11.3.2 直线与平面平行-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.3.2　直线与平面平行 知识层面 1．掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题． 2．利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题． 素养层面 通过空间中直线与平面位置关系的学习，培养直观想象核心素养；借助直线与平面平行的判定与性质的学习，提升数学抽象、逻辑推理核心素养． 问题1．如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？ 提示：AB平行于桌面所在平面，由翻动过程中，封面另一边缘始终在桌面所在平面内，故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． 问题2．已知直线a与平面α平行，则直线a与平面α内的任一直线b有哪些位置关系？在什么条件下a与b平行？ 提示：平行或异面．当a与b不异面，即在同一个平面内时平行． 学生用书第76页 知识点一　直线与平面平行的判定定理 1．直线与平面平行的判定定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 如果l⊄α，m⊂α，l∥m，则l∥α [微提醒]　判定定理判定线面平行的条件 (1)直线a在平面α外，即a⊄α； (2)直线b在平面α内，即b⊂α； (3)直线a，b平行，即a∥b. 判定定理体现了等价转化思想，将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题． 2．直线与平面平行的画法 画一条直线和已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形内的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行，如图所示． 知识点二　直线与平面平行的性质定理 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行 如果l∥α，l⊂β，α∩β＝m，则l∥m [微提醒]　(1)直线与平面平行的性质定理可简记为“线面平行，则线线平行”． (2)性质定理中有三个条件，即l∥α，l⊂β，α∩β＝m，这三个条件缺一不可． (3)直线与平面平行的性质定理可以作为证明直线与直线平行的依据． (4)定理揭示了当a∥α时，作直线a的平行线的方法，即过a作一平面与已知平面相交，交线b一定与a平行． 1．已知两条直线a、b和平面α，若b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的(　　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 解析：若a∥b，但如果a⊂α，显然a∥α不成立； 若a∥α，且b⊂α，则a∥b或a与b异面，所以“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件. 故选D． 2．如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　) A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 答案：B 解析：在四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA． 故选B． 3．直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的有(　　) A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条 答案：C 解析：过直线a和n条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b.若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行；若没有与b重合的，则这n条直线中与直线a平行的直线有0条．故选C． 4．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 答案：B 解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，因为AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，所以A1B1∥平面ABC，因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB．故选B． 5．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是________． 答案：平行 解析：因为EH∥FG，FG⊂平面BCD，EH⊄平面BCD，所以EH∥平面BCD，又EH⊂平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD． 学生用书第77页 题型一　直线与平面平行的判定 例1　如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，E为PC的中点，PF＝2FD，求证：BE∥平面AFC． 点拨：在平面AFC内找到与BE平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理证明． 证明：如图，连接BD，交AC于点O，取PF的中点G，连接EG，ED，ED交CF于点M，连接MO. 在△PCF中，E，G分别为PC，PF的中点，则EG∥FC． 在△EDG中，MF∥EG，且F为DG的中点， 则M为ED的中点． 在△BED中，O，M分别为BD，ED的中点， 则BE∥MO. 又MO⊂平面AFC，BE⊄平面AFC， 所以BE∥平面AFC． 利用判定定理证明线面平行的步骤 上面的第一步“找”是证题的关键，其常利用三角形、梯形中位线的性质，或利用平行四边形的性质等． 对点练1．如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆．AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点． (1)求证：SA∥平面PCD； (2)求圆锥SO的表面积． 解：(1)证明：连接OP， 因为O为AB的中点，P为SB的中点， 则OP∥SA，又OP⊂平面PCD，SA⊄平面PCD， 所以SA∥平面PCD． (2)记底面圆半径为r，侧面展开图半径为R， 则R＝2， 又πR＝2πr， 所以r＝1， 故圆锥SO的表面积为S＝S底＋S侧＝πr2＋πR2＝3π. 题型二　直线与平面平行的性质定理 例2　如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E是PC的中点，在DE上任取一点F，过点F和AP作平面PAGF交平面BDE于FG，求证：AP∥GF. 点拨：根据线面平行的性质定理，要证AP∥GF，只需证AP∥平面BDE，即只需证AP与平面BDE内的某一条直线平行． 证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接OE， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以点O是AC的中点． 又E是PC的中点， 所以AP∥OE. 因为AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， 所以AP∥平面BDE. 因为平面PAGF∩平面BDE＝GF，所以AP∥GF. 学生用书第78页 应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面． 对点练2．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　) A．平行 B．平行或异面 C．平行或相交 D．异面或相交 答案：B 解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是平行或异面. 故选B． 题型三　直线与平面平行的判定与性质的综合应用 例3　如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明． 解：直线l∥平面PAC．证明如下： 因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC． 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC， 所以EF∥平面ABC． 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l. 因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC， 所以l∥平面PAC． 直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，有如下示意图： 对点练3．如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形． 证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD． 因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD， 所以BC∥平面PAD． 因为平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC⊂平面BCFE，所以BC∥EF. 因为AD＝BC，AD≠EF，所以BC≠EF， 所以四边形BCFE是梯形． 易错点　对直线与平面的关系理解不透彻致误 已知M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与直线a，b都平行的平面(　　) A．有且只有一个 B．有两个 C．没有或只有一个 D．有无数个 正解：过点M作直线a′∥a，过点M作直线b′∥b，则a′，b′确定平面α，当a，b都不在由a′，b′确定的平面α内时，过点M且与a，b都平行的平面只有一个；当a⊂α或b⊂α时，过点M且与a，b都平行的平面不存在． 答案：C 易错探因：解题时易忽略a⊂α或b⊂α的特殊情况，导致所得结果不全面． 误区警示：直线与平面的位置关系的分类要清晰，一种分法是直线在平面内与不在平面内(包括直线与平面平行和相交)；另一种分法是直线与平面平行(无公共点)和直线与平面不平行(直线在平面内和直线与平面相交). 学生用书第79页 1．下列命题正确的是(　　) A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行 B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行 D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 答案：B 解析：不在平面内的直线还可与平面相交，故A错误；一条直线与平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；直线也可能在平面内，故D错误．故选B． 2．如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，与平面AB1C平行的直线是(　　) A．DD1 B．A1D1 C．C1D1 D．A1D 答案：D 解析：因为A1B1綉AB綉CD，所以A1B1綉CD，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C，又B1C⊂平面AB1C，A1D⊄平面AB1C，所以A1D∥平面AB1C．故选D． 3．(多选)在四面体ABCD中，M，N分别为△ACD和△BCD的重心，则下列平面中与MN平行的是(　　) A．平面ABC B．平面ABD C．平面ACD D．平面BCD 答案：AB 解析：连接AM并延长交CD于E，连接BN并延长交CD于F，如图所示，由重心的性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD中点，由＝＝，得MN∥AB．因为AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD，所以MN∥平面ABC，且MN∥平面ABD． 4．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是________． 答案：平行或异面 解析：由AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，得CD∥α，所以直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面． 学科网（北京）股份有限公司 $$