋b2－ab，所以ab＝6，所以S△ABC＝ab sin C＝×6×＝.因为a＋b≥2 ＝2 ，当且仅当a＝b＝时等号成立，此时c＝，所以周长最小为3 . 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(13分)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，(b2－c2)＋2b＋＝0，且△ABC的面积为. (1)求b，c的值；(5分) (2)求sin (B－A)的值．(8分) 解：(1)由(b2－c2)＋2b＋＝0，得 b2－c2＝－－1， 由余弦定理，得 cos C＝＝＝－， 所以sin C＝. 又S△ABC＝ab sin C＝，即b×＝， 解得b＝. 将b＝代入b2－c2＝－－1，得c＝. (2)由正弦定理＝＝，得＝＝3， 所以sin A＝，sin B＝. 由(1)知cos C<0，所以C为钝角，故A，B为锐角， 所以cos A＝，cos B＝. 所以sin (B－A)＝sin B cos A－cos B sin A＝×－×＝. 16．(15分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝. (1)求sin B；(6分) (2)若b＝4，a＝c，求△ABC的面积．(9分) 解：(1)在△ABC中，由正弦定理可得＝，＝， 又因为＝，所以＝， 即sin Bcos C＝3sin Acos B－sin Ccos B， 所以sin (B＋C)＝3sin Acos B， 又B＋C＝π－A，所以sin (B＋C)＝sin A， 所以sin A＝3sin Acos B， 因为sin A≠0，所以cos B＝，又0<B<π， 所以sin B＝＝. (2)在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 将b＝4，cos B＝代入得，a2＋c2－ac＝32， 又a＝c，故a2＝32，故a2＝24， cos A＝＝＝， 所以△ABC的高h＝c·sin A＝4， 所以△ABC的面积为S＝·b·h＝8. 17．(15分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的长；(3分) (2)乙出发多少min后，乙在缆车上与甲的距离最短？(5分) (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在什么范围内？(7分) 解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝， 从而sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝，由正弦定理＝，得AB＝×sin C＝×＝1 040(m). (2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m， 所以由余弦定理得， d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)， 由于0≤t≤，即0≤t≤8，故当t＝ min时，甲、乙两游客距离最短． (3)由正弦定理＝，得BC＝×sin A＝×＝500(m)， 乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C， 设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤， 所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内． 18．(17分)在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C所对的边，已知＝1－. (1)若b＝，当△ABC的周长取得最大值时，求△ABC的面积；(7分) (2)设向量m＝(sin A，1)，n＝(6cos B，cos 2A)，求m·n的取值范围．(10分) 解：(1)因为1－＝＝＝，化简可得a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝. 又B∈(0，π)，所以B＝. 由正弦定理可得＝＝＝2， 所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝2(sin A＋sin B＋sin C)＝2sin A＋＋2sin (－A)＝3 sin A＋cos A＋＝2 sin (A＋)＋. 因为0<A<，所以<A＋<，所以当A＋＝，即A＝时，△ABC的周长取得最大值，此时△ABC为等边三角形，△ABC的面积S△ABC＝×××＝. (2)由(1)，知cos B＝， 因为m＝(sin A，1)，n＝(6cos B，cos 2A)， 所以m·n＝6sin A cos B＋cos 2A＝3sin A＋1－2sin2A＝－2(sin A－)2＋. 由(1)，知0<A<，所以0<sin A≤1， 所以m·n的取值范围为(1，]. 19．(17分)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos 2B＋cos 2C－cos 2A＝1． (1)求A；(4分) (2)若bc＝2，设点P为△ABC的费马点，求·＋·＋·；(5分) (3)设点P为△ABC的费马点，|PB|＋|PC|＝t|PA|，求实数t的最小值．(8分) 解：(1)由已知△ABC中cos 2B＋cos 2C－cos 2A＝1， 即1－2sin2B＋1－2sin2C－1＋2sin2A＝1， 故sin2A＝sin2B＋sin2C，由正弦定理可得a2＝b2＋c2， 故△ABC为直角三角形，即A＝. (2)由(1)知A＝，所以△ABC的三个角都小于120°， 则由费马点定义可知：∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°， 设||＝x，||＝y，||＝z，由S△APB＋S△BPC＋S△APC＝S△ABC得： xy·＋yz·＋xz·＝×2， 整理得xy＋yz＋xz＝， 则·＋·＋·＝xy·＋yz·＋xz·＝－×＝－. (3)由点P为△ABC的费马点，则∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝， 设|PB|＝m|PA|，|PC|＝n|PA|，|PA|＝x，m>0，n>0，x>0， 则由|PB|＋|PC|＝t|PA|得m＋n＝t； 由余弦定理得|AB|2＝x2＋m2x2－2mx2cos＝(m2＋m＋1)x2， |AC|2＝x2＋n2x2－2nx2cos ＝(n2＋n＋1)x2， |BC|2＝m2x2＋n2x2－2mnx2cos ＝(m2＋n2＋mn)x2， 故由|AC|2＋|AB|2＝|BC|2得(n2＋n＋1)x2＋(m2＋m＋1)x2＝(m2＋n2＋mn)x2， 即m＋n＋2＝mn， 而m>0，n>0，故m＋n＋2＝mn≤， 当且仅当m＝n，结合m＋n＋2＝mn，解得m＝n＝1＋时，等号成立，又m＋n＝t，即有t2－4t－8≥0，解得t≥2＋2或t≤2－2(舍去)， 故实数t的最小值为2＋2. 学生用书第20页 学科网（北京）股份有限公司 $$