11.2 平面的基本事实与推论-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.2　平面的基本事实与推论 知识层面 1．掌握平面的画法及表示方法．　2．掌握平面的基本事实及推论．　3．能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题． 素养层面 通过平面画法的学习，培养直观想象核心素养；借助平面的基本事实及推论，培养逻辑推理核心素养． 问题1．我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 提示：不共线的三点． 问题2．如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？ 提示：不在平面α内；在平面α内． 问题3．把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只交于一点？ 提示：不是，相交于一条直线． 知识点一　平面的基本事实 1．基本事实1 自然语言 图形语言 符号语言 经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面．可简单地说成“不共线的3点确定一个平面” 三点A，B，C，A∉直线BC⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α [微提醒]　(1)“有且只有一个”有两层含义，“有”表示存在，“只有一个”表示唯一，所以“有且只有一个”表示存在并且唯一，这就表明这个图形是确定的，所以也可以说成“确定一个”． (2)值得注意的是，如果给定的3个点在同一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这3个点不能“确定”一个平面． (3)基本事实1的作用：①确定平面；②证明点、线共面． 2．基本事实2 自然语言 图形语言 符号语言 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈α，B∈α⇒直线AB⊂α [微提醒]　(1)从集合的角度看，基本事实2可以表述为：如果一条直线(点集)上有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点：一是整条直线在平面内；二是直线上所有点在平面内． 学生用书第67页 (2)基本事实2的作用是判断直线是否在平面内，点是否在平面内，也可以用来检验面是否为平面．根据性质，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线在平面内，判断的关键是抓住在平面内的点的个数，因为两点确定一条直线，从而两个点就能够代表整条直线，进而可判断直线是否在平面内． 3．基本事实3 自然语言 图形语言 符号语言 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 A∈α，且A∈B⇒α∩β＝a，且A∈a 基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能组成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线． [微提醒]　(1)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两面共有一点”就有“两面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的． (2)基本事实3的作用：①判断两个平面是否相交．只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交．②解决点在线上或点共线问题．若点是某两个平面的公共点，则该点在这两个平面的交线上． 知识点二　平面基本事实的推论 推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 [微提醒]　(1)三个推论都可看作是基本事实1的变形，它们组成了确定平面的完整体系，也是证明点、线共面的依据． (2)推论1中要注意“点必须是直线外一点”，当点在直线上时，可以确定无数个平面． 1．若空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　) A．必有三点共线 B．必有三点不共线 C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线 答案：B 解析：空间四点A，B、C、D共面而不共线，则至少有一点不在其余点中的两点确定的直线上，如C∉AB，无论C点在何位置，C，A，B三点都不共线． 2．下列结论不正确的是(　　) A． ⇒A∈α B． ⇒A∈l C． ⇒α∩β＝A D． ⇒AB⊂α 答案：C 解析：根据点、直线、平面间的关系，点与平面间的关系应该是属于的关系，所以C选项中α∩β＝A应该是A∈(α∩β)，故C选项是错误的．故选C． 3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　) A．l⊂α B．l⊄α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 答案：A 解析：因为直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，所以M∈平面α，N∈平面α.又因为M∈l，N∈l，所以l⊂α.故选A． 4．如图，α∩β＝l，A∈α，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(　　) A．点A B．点B C．点C，但不过点D D．点C和点D 答案：D 解析：因为平面α∩β＝l，点A∈α，B∈α，C∈β，且C∉l，所以C∈β，且C∉α，又AB∩l＝D， 所以D∈α，D∈CD，过A、B、C三点确定的平面记作γ，所以β∩γ为直线CD．故选D． 5．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________． 答案：5 解析：如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条. 学生用书第68页 题型一　证明点共线问题 例1　(一题多解)如图，△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q.求证：P，Q，R三点共线． 点拨：思路一　分别证明P，Q，R三点均在平面ABC和平面α内，利用基本事实3即可得出结论； 思路二　利用直线AP与AR确定平面APR，由平面APR∩α＝PR，再证点Q在直线PR上即可． 证明：方法一　因为AB∩α＝P，所以P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC，由基本事实3可知，P点在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q，R两点也在平面ABC与平面α的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 方法二　因为AP∩AR＝A， 所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α＝P，AC∩α＝R，所以平面APR∩平面α＝PR. 因为B∈平面APR，C∈平面APR，所以BC⊂平面APR. 又Q∈BC，所以Q∈平面APR. 又Q∈α，所以Q∈PR，所以P，Q，R三点共线． 证明点共线问题的常用方法 证明点共线问题常用的方法有两种：(1)先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在交线上，从而共线；(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在该直线上. 对点练1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是线段BC、A1D1的中点．求证： (1)四边形B1EDF是菱形． (2)直线A1C与平面B1FDE的交点与E、F三点共线． 证明：(1)取AD的中点G，连接FG，BG，如图所示， 因为B1B∥FG，B1B＝FG， 所以四边形B1BGF为平行四边形，所以BG∥B1F. 由ABCD -A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为线段BC，AD的中点， 可得四边形BEDG为平行四边形，所以BG∥DE，BG＝DE， 则B1F∥DE，且B1F＝DE，即四边形B1EDF为平行四边形， 由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E＝B1F，所以四边形B1EDF是菱形． (2)因为A1B1∥CD，所以A1，B1，C，D四点共面， 连接B1D，设直线A1C与B1D的交点为O， 因为O∈B1D，B1D⊂平面B1FDE， 所以O∈平面B1FDE，同理O∈平面A1BCD1， 因为平面B1FDE∩平面A1CBD1＝EF. 所以O在EF上，即O、E、F三点共线． 题型二　证明线共点问题 例2　三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点． 点拨：当试题是文字证明问题时，先要根据题意将其转化为符号语言，即写出它的已知和求证，然后应用相关的方法进行证明． 证明：已知：点A，直线a，b，c，平面α，β，γ，满足α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，a∩b＝A． 求证：A∈c. 证明：因为a∩b＝A，所以A∈a，A∈b， 又α∩β＝a，β∩γ＝b， 所以a⊂α，b⊂γ，所以A∈α，A∈γ. 而α∩γ＝c，所以A∈c. 学生用书第69页 证明三线共点的思路是，先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，常结合平面的基本事实与推论，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的“交界”(第三条直线)上，从而证明三线共点． 对点练2．如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，P，Q，R分别在棱AB，BB′，CC′上，且DP，RQ相交于点O. 求证：DP，RQ，BC三线共点． 证明：因为DP∩RQ＝O， 所以O∈RQ且O∈DP， 又DP⊂平面ABCD，RQ⊂平面BB′C′C， 所以O∈平面ABCD且O∈平面BCC′B′， 又平面ABCD∩平面BCC′B＝BC， 所以O∈BC，所以DP，RQ，BC三线共点． 题型三　证明共面问题 例3　已知a，b，c，d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 点拨：四条直线两两相交且不过同一点，可分成两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点．因而本题需分类后再进行各自的证明．需要注意的是，要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明．先证其中两条直线确定一个平面，再证其他直线也在这个平面内． 证明：(1)有三线共点的情况，如图． 设b，c，d三线相交于点K， 与直线a分别交于点N，P，M，且K∉a. 因为K∉a，所以点K和直线a确定一个平面，设该平面为α. 因为N∈a，a⊂α，所以N∈α. 所以NK⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，d⊂α. 所以a，b，c，d共面． (2)无三线共点情况，如图． 设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S. 因为a∩d＝M，所以直线a，d可确定一个平面α. 因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α. 所以NQ⊂α，即b⊂α. 同理，c⊂α，所以a，b，c，d共面． 由(1)(2)知，a，b，c，d共面． 证明共面问题的常用方法 1．纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． 2．辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合． 对点练3．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，E，F，G，H分别为BB1，CC1，A1B1，A1C1的中点．证明： (1)E，F，G，H四点共面； (2)EG，FH，AA1三线共点． 证明：(1)如图，连接EF，GH. 因为GH是△A1B1C1的中位线， 所以GH∥B1C1． 因为B1E∥C1F，且B1E＝C1F， 所以四边形B1EFC1是平行四边形， 所以EF∥B1C1， 所以EF∥GH， 所以E，F，G，H四点共面． (2)如图，延长EG，FH相交于点P. 因为P∈EG，EG⊂平面ABB1A1， 所以P∈平面ABB1A1． 所以P∈FH，FH⊂平面ACC1A1． 所以P∈平面ACC1A1． 因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1＝AA1， 所以P∈AA1， 所以EG，FH，AA1三线共点. 学生用书第70页 题型四　确定两个平面的交线 例4　如图所示，E，F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点，试画出平面BED1F与平面ABCD的交线． 点拨：―→ 解：如图所示，在平面AA1D1D内，D1F与DA不平行，分别延长D1F与DA，则D1F与DA必相交，设交点为M. 因为M∈D1F，M∈DA，D1F⊂平面BED1F，DA⊂平面ABCD， 所以M∈平面BED1F∩平面ABCD． 又B∈平面BED1F∩平面ABCD， 连接MB，则MB＝平面BED1F∩平面ABCD． 即直线MB为所求两平面的交线． 基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有其他公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找到了它们的交线．因此求两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点． 对点练4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，画出由A1，C1，P三点所确定的平面α与长方体表面的交线，并作出平面α与平面ABCD的交线． 解：平面α与长方体表面的交线(A1P，C1P，A1C1)如图①所示． 　　 平面α与平面ABCD的交线可以这样确定：延长C1P，则它与CB的延长线一定相交，设交点为M，则M是平面α与平面ABCD的一个公共点；同理，延长A1P交AB的延长线于点N，则N也是平面α与平面ABCD的一个公共点，连接MN，则直线MN就是平面α与平面ABCD的交线，如图②所示． 易错点　忽略基本事实及推论应用的条件致误 已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点的位置关系是(　　) A．共面 B．不共面 C．共线 D．不确定 正解：(1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α， 因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内， 因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内．所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面． (2)如果B，C，D三点共线于l， 若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面． 若A，E中有且只有一个点在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面． 若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面． 综上所述，A，B，C，D，E五点可能共线，也可能不共线；可能共面，也可能不共面． 答案：D 易错探因：本题在求解时，要用到平面的基本事实1，但同学们容易忽略基本事实1中“不在一条直线上的3个点”这个重要条件，从而得出A，B，C，D，E五点共面的错误结论． 误区警示：在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地考虑问题．对于确定平面问题，在应用基本事实1及三个推论时一定要注意它们成立的前提条件． 学生用书第71页 1．空间中四点可确定的平面个数有(　　) A．1个 B．3个 C．4个 D．1个或4个或无数个 答案：D 解析：当四个点共线时，确定无数个平面；当四个点不共线时，若四点共面，可确定1个平面，若四点不共面，可确定4个平面，所以空间中四点可确定的平面有1个或4个或无数个．故选D． 2．能确定一个平面的条件是(　　) A．空间三个点 B．一个点和一条直线 C．无数个点 D．两条相交直线 答案：D 解析：不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C中的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．故选D． 3．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a，b，c为直线，下列推理正确的是(　　) A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，且α，β不重合⇒α∩β＝MN C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面 D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线⇒α，β重合 答案：ABD 解析：选项C中，共面不具有传递性，故C错误；A，B，D均正确． 4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空： (1)平面AB1∩平面A1C1＝________； (2)平面A1C1CA∩平面AC＝________； (3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________； (4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________． 答案：(1)A1B1　(2)AC　(3)OO1　(4)B1 学科网（北京）股份有限公司 $$