10.2.2 复数的乘法与除法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

10.2.2　复数的乘法与除法 　 第十章　10.2　复数的运算 知识层面 1．能进行复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集． 素养层面 通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 问题1．类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法法则如下： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积z1 ·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只是在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可. 问题2．类比实数乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，你认为复数满足这些运算律吗？ 提示：满足．对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； 乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 问题3．类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成 的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果， 新知构建 (ac－bd)＋(ad＋bc)i 知识点一　复数的乘法 1．复数的乘法法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝ac＋adi＋bci＋bdi2 ＝____________________. 这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1即可． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1z2＝______； (2)结合律：(z1z2)z3＝_________； (3)分配律：z1(z2＋z3)＝___________． 3．复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝ . 可以验证，当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝ z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 知识点二　复数的除法 1．两个复数相除的定义 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝_____ (或z＝_________)，而且同以前一样，z1称为被除数，z2称为除数． 利用复数除法的定义可以证明，当w为非零复数时，有 z1÷z2 2．复数的倒数 倒数 分母实数化 3．复数的除法法则 有了倒数的概念，我们就可以规定两个复数除法的运算法则如下： 4．复数的0次幂与负整数次幂 当z为非零复数，且n为正整数时，规定z0＝1，z－n＝ . 微提醒 (1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简． (2)复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成 的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简． (3)分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与作根式除法运算时对分母进行“有理化”的处理是类似的． 知识点三　实系数一元二次方程在复数范围内的解集 1．实系数一元二次方程的定义 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程． 2．方程x2＝－a(a＞0，a∈R)在复数范围内的解集 3．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且a，b，c∈R)在复数范围内的解集 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程．这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个__________的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个________的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个____________的虚数根． 4．根与系数的关系 不相等 相等 互为共轭 自主检测 1．式子(1－i)(1＋i)的值为 A．0 B．1 C． D．2 √ 根据复数的乘法运算，可得(1－i)(1＋i)＝1－i2＝2．故选D． 2．若复数z满足(1＋i)z＝i，则复数z的虚部为 √ 3．已知i为虚数单位，z＝ ，则复数z的虚部为 A．－2 B．－1 C．1 D．2 √ 4．在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 设复数z＝a＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，由z是x2－2x＋2＝0的一个根，所以(a＋bi)2－2(a＋bi)＋2＝0，即(a2－b2－2a＋2)＋(2ab－2b)i＝ 0，所以 解得a＝1，b＝±1，所以z＝1±i，所以|z|＝ .故选B． 5．已知复数z是一元二次方程x2－2x＋2＝0的一个根，则|z|的值为 A．1 B． C．0 D．2 √ 返回 合作探究 返回 例1 题型一　利用运算法则进行简单的复数乘、除运算 计算： 点拨：(1)复数的乘法按照多项式的乘法计算． (2)复数的除法采取“分母实数化”的方法化简、计算． (2)(1＋i)2 026； 解：(1＋i)2 026＝[(1＋i)2]1 013＝(1＋2i＋i2)1 013＝(2i)1 013＝21 013·i1 013＝21 013· (i2)506i＝－21 013i. (3)(－2＋3i)÷(1＋2i). 规律方法 解决复数的乘、除运算问题的思路 1．复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i. 2．复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 对点练1．已知复数z＝1＋2i，则 ＝ A．1＋2i B．2＋i C．1－2i D．2－i √ 例2 易知z＝3－2i，所以 ＝3＋2i. 题型二　解复数方程 (1)设复数z满足z＋i＝3－i，则 ＝ A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i √ 点拨：求出z，写出 . (2)(一题多解)若复数z满足2z＋ ＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝ A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 点拨：设出z＝a＋bi，写出 ＝a－bi，代入计算． √ 方法一　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 ＝a－bi. 因为2z＋ ＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i， 规律方法 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的一根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 对点练2．若4－3i是实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？能否求出b，c? 解：能，另一个根为4＋3i.由根与系数的关系得， 易错精析 易错点　误用判别式求解复系数方程致错 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为 _________． 正解：设x0是方程的实数根，代入方程并整理得( ＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0， 解得k＝±2 . 典例 易错探因：用判别式判断有无实数根． 误区警示：由于虚数单位的特殊性，故不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根． 返回 随堂演练 返回 由(m＋i)(2－3i)＝(2m＋3)＋(2－3m)i＝5－i， 得 解得m＝1． 1．已知m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m＝ A．1 B．－1 C．2 D．－2 √ 2．复数z满足：z(2＋i)＝5(i是虚数单位)，则复数z的虚部为 A．－2 B．2 C．－i D．－1 √ 依题意，z＝i＋2×(－1)＋3(－i)＋4＝2－2i，所以|z|＝ 故选B． 3．已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4(其中i为虚数单位)，则|z|＝ A．2 B．2 C．4 D．10 √ 4．已知复数z满足z(1＋i)＝2ti(t∈R)，若|z|＝2 ，则t＝______． ±2 返回 课时测评 返回 由于复数z＝(1－2i)i＝2＋i，它在复平面内对应的点的坐标为(2，1).故选A． 1．复数z＝(1－2i)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由题意可知z2＝－2＋i，所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5．故选A． 2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝ A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．已知 ＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．已知a，b∈R， (i为虚数单位)是纯虚数，则a，b应满足 A．b＝－2a B．b＝a C．ab＝1 D．ab＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 对于A，由定义知当z＝0时，D(z)＝0，故A错误；对于B，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D( )＝D(z)恒成立，故B正确；对于C，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故C错误；D显然正确． 5．(新定义)(多选)已知z＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，z1，z2∈C，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z1，z2)＝||z1－z2||.则下列命题中是真命题的是 A．对任意z∈C，都有D(z)＞0 B．若 是复数z的共轭复数，则D( )＝D(z)恒成立 C．若D(z1)＝D(z2)(z1，z2∈C)，则z1＝z2 D．对任意z1，z2∈C，结论D(z1，z2)＝D(z2，z1)恒成立 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．若复数z满足z· ＝3，则|z|＝________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．(开放题)若实系数一元二次方程的一个根是 则这个方程可以是 __________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设z＝a＋bi，a，b∈R， 因为(1＋i)·z＝(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i∈R，所以a＋b＝0，则z＝a－ai， 故答案为：3－3i(答案不唯一) 8．(开放题)写出一个同时满足①(1＋i)·z∈R；②|z|>4的复数z＝___________________. 3－3i(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)计算： (1)i(1＋i)－(2－3i)(2＋3i)；(4分) 解：i(1＋i)－(2－3i)(2＋3i)＝i－1－(4＋9)＝i－14． (2)(1＋2i)2＋ ＋i2 025．(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)计算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)(新定义)已知z1，z2是复数，定义复数的一种运算“⊗”：z1⊗z2＝ 当z1＝3－i，z2＝－2－3i时，z1⊗z2＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)(多选)已知z1，z2为复数，下列结论正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(13分)已知复数z＝2＋i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0在复数范围内的一个根． (1)求p＋q的值；(5分) 解：因为在复数范围内，实系数方程x2＋px＋q＝0的两个根是互为共轭复数的， 所以实系数方程x2＋px＋q＝0在复数范围内的另一个根是2－i， 所以p＋q＝1． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)复数w满足z·w是实数，且|w|＝2 ，求复数w.(8分) 解：设复数w＝a＋bi(a，b∈R)， 因为z·w＝(2＋i)(a＋bi)＝(2a－b)＋(a＋2b)i， 所以z·w是实数， 所以a＋2b＝0，即a＝－2b.① 又|w|＝2 ，所以a2＋b2＝20，② 因此复数w＝4－2i或w＝－4＋2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)设△ABC中的两个内角A，B所对的边分别为a，b，复数z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B，若复数z1z2为纯虚数，试判断△ABC的形状． 解：z1z2＝(a＋bi)(cos A＋icos B)＝(a cos A－b cos B)＋i(a cos B＋b cos A). 因为复数z1z2为纯虚数， 所以A＝B，或A＋B＝ ， 则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 章 　 复 数 返回 zz. ＋i 因为(1＋i)z＝i，z＝＝＝＝＋i，故复数z的虚部为.故选A． 复数＝＝＋i，则复数的共轭复数为－i，在复平面内，复数的共轭复数对应点的坐标为，故在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第四象限. 故选D． 因为z＝1＋2i，则z·＝1＋22＝5，因此，＝＝＝2＋i.故选B． 方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数的性质可得z＋＝2a，则2z＋＝(z＋)＋z＝3a＋bi＝3－2i，所以解得故 z＝1－2i.故选B． ±2 x ＝2. 由z(1＋i)＝2ti(t∈R)，得z＝＝＝ti(1－i)＝t＋ti，因为|z|＝2，所以t2＋t2＝(2)2，解得t＝2或t＝－2． 因为已知＝1＋i(i为虚数单位)，所以z＝＝＝－1－i.故选D． ＋ 因为＋＝＝＝为纯虚数，所以2a＋b＝0且b－2a≠0，所以b＝－2a.故选A． x2－x＋＝0(答案不唯一) ＋i， 因为方程的一个根是＋i，则另一个根为－i，所以＋＝，＝＋＝，故满足条件的一元二次方程可以为x2－x＋＝0．(答案不唯一) 由|z1|＝＝，|z2|＝＝，知|z1|＜|z2|，故z1⊗z2＝＝＝＝＝－＋i.故选A． 设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)，对于A，z1＋z2＝＝(a＋c)－(b＋d)i＝(a－bi)＋(c－di)＝＋，故A正确；对于B，z1z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，·＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i，z1·z2＝·，故B正确；对于C，设z1＝1，z2＝i，显然满足＝，但z＝1，z＝－1，不满足z＝z，故C错误；对于D，由z1z2＝0，得(ac－bd)＋(ad＋bc)i＝0，即则a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2＝0，即(a2＋b2)(c2＋d2)＝0，因此a＝b＝0或c＝d＝0，即z1＝0或z2＝0，故D正确．故选ABD． $$