课时测评3 正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习（人教B版2019）

课时测评3　正弦定理与余弦定理的应用 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/小时的速度，沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现有座小岛C在其南偏东75°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为(　　) A．10海里 B．10海里 C．10海里 D．30海里 答案：C 解析：由题意及方位角可得，∠CAB＝45°，∠ACB＝60°，∠ABC＝75°，因为渔船以60海里/时的速度航行半小时到达B，所以AB＝30，所以由正弦定理得＝，所以＝，所以BC＝10.故选C． 2．设A，B两点在河的两岸，为测量A，B两点间的距离，小明同学在A的同侧选定一点C，测出A，C两点间的距离为80米，∠ACB＝π，∠BAC＝，请你帮小明同学计算出A，B两点间的距离为(　　) A．40 米 B．40(1＋)米 C．40米 D．40(＋)米 答案：B 解析：△ABC中，AC＝80米，∠ACB＝π，∠BAC＝，所以∠ABC＝π－－＝，利用正弦定理得＝，解得AB＝＝40(1＋)，所以计算出A，B两点间的距离为40(1＋)米．故选B． 3．泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2 500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所．小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物AB，高为(15－15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算泰州基督教堂的高度为(　　) A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m 答案：D 解析：在Rt△ABM中，sin 15°＝，解得AM＝＝＝30；在△ACM中，∠CAM＝30°＋15°＝45°，∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，所以∠ACM＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得，＝，解得CM＝＝＝60；在Rt△CDM中，CD＝CMsin 60°＝60×＝30，即估算泰州基督教堂的高度为30 m.故选D． 4．一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在北偏东30°方向上，之后它以32n mile/h的速度继续沿正北方向航行，上午10：00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S在B处的(　　) A．北偏东75°方向 B．南偏东15°方向 C．北偏东75°方向或南偏东15°方向 D．东偏北75°方向或东偏南15°方向 答案：C 解析：若∠ASB为锐角，根据题意画出示意图，如图①所示，客船半小时行驶的路程为32×＝16n mile，所以AB＝16n mile，又BS＝8n mile，∠BAS＝30°，由正弦定理，得＝，所以sin ∠ASB＝，所以∠ASB＝45°，所以∠B′BS＝75°，所以灯塔S在B处的北偏东75°方向；若∠ASB为钝角，根据题意画出示意图，如图②所示，同理可得∠ASB＝135°，所以∠ABS＝15°，所以灯塔S在B处的南偏东15°方向．故选C． 　 5．某观测站C在目标A的南偏西25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31 km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20 km到达D处，此时测得CD距离为21 km.若此人必须在20 min内从D处到达A处，则此人的最小速度为(　　) A．30 km/h B．45 km/h C．14 km/h D．15 km/h 答案：B 解析：由已知得∠CAB＝25°＋35°＝60°，BC＝31 km，CD＝21 km，BD＝20 km.在△BCD中，由余弦定理，得cos B＝＝＝，所以sin B＝.在△ABC中，由正弦定理，得AC＝＝24(km).由余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos ∠CAB，得312＝242＋AB2－24AB，解得AB＝35 km(负值舍去).因此AD＝AB－BD＝35－20＝15(km).若此人必须在20 min，即 h内从D处到达A处，则其最小速度为15÷＝45(km/h).故选B． 6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________m. 答案：35 解析：如图所示： 在△BCD中，CD＝35，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB＋∠DCA＝120°＋15°＝135°，所以∠CBD＝30°，由正弦定理，得＝，解得BD＝35，在△ACD中，CD＝35，∠DCA＝15°，∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°＋15°＝150°，所以∠CAD＝15°，所以AD＝CD＝35，在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB＝352＋(35)2－2×35×35×cos 135°＝352×5，所以AB＝35，即A，B两点间的距离为35 m． 7．如图，已知两座山的高分别为MN＝30米，BC＝20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，则MC＝________米． 答案：10 解析：如图，过点C作CD⊥MN，垂足为D，则DM＝MN－BC＝10米，CD＝BN.由题意可得AN＝10米，AB＝20米，∠BAN＝150°，则BN2＝300＋400－2×10×20×＝1 300，从而MC2＝CD2＋DM2＝1 300＋100＝1 400，故MC＝10米． 8．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________ n mile. 答案：北偏东30°　a 解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝ tv.又∠B＝120°，则在△ABC中，由正弦定理得＝， 即＝，得sin ∠CAB＝.因为0°<∠CAB<60°，所以∠CAB＝30°，所以60°－∠CAB＝60°－30°＝30°，即甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，所以BC＝AB＝a n mile，所以AC＝ a n mile，即追上时甲船行驶了a n mile. 9．(10分)如图，在海岸边A点的观测站发现南偏西30°方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点10(－1)海里的B处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处沿南偏东15°方向逃窜． (1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？(4分) (2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？(6分) 解：(1)由题意可知AB＝10(－1)，AC＝20，∠BAC＝120°. 在△ABC中，由余弦定理得BC＝ ＝10. 由正弦定理得＝，解得sin ∠ABC＝，所以∠ABC＝45°. 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇10海里，在缉私艇的南偏西45°方向上． (2)如图，设t小时后缉私艇在D处追上走私船， 则CD＝10t，BD＝10t. ∠BCD＝45°＋75°＝120°. 在△BCD中，由正弦定理得＝. 解得sin ∠CBD＝，则∠CBD＝30°， 所以△BCD是等腰三角形． 10t＝10，即t＝. 故缉私艇至少需要小时追上走私船． 10．(10分)如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为 km. (1)求△ABD的面积；(4分) (2)求C，D间的距离．(6分) 解：(1)在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°. 由＝，得AD＝＝， 则△ABD的面积S＝AB×AD sin ∠BAD＝×××＝，即△ABD的面积为 km2． (2)因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝，所以AC＝3． 在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos ∠DAC＝5，解得CD＝. 故C，D间的距离为 km. 11．(5分)如图，已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30 m到达B处后再次观察帐篷C，D，此时二者分别在北偏西15°和北偏西60°方向，图中各点都在同一平面内，则帐篷C，D之间的距离为(　　) A．10 m B．10 m C．5 m D．5 m 答案：C 解析：由题意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°，AB＝30．在△ABD中，因为∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin 60°＝，解得BD＝15 .在△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，因为＝，所以BC＝10.在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，cos 45°＝，即＝，解得CD＝5，即帐篷C，D之间的距离为5 m．故选C． 12．(5分)渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛C，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？ 解：根据题意画出相应的图形， 如图所示，过C作CD⊥AB交AB于点D， 由题意得：AB＝×15＝5(海里). 因为∠A＝30°，∠CBD＝60°， 所以∠BCA＝30°. 则△ABC为等腰三角形，所以BC＝5. 在△BCD中， 因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5， 所以CD＝，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里． 13．(13分)舟山渔场是中国最大的渔场，自古以来因渔业资源丰富而闻名，地处东海，是浙江省、江苏省、福建省和上海市三省一市渔民的传统作业区域，渔场的中心基地位于嵊山．现嵊山基地正东40海里处一渔船遇险需救援，在基地东偏南30°且距离为20 海里处的渔船甲，和在甲正北方向且距离为16 海里处的渔船乙同时收到了求救信号，甲、乙两船分别以18海里每小时，12海里每小时的航速前往营救，请问谁第一时间到达营救地点，并以怎样的方向前往？(参考数据：≈1.732，≈3.6) 解：如图构建几何图形， 则|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA||OB|cos 30° ＝(20)2＋402－2×20×40×＝400， 则|AB|＝20，所以∠OAB＝90°，则∠EAB＝30°， 所以|AE|＝10，|EB|＝10， 又|CE|＝6，则|BC|＝4， t甲＝＝(小时)，t乙＝＝(小时)， t甲<t乙， 甲先到达，且往北偏东30°方向航行． 14．(17分)如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF＝，点E，F在直径AB上，且∠ABC＝. (1)若CE＝，求AE的长；(7分) (2)设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．(10分) 解：(1)由题意，△ACE中，AC＝4，A＝，CE＝， 由余弦定理得：13＝16＋AE2－2×4×AE×， 所以AE＝1或3． (2)由题意，∠ACE＝α∈，∠AFC＝π－A－∠ACF＝－α， 在△ACF中，由正弦定理得：＝， 所以CF＝， 在△ACE中，由正弦定理得：＝， 所以CE＝， 该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大， S△CEF＝CE·CF·sin ∠ECF ＝， 因为α∈， 所以0≤sin ≤1， 所以α＝时，S△CEF取最大值，为4，该空地产生最大经济价值． 学生用书第14页 学科网（北京）股份有限公司 $$