11.1.3 多面体与棱柱-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

11.1.3　多面体与棱柱 　 第十一章　11.1　空间几何体 知识层面 1．了解多面体的定义及其分类．　 2．理解棱柱的定义和结构特征．　 3．了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 素养层面 通过多面体的定义与分类学习，培养数学抽象核心素养；借助棱柱结构特征的学习，培养直观想象核心素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 问题．观察下图中的多面体，想一想：这些多面体各有什么特点？它们分别由什么样的多边形围成？各个面之间的位置关系有什么特点？各条棱之间呢？ 提示：直观上可以发现，图中的每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形，且上、下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形，各侧棱互相平行且相等． 新知构建 知识点一　多面体的相关概念 一般地，由____________________所围成的封闭几何体称为多面体，如图所示． (1)多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面，如面ABCD，面BCC′B′. (2)多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱，如棱AB，棱CC′. (3)多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点，如顶点A，顶点D′. 若干个平面多边形 (4)多面体的面对角线：一个多面体中，连接同一面上 两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；如AC是一条面对角线． (5)多面体的体对角线：一个多面体中，连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线，如体对角线BD′. (6)截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面．图中画出了多面体的一个截面ACE. (7)多面体所有面的面积之和称为多面体的__________(或全面积). 表面积 微提醒 (1)多面体最少有四个面、四个顶点、六条棱． (2)不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，如图①，②，③.但如果多面体有体对角线，就可能有多条体对角线，如图④，⑤，多面体的体对角线和多面体的面对角线是有区别的，所谓面对角线就是指围成多面体的面的对角线，在理解概念时要特别注意． 知识点二　棱柱 1．棱柱的概念 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为________． 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的________(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的________，两个侧面的公共边称为棱柱的________，过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的______． 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的__________． 棱柱 底面 侧面 侧棱 高 侧面积 2．棱柱的特征 棱柱有____________________，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都____________． 3．棱柱的表示 (1)用表示两底面的对应顶点的字母来表示． (2)用一条体对角线端点的两个字母来表示． 4．棱柱的分类 (1)按底面的形状分，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为__________、__________、__________． (2)按侧棱是否和底面垂直分类，如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为__________(不是直棱柱的棱柱称为__________).特别地，底面是正多边形的直棱柱称为__________． 两个互相平行的面 互相平行 三棱柱 四棱柱 五棱柱 直棱柱 斜棱柱 正棱柱 5．特殊的四棱柱 底面是______________的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为________________．底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的__________，而棱长都相等的长方体就是__________．它们之间的关系如下： 平行四边形 直平行六面体 长方体 正方体 自主检测 1．下列说法正确的是 A．多面体至少有3个面 B．棱柱所有的面都是平行四边形 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 √ 多面体至少有4个面，故A错误； 棱柱的底面不一定是平行四边形，故B错误； 各侧面都是正方形，底面也是正方形的四棱柱一定是正方体，故C错误； 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确.故选D. 因为正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，所以{正方体}{长方体}，故A正确；因为底面是矩形的直平行六面体是长方体，所以{长方体}{直平行六面体}，故B正确；因为底面是正方形的长方体为正四棱柱，所以{正四棱柱}{长方体}，故C正确；因为正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱，故D错误.故选ABC. 2．(多选)下列集合间关系正确的是 A．{正方体}{长方体} B．{长方体}{直平行六面体} C．{正四棱柱}{长方体} D．{直平行六面体}{正四棱柱} √ √ √ 3．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为 √ 4．如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为 √ 由表面积的定义，可得长方体的表面积为4×1×2＋2×2×2＝16，面对角线有2×6＝12(条)，体对角线有4条． 5．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，则长方体的表面积为_______，面对角线有_______条，体对角线有_______条. 16 12 4 返回 合作探究 返回 例1 题型一　多面体概念的应用 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，任意选择4个顶点作为平面图形或几何体的顶点，可作出的平面图形或几何体有__________．(填序号) ①③④⑤ ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． 点拨：根据多面体的有关概念解答． ①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②错误，若任意选择4个顶点组成一个平面图形，则必为矩形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1CB为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD． 规律方法 熟练掌握多面体的有关概念，紧扣定义． 该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它可看作两个四棱锥的组合体，但是平面ABCD是它的一个截面而不是它的一个面．故D说法不正确． 对点练1．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法错误的是 A．该几何体可看作由2个同底的四棱锥组成的组合体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 √ D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形 例2 题型二　棱柱的计算问题 (1)如图①，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是________． 90° 图① 点拨：可从“特殊”方面尝试求解．通过该棱柱的结构特征分别求解MN，MC1，NC1的长，根据勾股定理的逆定理知△MNC1为直角三角形，从而问题获解． 图② (2)如图②所示，等腰直角三角形A2B2C2的三个顶点分别在正三棱柱ABC-A1B1C1的三条侧棱上，且∠B2A2C2＝90°，已知正三棱柱的底面边长为2，则B2C2＝________． 点拨：通过构建直角三角形，先分别表示出A2C2，A2B2，B2C2的长，而后由勾股定理求解即可． 规律方法 求解棱柱问题的常用解题策略 求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形．立体几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解．若棱柱是斜棱柱，则常过顶点作底面的垂线来构造直角三角形，若棱柱是直棱柱，则可直接应用垂直关系，将问题转化到直角三角形或矩形中求解，即最终都将问题放在一个“合适”的平面图形中求解． 对点练2．已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图(斜二测画法)是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为 √ 返回 随堂演练 返回 直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错误；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错误；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错误．故选C． 1．下列说法中正确的是 A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 √ 观察所给的图形，A，B，C选项均可围成棱柱，D选项围成的几何体是棱柱缺少一个面，无法围成棱柱． 2．下列选项中的图形经过折叠不能围成棱柱的是 √ 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22．故选A． 3．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为 A．22 B．20 C．10 D．11 √ 面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱． 4．一个棱柱至少有________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱． 5 6 9 返回 课时测评 返回 棱柱的定义：有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱．观察图形满足棱柱概念的几何体有①③⑤，共3个．故选C． 1．下列几何体中是棱柱的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体叫做棱柱，底面是三角形的棱柱叫做三棱柱，显然A正确； 底面边数最少的棱柱是三棱柱有五个面 ，故B正确； 若斜棱柱的底面是正方形，有一对侧面垂直于底面，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误； 根据五棱柱的定义，显然D正确．故选C． 2．下列关于棱柱的说法中，错误的是 A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故M，N，P，Q的关系为P⊇N⊇M⊇Q.故选D． 3．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是 A．Q⊇N⊇M⊇P B．Q⊇M⊇N⊇P C．P⊇M⊇N⊇Q D．P⊇N⊇M⊇Q √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．已知长方体所有棱的长度之和为28，一条体对角线的长度为 ，则该长方体的表面积为 A．32 B．20 C．16 D．12 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱，故A、B错误； 对于C，各侧面都是正方形，底面也是正方形的四棱柱是正方体，故C错误； 对于D，九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形，故D正确．故选D． 5．下列说法正确的是 A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 依题意知该棱柱是五棱柱，所以每条侧棱的长为60÷5＝12(cm). 6．若一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱的长为________ cm. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由已知中的正方体表面展开图可得：2和7对面，0和快对面，1和乐对面． 7．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“2”所对的面是________． 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图①为棱长为1的正方体礼品盒，把正方体的表面展开后拼成如图②所示的大正方形，则大正方形的面积即所求面积，由图知大正方形的边长为2 ，其面积为8． 8．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________． 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求该直三棱柱的表面积；(4分) 9．(10分)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，且AB＝BC＝ ，A1A＝2． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：设两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱时重合的面的面积为S1， (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值. (6分) 因为侧面AA1C1C的面积最大， 所以大棱柱表面积的最小值为2S－2S四边形AA1C1C＝4＋8 . 则大棱柱的表面积为2S－2S1，所以当重合的面的面积最大时，大棱柱的表面积最小． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问：制造这个滚筒需要多少铁板(精确到0.1 m2)? 解：因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m， 所以底面正六边形的边长是0.46 m. 所以S侧＝ch＝6×0.46×1.6＝4.416(m2). 所以S表＝S侧＋S上底＋S下底＝4.416＋2× ×0.462×6≈5.5(m2). 故制造这个滚筒约需要5.5 m2铁板． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由菱形的对角线长分别是9和15， 11．(5分)已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)如图①所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将正方体切割成两块，拼成如图②所示的几何体，那么此几何体的表面积为___________． (2＋ )a2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：根据多面体的结构特征，正方体ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，是正棱柱； 13．(13分)已知正方体ABCD -A1B1C1D1． (1)正方体ABCD -A1B1C1D1是直棱柱吗？是正棱柱吗？(5分) (2)如图，平面BCEF将正方体ABCD -A1B1C1D1分成两部分后，各部分几何体还是直棱柱吗？(8分) 解：根据多面体的结构特征，平面BCEF将正方体ABCD -A1B1C1D1分成两部分后，都是直棱柱． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)如图①，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝5k，AC＝8k，AA1＝ (k>0)，D，D1分别为AC，A1C1的中点，平面BB1D1D将三棱柱分成 两个新的直三棱柱(如图②，③所示). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)若两个新直三棱柱的表面积之和为72，求实数k的值；(7分) 解：因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC， 又AB＝BC＝5k，AC＝8k， 所以BD＝3k， 易知三棱柱被平面BB1D1D分割成两个相同的直三棱柱， 每个直三棱柱的表面积为：3k×4k＋(3k＋4k＋5k)× ＝12k2＋24， 所以两个新直三棱柱的表面积之和S＝24k2＋48＝72， 解得：k＝1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)将图②和图③两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱，若组成的所有直四棱柱的表面积都小于132，求实数k的取值范围．(10分) 解：(2)由题可知：图②、图③的两个直三棱柱重新组合成一个直四棱柱时，共有4种可能的情形： ①当底面是边长为3k，4k的矩形，侧棱长为 的直四棱柱时， 表面积S1＝2×3k×4k＋(3k＋4k)×2× ＝24k2＋28， ②当底面是边长为5k，4k的平行四边形，侧棱长为 的直四棱柱时， 表面积S2＝2×3k×4k＋(5k＋4k)×2× ＝24k2＋36， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 表面积S3＝2×3k×4k＋(5k＋3k)×2× ＝24k2＋32， ③当底面是边长为5k，3k的平行四边形，侧棱长为 的直四棱柱时， ④当底面是边长为3k，4k的四边形(非矩形)，侧棱长为 的直四棱柱时， 表面积S4＝2×3k×4k＋(3k＋4k)×2× ＝24k2＋28， 由上可知：表面积的最大值为24k2＋36， 由题意得24k2＋36<132， 解得0<k<2 所以实数k的取值范围为(0，2). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 设长方体的三条棱的长分别为x，y，z，则所以对角线的长为＝＝＝.故选B. 2 解：该直三棱柱底面的面积为××＝1， $$