9.2 正弦定理与余弦定理的应用&9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

　 第九章　9.2　正弦定理与余弦定理的应用　9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 知识层面 1．了解实际问题中所涉及的名词和一些术语，能将实际问题转化为解三角形问题． 2．能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． 素养层面 通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题，培养直观想象、数学运算素养；借助将实际问题转化为解三角形问题，培养数学建模素养． 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题导思 在实地测量工作中，经常遇到一些不便于直接测量的情形．如图是一博物馆.现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部). 在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米． 问题．你能给出一种博物馆正门柱楼顶部点P离地面的高度(即OP的长)的计算方法吗？ 提示：可以.　第一步：在△PAO中，AO＝ PO；第二步：在△PBO中，BO＝PO；第三步：在△AOB中，AO2＝BO2＋AB2－2·BO·AB cos 60°，解得OP＝25米． 新知构建 知识点一　测量距离问题 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A，B间不可达也不可视   测得AC＝b，BC＝a，∠ACB＝C，则由余弦定理得AB＝____________________ B，C与点A可视但不可达   测得BC＝a，∠ABC＝B，∠ACB＝C，则A＝π－(B＋C)， 由正弦定理得AB＝__________ C，D与点A，B均可视不可达   测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB 知识点二　测量高度问题 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部可达   测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝___________ 底部不可达 点B与C，D共线   测得CD＝a及∠ACD与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 a·tan C 类型 简图 计算方法 底部不可达 点B与C，D不共线     测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数． 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 知识点三　测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念． 解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可． 自主检测 1．中国人民解放军某舰队一艘巡逻舰在南海执行任务时以60海里/小时的速度向正北航行，如图，在A处发现S处有一艘船只，仪表显示S处在A处的北偏东30°，半小时后航行到B处，在B处测得S处在巡逻舰的北偏东75°，则S与B之间的距离是 A．15海里 B．15 海里 C．20海里 D．20 海里 √ 2．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝500 m，则山高MN(单位：m)为 A．750 B．750 C．850 D．850 √ 3．蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年(1621年)，为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如右图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝30 米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB＝150°，则蜚英塔的高度CD是 A．25米 B．25 米 C．30米 D．30 米 √ 4．已知两座灯塔A，B到海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°方向，灯塔B在观察站C的南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B的 A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向 C．南偏东10°方向 D．南偏西10°方向 √ 如图，由题意得，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝180° －40°－60°＝80°，所以∠ABC＝ ×(180°－80°)＝ 50°.又60°－50°＝10°，所以A在B的北偏西10°方向．故选B． 5．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°， ∠CBD＝15°，∠BCD＝120°，则两景点B与C的距离为________km. 返回 合作探究 返回 例1 题型一　测量距离问题 (一题多解)在一次实兵演习中，红方为了准确分析战场形势，在两 个相距 a的军事基地C处和D处，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B 处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离． 点拨：已知CD的长及4个角的值，求解AB的长，可按照求解可视不可到达的两点之间的距离问题的方法，结合正、余弦定理求解． 解：方法一　因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， 所以∠DAC＝60°，所以AD＝CD＝ a. 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－60°－45°＝45°， 所以AB＝ a. 故蓝方这两支精锐部队的距离为 a. 方法二　同方法一，可得AD＝CD＝AC＝ a. 所以BC＝ a. 故蓝方这两支精锐部队的距离为 a. 方法三　易知△ADC是正三角形，且BD垂直平分AC，所以AB＝BC，又∠ACB＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形，所以AB＝AC sin ∠ACB＝ a. 故蓝方这两支精锐部队的距离为 a. 规律方法 利用正弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题，利用正弦定理、余弦定理可以解决两个不可到达的点之间的距离问题(一般要解3个三角形).解决此类求距离问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离．利用正弦定理解决距离问题时通常需测出所构造三角形的两角和一边；利用余弦定理解决距离问题时常需要测出所构造三角形的两边及其夹角，有时需综合运用两个定理求解．注意求距离时，常会遇到方位角、方向角等概念，应正确理解，并会构造三角形测量距离． 根据题意，由余弦定理知 对点练1．(1)如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离(单位：百米)，已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB＝60°，则A，B之间的距离为 A．7 B．10 C．6 D．8 √ (2)为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2 km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为 A． km B．2 km C．4 km D．4 km √ 例2 题型二　测量高度问题 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度是 A．30 m B．40 m C．40 m D．40 m 点拨：设AB的长为x m，进而根据题意用x来表示BD，BC，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即得到电视塔的高度． √ 如图所示，由题意，设AB＝x，则BD＝ x，BC＝x.在△DBC中， ∠BCD＝120°，CD＝40，根据余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，即( x)2＝x2＋402－2×x×40×cos 120°，整理得x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去).故所求电视塔的高度为40 m．故选B． 规律方法 利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题．通过解一个直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解．解决高度测量问题时，常会遇到仰角、俯角或视角等角度问题，应正确理解这些概念，弄清它们的区别与联系． 对点练2．山顶上有一座信号发射塔，塔高0.2千米，山脚下有A，B，C三个观测点，它们两两之间的距离分别为AB＝3千米，AC＝4千米，BC＝2 千米，从这三个观测点望塔尖的仰角均为60°，则山高为________千米． 例3 题型三　测量角度问题 某地要投资建设一个深水港码头，为了解深水港码头海域海底的构造，在水平面内一条直线上取A，B，C三点进行测量，如图所示，已知AB＝60 m，BC＝120 m，在A处测得水深AD＝120 m，在B处测得水深BE＝ 200 m，在C处测得水深CF＝150 m，则cos ∠DEF＝_______． 点拨：把∠DEF放到某一个三角形中利用余弦定理的推论即可求得cos ∠DEF的值．解题的关键是求出该三角形三边的长度． 规律方法 正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上是正、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形与四边形)问题中的应用，因此利用几何图形本身或实际问题中涉及的术语(如方位角等)构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理解决问题． 对点练3．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________． 易错精析 易错点　混淆概念致错 某观测站C在目标A南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°方向的公路，在C处测得与C相距31 km的公路上的B处有一人正沿着此公路向A走去，走了20 km后到达D，此时测得C，D之间的距离为21 km，此人还要走________km才能到达A． 典例 15 返回 易错探因：对方向角的概念理解不准确． 误区警示：在解三角形实际应用问题中涉及许多专业术语，如方向角、方位角、仰角、俯角等．理解概念，画出正确的示意图是正确解题的前提． 随堂演练 返回 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β. 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为 A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° √ 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，可以计算出A，B两点的距离为 √ 3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为 √ 4．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为__________． 返回 课时测评 返回 1．如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/小时的速度，沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现有座小岛C在其南偏东75°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3．泰州基督教堂，始建于清光绪二十八年，位于泰州市区迎春东路185号，市人民医院北院对面，总建筑面积2 500多平方米.2017年被认定为省四星级宗教活动场所．小明同学为了估算泰州基督教堂的高度，在人民医院北院内找到一座建筑物AB，高为(15 －15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算泰州基督教堂的高度为 A．20 m B．30 m C．20 m D．30 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4．一艘客船上午9：30在A处测得灯塔S在北偏东30°方向上，之后它以32n mile/h的速度继续沿正北方向航行，上午10:00到达B处，此时测得客船与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S在B处的 A．北偏东75°方向 B．南偏东15°方向 C．北偏东75°方向或南偏东15°方向 D．东偏北75°方向或东偏南15°方向 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5．某观测站C在目标A的南偏西25°方向上，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31 km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20 km到达D处，此时测得CD距离为21 km.若此人必须在20 min内从D处到达A处，则此人的最小速度为 A．30 km/h B．45 km/h C．14 km/h D．15 km/h √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 如图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7．如图，已知两座山的高分别为MN＝30米，BC＝20米，为测量这两座山峰M，C之间的距离，选择水平地面上一点A为测量观测点，测得∠MAN＝60°，∠CAB＝45°，∠BAN＝150°，则MC＝________米． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的 倍，则甲船应沿__________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了_____ n mile. 北偏东30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9．(10分)如图，在海岸边A点的观测站发现南偏西30°方向上，距离A点20海里的C处有一艘走私船，立刻通知了停在A的正东方向上，且距离A点10( －1)海里的B处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从C处沿南偏东15°方向逃窜． (1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私 艇的什么方向？(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：由题意可知AB＝10( －1)，AC＝20，∠BAC＝120°. 在△ABC中，由余弦定理得BC＝ 故刚发现走私船时，走私船距缉私艇10 海里，在缉私艇的南偏西45°方向上． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？(6分) 解：如图，设t小时后缉私艇在D处追上走私船， 则CD＝10t，BD＝10 t. ∠BCD＝45°＋75°＝120°. 解得sin ∠CBD＝ ，则∠CBD＝30°， 所以△BCD是等腰三角形． 故缉私艇至少需要 小时追上走私船． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10．(10分)如图，为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝45°，∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，A，B两点的距离为 km. (1)求△ABD的面积；(4分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：在△ABD中，因为∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝30°＋45°＝75°，所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠ABD＝180°－75°－45°＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求C，D间的距离．(6分) 解：因为∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝45°＋75°＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，所以BC＝AB＝ ，所以AC＝3． 在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD cos ∠DAC＝5，解得CD＝ . 故C，D间的距离为 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11．(5分)如图，已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30 m到达B处后再次观察帐篷C，D，此时二者分别在北偏西15°和北偏西60°方向，图中各点都在同一平面内，则帐篷C，D之间的距离为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12．(5分)渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以15 海里/时的速度向正北方向航行，该船在A点处时发现在北偏东30°方向的海面上有一个小岛C，继续航行20分钟到达B点，此时发现该小岛在北偏东60°方向上，若该船向正北方向继续航行，船与小岛的最小距离为多少海里？ 解：根据题意画出相应的图形， 如图所示，过C作CD⊥AB交AB于点D， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 因为∠A＝30°，∠CBD＝60°， 所以∠BCA＝30°. 则△ABC为等腰三角形，所以BC＝5 . 在△BCD中， 因为∠CBD＝60°，CD⊥AD，BC＝5 ， 所以CD＝ ，则该船向北继续航行，船与小岛的最小距离为7.5海里． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：如图构建几何图形， 则|AB|2＝|OA|2＋|OB|2－2|OA||OB|cos 30° 则|AB|＝20，所以∠OAB＝90°，则∠EAB＝30°， 所以|AE|＝10 ，|EB|＝10， t甲<t乙， 甲先到达，且往北偏东30°方向航行． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 由余弦定理得：13＝16＋AE2－2×4×AE× ， 所以AE＝1或3． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设∠ACE＝α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．(10分) 所以CF＝ ， 所以CE＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大， S△CEF＝ CE·CF·sin ∠ECF 因为α∈ ， 所以0≤sin ≤1， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 九 章 　 解 三 角 形 返回 － －1 30 m 35 10 a $$