重点题型强化(一) 解三角形的综合问题-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

重点题型强化(一)　解三角形的综合问题 　 第九章　解三角形 学习目标　1．会解决解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题，培养数学运算核心素养． 2．会解决三角形的中线、角平分线等问题，培养直观想象及数学运算核心素养． 例1 一、解三角形与三角恒等变换的综合 (2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B. (1)求sin A； 解：因为A＋B＝3C， 所以π－C＝3C，即C＝ ， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C ＝sin A cos C＋cos Asin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 所以sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A< ， (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：由(1)知，cos A＝ 由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C 规律方法 对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系(此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的)，进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解． 对点练1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b ＝2c，cos A＝－ . (1)求c的值； (2)求sin B的值； 解：由(1)知，b＝2c＝2， (3)求sin (2A－B)的值． 例2 二、解三角形与三角函数的综合 (1)求ω的值及f(x)的对称中心； 显然f(x)的最大值为1，最小值为－1， (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)＝－1，a＝ ，求△ABC周长的取值范围． 规律方法 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题． 对点练2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f(x)＝sin (x ＋B)＋cos (x＋B)tan C，且 (1)求角A； 例3 三、解三角形中的中线问题 在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B． (1)求A； 所以b sin ＝asin B， 由正弦定理得：sin B sin ＝sin A sin B， 因为sin B≠0，所以sin ＝sin A， 所以A＝ . 解：因为 ＝3， 所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， 规律方法 求解三角形中线问题的常用方法 1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2．向量法：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则 (b2＋c2＋2bc cos A). 对点练3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B＝ b cos A． (1)求角A的大小； 解：由a sin B＝ b cos A及正弦定理可得： sin Asin B＝ sin B cos A， (2)若BC边上的中线AD＝ ，且c＝4，求b的值． 即28＝c2＋b2＋2bc cos ∠BAC＝c2＋b2＋bc， 即b2＋4b－12＝0，解得b＝2(负值舍去). 四、解三角形中的角平分线问题 例4 所以bc＝3，又a＝2 ， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 规律方法 求解三角形角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： 1．利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD． 2．内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 ＝ . 3．等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝ (角平分线长 公式). √ 五、解三角形中的最值(范围)问题 △ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB·sin C． (1)求角A； 解：由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A② 由①②得cos A ＝－ . 因为0<A<π，所以A＝ . 例5 (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 故BC＋AC＋AB＝3＋ sin B＋3cos B 规律方法 解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围). 对点练5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面 积为S，且满足S＝ (a2＋b2－c2). (1)求角C的大小； 所以tan C＝ . 因为0<C<π，所以C＝ . (2)求sin A·sin B的最大值． 课时测评 A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，b＝3c，角A的平分线交BC于点D，且BD＝ ，则cos ∠ADB＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝( ，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1， cos ∠BAC＝ ，以下结论正确的是 √ √ √ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 7．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin A sin B cos C ＝sin2C，则 ＝________，角C的最大值为________． 2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 5 1 2 3 4 9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝ ，a＝6，1≤b ≤4，则sin A的取值范围为___________． 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 6 5 1 2 3 4 10．(10分)设f(x)＝sin x cos x－cos2 ，x∈R. (1)求f(x)的单调递增区间；(5分) 解：f(x)＝sinx cos x－cos2 ，x∈R. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 7 6 5 1 2 3 4 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A， 可得1＋ bc＝b2＋c2． 因为b2＋c2≥2bc，当且仅当b＝c时等号成立， (2)在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f ＝0，a＝1，求 △ABC面积的最大值．(5分) 9 10 11 12 13 14 15 16 8 7 6 5 1 2 3 4 9 10 11 12 13 14 15 16 8 7 6 5 1 2 3 4 √ 10 11 12 13 14 15 16 9 8 7 6 5 1 2 3 4 10 11 12 13 14 15 16 9 8 7 6 5 1 2 3 4 12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝ ，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是 √ 11 12 13 14 15 16 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 11 12 13 14 15 16 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b2＋c2－a2＝bc，a＝ ，则b＋c的取值范围是___________． 12 13 11 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 14 15 16 12 13 11 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 14 15 16 (1)求AC的长；(5分) 所以由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝6＋6－2×6× ＝18， 所以AC＝3 . 13 14 15 16 12 11 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 (2)若AB⊥AD，∠B＝ .求BC的长．(6分) 因为AB⊥AD，所以∠BAC＝ . 13 14 15 16 12 11 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 √ √ √ 14 15 16 13 12 11 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 14 15 16 13 12 11 10 9 8 7 6 5 1 2 3 4 (1)求角A的大小；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 (2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围．(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 即△ABC周长的取值范围是(1＋ ，3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 解 三 角 形 ＝， f ＝－. · 2＝ (，2] 解：因为∠D＝，CD＝，△ACD的面积为， $$