章末综合提升 立体几何初步-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

章末综合提升 　 第十一章　立体几何初步 概念梳理 构建体系 1 分层探究 提升能力 2 教考衔接 明确考向 3 内容索引 单元检测卷 4 概念梳理 构建体系 返回 返回 分层探究 提升能力 返回 例1 探究点一　空间几何体的表面积和体积 　(1)五脊殿是宋代传统建筑中的一种屋顶形式，如图所示．其屋顶上有一条正脊和四条垂脊，可近似看作一个底面为矩形的五面体．若某一五脊殿屋顶的正脊长4米，底面矩形的长为6米，宽为4米，正脊到底面矩形的距离为2米，则该五脊殿屋顶的体积的估计值为 √ (2)设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝ ，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是 A．46π B．35π C．43π D．39π √ 规律方法 计算空间几何体的表面积和体积，首先要准确确定几何体的基本量，如球的半径，几何体的棱长、高等，然后准确代入相关的公式计算．在解题时要注意： 1．结合几何体的特点，能用割补(分割或补形，转化为易计算的几何体)法求解． 2．灵活运用等体积法进行转换． 3．对于特殊的柱、锥、台，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用． 对点练1．已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积． 解：如图所示，设圆柱OO1为等边圆柱，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱． 设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r. 因为S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2， 所以r＝ . 又正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底边AB＝2r sin 45°＝ r， 例2 探究点二　空间位置关系的证明 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，E，F，D1分别为棱AB，AA1，BB1，A1B1的中点，点M在CD上． (1)若AA1＝AB，证明：BA1⊥平面EC1D1； 证明：在正三棱柱中，AA1⊥平面A1B1C1， 所以AA1⊥C1D1， 又D1为A1B1的中点，A1C1＝B1C1， 所以C1D1⊥A1B1，而AA1∩A1B1＝A1， 所以C1D1⊥平面ABB1A1，故C1D1⊥BA1，连接AB1，因为AA1＝AB， 所以四边形ABB1A1为正方形，所以AB1⊥BA1，又ED1∥AB1，所以BA1⊥ED1， 又ED1∩C1D1＝D1，所以BA1⊥平面EC1D1． 证明：连接CF，DF，DD1，因为E，F，D，D1分别为棱AA1，BB1，AB，A1B1的中点， 所以DF∥ED1，DD1∥AA1，CC1∥AA1， 又DD1＝AA1，CC1＝AA1， 所以四边形CDD1C1为平行四边形， 所以CD∥C1D1，又CD∩DF＝D，C1D1∩ED1＝D1，所以平面CDF∥平面EC1D1， 又MF⊂平面CDF，所以MF∥平面EC1D1． (2)证明：MF∥平面EC1D1． 规律方法 1．空间平行关系的相互转化 2．垂直关系的相互转化 3．沟通平行垂直关系的主要依据是平行线垂直平面的传递性： (1)若a∥b，a⊥α，则b⊥α； (2)若a⊥α，b⊥α，则a∥b. 对点练2．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，求证： (1)平面MEN∥平面A1BC； 证明：因为M，N，E分别是AA1，AC，AB的中点，所以MN∥A1C， 又MN⊄平面A1BC，A1C⊂平面A1BC， 所以MN∥平面A1BC， 同理，ME∥平面A1BC， 又因为MN∩ME＝M，MN，ME⊂平面MEN， 所以平面MEN∥平面A1BC． 证明：因为BC⊥平面CDD1C1，C1D⊂平面CDD1C1， 所以BC⊥C1D． 连接CD1(图略)，则C1D⊥CD1，又BC∩CD1＝C， 所以C1D⊥平面BCD1A1， 又因为A1C⊂平面BCD1A1， 所以A1C⊥C1D． (2)A1C⊥C1D； (3)平面A1EC⊥平面A1CD． 证明：取A1D中点F，取A1C中点O，连接AF，OF，OE，则AF⊥A1D． 因为CD⊥平面A1AD，AF⊂平面A1AD， 所以AF⊥CD， 又CD∩A1D＝D， 所以AF⊥平面A1CD， 所以OF綉EA， 所以四边形OFAE为平行四边形， 所以OE∥AF，所以OE⊥平面A1CD， 又OE⊂平面A1EC， 所以平面A1EC⊥平面A1CD． 例3 探究点三　空间角的计算 如图，直四棱柱ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝3，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求二面角C1-BD-A的大小； 解：如图，连接AC交BD于M，连接MC1，AC1，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC， 由直四棱柱可知，CC1⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD， 又因为AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，又因为MC1⊂平面ACC1，所以BD⊥MC1， 21 于是∠C1MA是二面角C1-BD-A的平面角，而∠C1MC是二面角C1-BD-A的补角. 因为AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，所以BD＝2， AM＝CM＝ ， 所以∠C1MC＝ . 所以二面角C1-BD-A的大小为 . (2)求直线DD1与平面C1DB所成角的大小． 解：过C作CN⊥C1M交C1M于N. 因为DD1∥CC1，所以DD1与平面C1DB所成的角等于CC1与平面C1DB所成的角， 由(1)知，BD⊥平面ACC1，又因为BD⊂平面C1DB，所以平面C1DB⊥平面ACC1， 又因为平面C1DB∩平面ACC1＝C1M，CN⊂平面ACC1，所以CN⊥平面C1DB， 所以∠CC1N就是所求的线面角． 在Rt△C1CM中，tan ∠CC1N＝ ， 所以DD1与平面C1DB所成角为 . 规律方法 1．异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角．这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题． 2．求异面直线所成的角主要通过平移转化为相交直线的夹角；线面角常用射影转化法(关键在斜线上找一点，作垂线，找射影). 3．求二面角的主要方法：(1)活用定义；(2)垂线法；(3)垂面法．要注意挖掘题目中的垂直关系，借助已有的线面垂直、面面垂直进行作图． 总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． A．30° B．45° C．60° D．90° √ 例4 探究点四　立体几何中的探索性问题 在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中(如图)，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝ a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1． (1)证明：PA⊥平面ABCD； 解：证明：因为底面ABCD是菱形且∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a. 在△PAB中，PA2＋AB2＝2a2＝PB2， 所以PA⊥AB，同理PA⊥AD． 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PA⊥平面ABCD． (2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论． 解：在棱PC上存在一点F(为PC的中点)，使BF∥平面AEC． 证明如下： 如图，连接BD交AC于G，则G是BD的中点，连接GE.取PE的中点H，连接BH. 因为PE∶ED＝2∶1， 所以PH＝HE＝ED，即E是DH的中点． 在△BHD中，EG为中位线， 所以EG∥BH. 取PC的中点F，连接FH，BF，则FH∥CE. 因为BH⊄平面AEC，EG⊂平面AEC， 所以BH∥平面AEC， 同理FH∥平面AEC， 又BH∩FH＝H，BH，FH⊂平面BHF， 所以平面BHF∥平面AEC， 又BF⊂平面BHF， 所以BF∥平面AEC． 故在棱PC上存在一点F，使BF∥平面AEC． 规律方法 解决探索性问题一般用分析法，常从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，然后结合已知条件求解． 对点练4．如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°. (1)求三棱锥P-ABC的体积； 解：由题知AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°， 可得S△ABC＝ ·AB·AC·sin 60°＝ ， 由PA⊥平面ABC，可知PA是三棱锥P-ABC的高． 又PA＝1，所以三棱锥P-ABC的体积V＝ S△ABC·PA＝ . (2)在线段PC上是否存在点M，使得AC⊥BM，若存在点M，求出 的值； 若不存在，请说明理由． 解：理由如下：存在点M使AC⊥BM. 在平面ABC内，过点B作BN⊥AC，垂足为N. 在平面PAC内，过点N作MN∥PA交PC于点M，连接BM. 由PA⊥平面ABC知PA⊥AC，所以MN⊥AC． 由于BN∩MN＝N，故AC⊥平面MBN. 又BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM. 在Rt△BAN中，AN＝AB·cos ∠BAC＝ ， 从而NC＝AC－AN＝ . 返回 教考衔接 明确考向 返回 真题 1 (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为 √ 真题 2 (2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为 ，AB＝ 6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为 √ A． B．1 C．2 D．3 对于选项A，因为0.99 m<1 m，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B，因为正方体的面对角线长为 m，且 >1.4，所以能够被整体放入正方体内，故B正确； 真题 3 (多选)(2023·新课标Ⅰ卷)下列物体中，能够被整体放入棱长为 1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 A．直径为0.99 m的球体 B．所有棱长均为1.4 m的四面体 C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 √ √ √ 如图，过A1作A1M⊥AC，垂足为M，易知A1M为四棱台ABCD -A1B1C1D1的高，因为AB＝2，A1B1＝1， 真题 4 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1 ＝1，AA1＝ ，则该棱台的体积为________． 真题 5 (2022·新高考Ⅰ卷)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为 . (1)求A到平面A1BC的距离； 故A到平面A1BC的距离为 . (2)设D为A1C的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值． 解：(2)连接AB1(图略)，由该棱柱为直棱柱及AA1＝AB知四边形ABB1A1为正方形，故AB1⊥A1B，A1B＝ AA1， 又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AB1⊂平面ABB1A1， 所以AB1⊥平面A1BC， 又BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥BC， 易知BC⊥BB1，AB1，BB1⊂平面ABB1A1，AB1∩BB1＝B1， 所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB，BC⊥A1B， 解得BC＝AA1＝2． 过A作AE⊥BD于E，连接CE(图略). 因为D为A1C的中点，△A1AC为直角三角形， 所以AD＝DC＝ ，又AB＝BC＝2， 所以△ABD≌△CBD． 所以CE⊥BD，又AE⊂平面ABD，CE⊂平面CBD， 所以∠AEC为二面角A-BD-C的平面角． 易得AE＝EC＝ . 所以sin ∠AEC＝ ， 即二面角A-BD-C的正弦值为 . 返回 单元检测卷 返回 若a不平行于α，则当a⊂α时，在α内存在直线b，使得b∥a，故A错误；若a不垂直于α，则当a⊂α时，在α内存在直线b，使得b⊥a，故B错误；若α不平行于β，则在β内存在直线a，使得a∥α，故C错误；由平面与平面垂直的判定定理知D正确．故选D． 1．设a，b为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A．若a不平行于α，则在α内不存在b，使得b平行于a B．若a不垂直于α，则在α内不存在b，使得b垂直于a C．若α不平行于β，则在β内不存在a，使得a平行于α D．若α不垂直于β，则在β内不存在a，使得a垂直于α √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 △OAB是直角三角形，其两条直角边分别是4和6，则其面积是12．故选D． 2．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，A′O′＝6，B′O′＝2，则△OAB的面积是 A．6 B．3 C．6 D．12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，若m⊥α，n⊂α，根据线面垂直的性质可得m⊥n；故A正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；对于D，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选A． 3．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法中正确的是 A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B．若m∥α，n∥α，则m∥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 A．25π B．50π C．125π D．都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC．同理，DE⊥AC，又DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ABC，AC⊂平面ADC，所以平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE. 6．如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是 A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 旋转体为上底面半径为2 cm，下底面半径为5 cm，高为4 cm的圆台挖去一个半径为2 cm的半球．其表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，其中 S球＝8π cm2，S圆台侧＝35π cm2，S圆台底＝25π cm2．故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2).故选C． 7．如图所示(单位：cm)，直角梯形的左上角剪去四分之一个圆，剩下的阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成的几何体的表面积为 A．60π cm2 B．64π cm2 C．68π cm2 D．72π cm2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F∥平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设平面AD1E与棱BC交于点G，连接AG，EG，则G为BC的中点．分别取B1B，B1C1的中点M，N，连接A1M，MN，A1N，则A1M∥D1E，因为A1M⊄平面D1AE，D1E⊂平面D1AE，所以A1M∥平面D1AE，同理可得MN∥平面D1AE.因为A1M，MN是平面A1MN内的两条相交直线，所以平面A1MN∥平面D1AE.又A1F∥平面D1AE，所以直线A1F⊂平面A1MN，即点F是线段MN上的动点．设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ，当点F与点M(或N)重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于∠A1MB1，此时所成角θ达到最小值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 55 因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，故A正确；因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，故B正确；因为A∈α，AB∥l，l⊂α，所以B∈α，所以AB⊄β，l⊂β，所以AB∥β，故C正确；因为AC⊥l，当点C在α内时，AC⊥β成立，当点C不在α内时，AC⊥β不成立，故D不正确．故选ABC． 9．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，AB∥l，若直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则 A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 10．如图，点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论正确的是 A．三棱锥A-D1PC的体积不变 B．A1P∥平面ACD1 C．DP⊥BC1 D．平面PDB1⊥平面ACD1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于选项A，VA-D1PC＝VC-AD1P，C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥A-D1PC的体积不变，故A正确；连接A1B，A1C1，易证平面BA1C1∥平面ACD1，从而由线面平行的定义可得A1P∥平面ACD1，故B正确；连接DB，DC1，可知△DBC1是正三角形，当且仅当P为BC1的中点时，DP⊥BC1，考虑特殊位置，当P与B重合时，DP与BC1成60°角，不垂直，所以C不正确；连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥平面ACD1，DB1⊂平面PDB1从而可能证明平面PDB1⊥平面ACD1，所以D正确．故选ABD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 11．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ ，BD⊥CD．将四边形ABCD沿对角线BD折成三棱锥A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论中正确的是 A．A′C⊥BD B．A′B⊥A′C C．∠CA′D＝45° D．三棱锥A′-BCD的体积为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：_______________时，SC∥平面EBD． E是SA的中点 当E是SA的中点时，连接AC，设AC与BD的交点为O，连接EO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点，又E是SA的中点，所以OE是△SAC的中位线，所以OE∥SC，因为SC⊄平面EBD，OE⊂平面EBD，所以SC∥平面EBD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 61 13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则直线B1C到平面DED1的距离 为_______，三棱锥D1-EDF的体积为______. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14．已知圆锥的底面半径为 ，侧面积是6π，在其内部有一个正方体可 以任意转动，则正方体的体积的最大值是________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15．(13分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点． 求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(5分) 证明：如图，连接EF，CD1，BA1． 因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥BA1． 又BA1∥CD1，所以EF∥CD1． 所以E，C，D1，F四点共面． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)CE，D1F，DA三线共点．(8分) 证明：因为EF∥CD1，EF＜CD1， 所以直线CE与直线D1F必相交， 设交点为P，如图所示． 由P∈直线CE，CE⊂平面ABCD， 得P∈平面ABCD． 同理，得P∈平面ADD1A1． 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA， 所以P∈直线DA． 所以直线CE，直线D1F，直线DA三线共点． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16．(15分)如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥面ABCD，E是PC的中点． 求证：(1)PA∥平面BDE；(6分) 证明：连接OE， 因为O是正方形ABCD的中心， 所以O为AC的中点，又E为PC的中点， 所以OE∥PA． 因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE， 所以PA∥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)平面PAC⊥平面BDE.(9分) 证明：因为O是正方形ABCD的中心， 所以AC⊥BD， 因为PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PO⊥BD， 因为AC，PO⊂平面PAC，AC∩PO＝O，所以BD⊥平面PAC， 因为BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17．(15分)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD． (1)证明：AC⊥BD；(6分) 解：证明：取AC的中点O，连接DO，BO. 因为AD＝CD，所以AC⊥DO. 又由于△ABC是正三角形，所以AC⊥BO. 又DO∩BO＝O， 从而AC⊥平面DOB，又BD⊂平面DOB， 故AC⊥BD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．(9分) 解：连接EO. 由(1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO. 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2． 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°. 由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝ AC． 又△ABC是正三角形，且AB＝BD， 所以EO＝ BD． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的 ，四 面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的 ，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1∶1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18．(17分)如图所示，已知三棱锥P-ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC． (1)求证：平面PAC⊥平面ABC；(5分) 所以AP⊥PB． 又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC． 又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC． 又AC⊥BC，AP∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC． 又BC⊂平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC． 解：证明：因为D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB＝20，所以PD＝ AB＝10， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求二面角D-AP-C的正弦值；(5分) 解：因为PA⊥PC，且PA⊥PB， 所以∠BPC是二面角D-AP-C的平面角． 由(1)知BC⊥平面PAC，则BC⊥PC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)若M为PB的中点，求三棱锥M-BCD的体积．(7分) 解：因为D为AB的中点，M为PB的中点， 由(1)知PA⊥平面PBC，所以DM⊥平面PBC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19．(17分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，AB＝2A1A＝4，以AB，BC为邻边作平行四边形ABCD，连接A1D，DC1． (1)求证：DC1∥平面A1ABB1；(7分) 解：证明：连接AB1，因为AD∥BC∥B1C1且AD＝BC＝B1C1， 所以四边形ADC1B1为平行四边形， 所以AB1∥DC1， 又因为AB1⊂平面A1ABB1， DC1⊄平面A1ABB1， 所以DC1∥平面A1ABB1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若二面角A1-DC-A为45°.(10分) ①求证：△A1C1D是直角三角形； 解：证明：如图所示，取DC的中点M，连接A1M，AM. 易知Rt△A1AD≌Rt△A1AC，所以A1D＝A1C， 所以A1M⊥DC， 又AM⊥DC，所以∠A1MA为二面角A1-DC-A的平面角，所以∠A1MA＝45°. 所以在Rt△A1AM中，AA1＝AM＝2， 所以AD＝AC＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以AC2＋AD2＝DC2，所以AC⊥AD， 又因为AC⊥AA1，AD∩AA1＝A， 所以AC⊥平面A1AD，又因为AC∥A1C1， 所以A1C1⊥平面A1AD． 所以A1C1⊥A1D， 所以△A1C1D是直角三角形． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)若二面角A1-DC-A为45°.(10分) ②求直线AB1与平面A1AD所成角的正切值． 解：因为AB1∥C1D， 所以C1D与平面A1AD所成角与AB1与平面A1AD所成角相等． 由①知C1A1⊥平面A1AD， 所以A1D为C1D在平面A1AD内的射影， 故∠A1DC1为直线DC1与平面A1AD所成角， 在Rt△A1DC1中， 所以直线AB1与平面A1AD所成角的正切值为 . 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 3 2 2 $$