10.2.1 复数的加法与减法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

10.2.1　复数的加法与减法 　 第十章　10.2　复数的运算 知识层面 1．掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算． 2．理解复数加、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 素养层面 通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养直观想象素养；借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 问题1．类比向量坐标的加减运算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到复数z1±z2吗？ 问题2．我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 新知构建 知识点一　复数的加法 1．复数的加法法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝_________________. (a＋c)＋(b＋d)i 微提醒 对复数的加法法则的理解 (1)复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是复数，但两个虚数的和不一定是虚数，如(－i)＋i＝0． (2)当b＝d＝0时，z1＝a，z2＝c，z1＋z2＝a＋c，即当两个复数为实数时，复数的加法法则与实数的加法法则一致． (3)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加． (4)两个共轭复数的和一定是实数． 2．复数的加法满足的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1＋z2＝_________； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝______________. z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 3．复数加法的几何意义 ||z1|－|z2|| 由复数加法的几何意义可以得出 ___________≤|z1＋z2|≤__________. |z1|＋|z2| 知识点二　复数的减法 1．复数的相反数 一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi. 复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2). 在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于________对称． 2．复数的减法法则 一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 显然，两个复数的差仍然是复数．而且，同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1－z2≠z2－z1． 原点 微提醒 对复数的减法法则的理解 (1)两个复数的差的实部是被减数的实部减去减数的实部，虚部是被减数的虚部减去减数的虚部． (2)两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如(3＋2i)－2i＝3． (3)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”就可以了． 3．复数减法的几何意义 由复数减法的几何意义可以得出 ___________≤|z1－z2|≤__________. ||z1|－|z2|| |z1|＋|z2| 自主检测 1．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于 A．3，－2 B．3，2 C．3，－3 D．－1，4 √ 由(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R)，得3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2． 故选B． z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i，故选A． 2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2等于 A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i √ z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故z对应的点为(－1－3)，位于第三象限. 故选C． 3．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ √ 因为z＝3－4i，所以|z|＝5，则复数z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋1－i＝－1－5i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点的坐标为(－1，－5)，位于第三象限． 5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第_____象限. 三 返回 合作探究 返回 例1 题型一　复数的加、减运算 (1)计算：(－6－5i)＋(－2－i)－(3－4i). 点拨：两个复数加(减)，实部相加(减)，虚部相加(减). 解：(－6－5i)＋(－2－i)－(3－4i) ＝(－6－2－3)＋(－5－1＋4)i ＝－11－2i. (2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi，x，y∈R，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2． 解：因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 规律方法 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 对点练1．(一题多解)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…－(2 022－2 023i)＋(2 023－2 024i). 解：方法一　原式＝(1－2＋3－4＋…－2 022＋2 023)＋(－2＋3－4＋5－…＋2 023－2 024)i＝(－1 011＋2 023)＋(1 011－2 024)i＝1 012－1 013i. 方法二　(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i， (3－4i)－(4－5i)＝－1＋i， …… (2 021－2 022i)－(2 022－2 023i)＝－1＋i. 将上述1 011个式子左右分别相加，得(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－…＋(2 021－2 022i)－(2 022－2 023i)＝1 011(－1＋i)， 故原式＝1 011(－1＋i)＋(2 023－2 024i)＝1 012－1 013i. 例2 题型二　复数加、减法的几何意义的应用 如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i.求： 点拨： 明确向量运算与复数运算的关系 → 先求向量再计算复数 (2)向量 对应的复数； (3)向量 对应的复数． 规律方法 复数加、减运算时的注意点 1．向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据． 2．利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数． 3．注意向量 对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋4i √ 返回 随堂演练 返回 由题意得z1＋z2＝－3－4i＋(－2＋3i)＝－5－i，在复平面内对应的点为(－5，－1)，位于第三象限．故选C． 1．设z1＝－3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ z－(2－3i)＝－1＋i，故z＝－1＋i＋2－3i＝1－2i.故选A． 2．如果z－(2－3i)＝－1＋i，那么复数z为 A．1－2i B．1＋4i C．－1－2i D．－1＋4i √ 因为z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，所以 解得a＝－1． 3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝______． －1 由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 4．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为_____． 9π 返回 课时测评 返回 1．若复数z＝4＋5i，则2－3 ＝ A．－10－15i B．－10＋15i C．14＋15i D．14－15i √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．|(3＋2i)－(4－i)|等于 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，得a＋2＋2i＝5＋bi，则a＋2＝5且b＝2，解得a＝3，b＝2，则a＋b＝3＋2＝5．故选D． 3．复数满足(a＋3i)＋(2－i)＝5＋bi，则a＋b等于 A．－4 B．7 C．－8 D．5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．当复数z满足|z＋3－4i|＝1时，则|z＋2|的最小值是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由复数的几何意义，知复数3＋2i，1＋i分别对应复平面内的点(3，2)与点(1，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示点(3，2)与点(1，1)之间的距离，故A正确，B错误；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，对应复平面内的点(2，1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|＝|2＋i|可表示点(2，1)到原点的距离，故C正确，D错误. 5．(多选)|(3＋2i)－(1＋i)|可表示 A．点(3，2)与点(1，1)之间的距离 B．点(3，2)与点(－1，－1)之间的距离 C．点(2，1)到原点的距离 D．点(2，2)到原点的距离 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，所以|z1－z2|＝|z1＋z2|，故以OM，ON为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，即该平行四边形为矩形，所以△MON的形状是直角三角形． 7．已知M，N分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O为坐标原点，若|z1－z2|－|z1＋z2|＝0，则△MON的形状是________三角形．(填“锐角”“直角”或“钝角”) 直角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)计算下列各式的值： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i]，其中a，b∈R.(5分) 解：[(a＋b)＋(a－b)i]－[(a－b)－(a＋b)i] ＝[(a＋b)－(a－b)]＋[(a－b)＋(a＋b)]i ＝2b＋2ai. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)已知复数z1＝ ＋2(m＋1)i，z2＝2＋(m2－5)i，其中m≠1， m∈R，i是虚数单位． (1)若 －z2是实数，求m的值；(4分) 因为 －z2是实数，所以m2＋2m－3＝0， 解得m＝1，m＝－3． 因为m≠1，所以m＝－3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)请问z1，z2是否为某实系数一元二次方程的两个虚根？并说明理由．(6分) 解：假设z1，z2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个虚根， 因为方程ax2＋bx＋c＝0的两个虚根为x1，2＝ ， 所以z1，z2互为共轭复数，于是 ＝z2， 由(1)知，从而 而该方程组无实数解， 所以z1，z2不是某实系数一元二次方程的两个虚根． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 若z1，z2为复数，z1＋z2是实数，令z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，z2＝c－bi(c，b∈R，b≠0)，则当a＝c时，z1，z2互为共轭复数，当a≠c时，z1，z1不互为共轭复数，反之z1，z2互为共轭复数，则“z1＋z2”一定是实数，因此，若z1，z2为复数，则“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的必要不充分条件．故选B． 11．(5分)若z1，z2为复数，则“z1＋z2是实数”是“z1，z2互为共轭复数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13．(13分)已知复数z1＝x2＋y2i，z2＝x2－y2i(x，y∈R)，z3＝2z1－z2，其中x2＋y2＝1，求|z3|的最小值． 解：因为z1＝x2＋y2i，z2＝x2－y2i， 所以z3＝2z1－z2＝2(x2＋y2i)－(x2－y2i)＝x2＋3y2i. 因为x2＋y2＝1，所以z3＝1－y2＋3y2i， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求实数a的值；(7分) 所以a2＋2a－15＝0，所以a＝3或a＝－5(舍去)， 所以a＝3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：由(1)知z1＝ ＋i，z2＝－1＋i， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 十 章 　 复 数 返回 ＝－(＋)＝(3，2)－(1，5)－(－2，1)＝(4，－4)，对应的复数为4－4i.故选C． 因为|z＋2|＝|(z＋3－4i)＋(－1＋4i)|≥|－1＋4i|－|z＋3－4i|＝－1＝－1，所以|z＋2|的最小值是－1．故选B． 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，共轭复数＝a－bi，因为2z－＝6i，所以2(a＋bi)－(a－bi)＝6i，所以a＋3bi＝6i，所以a＝0，3b＝6，解得a＝0，b＝2．则z＝2i. 因为z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β＋isin β，所以z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α－sin β).因为|z1－z2|＝，所以＝，所以cos (α－β)＝. 4 由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，所以x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，所以2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时取等号，故2x＋4y的最小值为4. $$