11.1.5 旋转体-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.1.5　旋转体 知识层面 1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．　2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．　3．能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．　4．会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题． 素养层面 通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象核心素养；借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算核心素养． 问题1．如图，矩形ABCD绕其边AB所在直线旋转一周，其余三边BC，CD，DA旋转各形成什么图形？共同围成什么空间几何体？ 提示：边BC，DA旋转各形成一个圆面，边CD旋转形成一个曲面，它们共同围成一个圆柱． 问题2．如图，直角三角形ABC绕其一条直角边AC所在直线旋转一周，其余两边BC，AB旋转各形成什么图形？共同围成什么空间几何体？ 提示：边BC旋转形成一个圆面，边AB旋转形成一个曲面，它们共同围成一个圆锥． 问题3．如图，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是什么几何体？此几何体是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？ 提示：圆台，可以，此几何体可以由直角梯形绕其垂直于底的腰旋转，其他的边形成的几何体就是圆台． 学生用书第56页 知识点一　圆柱、圆锥、圆台的有关概念 圆柱 圆锥 圆台 定义 圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的几何体 圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的几何体 圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的几何体 轴 旋转轴称为旋转体的轴 高 在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高 底面 垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面 侧面 不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面 母线 无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都称为母线 轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面 图形 表示 此图可表示为：圆柱OO′ 此图可表示为：圆锥SO 此图可表示为：圆台OO′ [微提醒]　圆柱、圆锥、圆台的特征性质 圆柱 圆锥 圆台 底面 两个相同的圆面，两圆所在的平面互相平行 圆面 两个半径不等的圆面，两圆所在的平面互相平行 平行于底面的截面 与底面相同的圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 圆面，且与轴垂直 过轴的截面(简称轴截面) 有无数个，且都是全等的矩形，一边长是底面圆的直径，另一边长等于母线长 有无数个，且都是全等的等腰三角形，腰是母线，底边是底面圆的直径 有无数个，且都是全等的等腰梯形，腰是母线，上、下底边分别是两底面圆的直径 母线 有无数条，它们相互平行且均等于高 有无数条，相交于顶点且等长 有无数条，延长后相交于一点且等长 知识点二　圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积 1．圆柱的侧面积和表面积 (1)圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如图①所示．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则这个矩形的长等于圆柱底面的周长c＝2πr，宽等于圆柱的母线长l，于是可得S圆柱侧＝cl＝2πrl． (2)圆柱的表面积：S圆柱表＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)． 2．圆锥的侧面积和表面积 (1)圆锥的侧面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图②所示．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长c＝2πr，半径等于圆锥侧面的母线长l，于是可得S圆锥侧＝cl＝πrl． (2)圆锥的表面积：S圆锥表＝πr2＋πrl＝πr(l＋r)． 3．圆台的侧面积和表面积 (1)圆台的侧面积：圆台的侧面展开图是一个扇环，如图③所示．设圆台的上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l，上、下底面圆的周长分别为c′＝2πr′，c＝2πr，于是可得S圆台侧＝(c＋c′)·l＝π(r＋r′)l． (2)圆台的表面积：S圆台表＝π(r＋r′)l＋πr2＋πr′2＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)． 知识点三　球的有关概念 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋 学生用书第57页 转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球也是一个旋转体． 形成球面的半圆的圆心称为球的球心，连接球面上一点和球心的线段称为球的半径，连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径． 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆． [微提醒]　球的结构特征 (1)球是旋转体，由球面及所围成的空间部分构成； (2)用一个平面去截球，截面都是圆面，轴截面为面积最大的截面． 知识点四　球的表面积 如果球的半径为R，那么球的表面积为S球＝4πR2． [微提醒]　有关球的表面积的几点说明 (1)球的表面是曲面，不能展开在一个平面上，因此不能用计算平面图形的面积的方法来计算球的表面积，但是由球的表面积公式求得的值是准确值，而不是近似值． (2)由球的表面积公式可知，已知球的半径可以利用公式求出它的表面积，已知球的表面积，可利用方程思想求出它的半径． (3)常用结论：两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方． 1．已知直角梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　　) A．一个圆柱、一个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．一个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台 答案：A 解析：直角梯形ABCD分割成一个矩形和一个直角三角形，矩形绕其一边旋转一周得圆柱，直角三角形绕其直角边旋转一周得圆锥，可得几何体为：一个圆柱、一个圆锥．故选A． 2．下列说法中，正确的有(　　) ①圆柱的侧面展开图是一个矩形； ②圆锥的侧面展开图是一个扇形； ③圆台的侧面展开图是一个梯形； ④棱锥的侧面为三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：①圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确；②圆锥的侧面展开图是一个扇形，正确；③圆台的侧面展开图不是一个梯形，是扇环，所以不正确；④棱锥的侧面为三角形，符合棱锥的定义，正确．故选C． 3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶4 D．4∶1 答案：A 解析：当以矩形边长为1的边为轴时，所得柱体的侧面积为4π；当以边长为2的边为轴时，所得旋转体的侧面积为4π，所以侧面积之比为1∶1．故选A． 4．两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为(　　) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1 答案：A 解析：两个球的半径之比为1∶3，由球的表面积公式S＝4πr2，则两个球的表面积等于两个球的半径之比的平方，则这两个球的表面积之比为1∶9．故选A． 5．已知圆台的上底半径为2，下底半径为4，圆台的高为，则圆台的侧面积为________． 答案：18π 解析：因为圆台的上底半径为2，下底半径为4，圆台的高为，所以圆台的母线长为＝3，故圆台的侧面积为π(2×3＋4×3)＝18π. 题型一　旋转体的结构特征 例1　(1)圆锥的母线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 (2)下列说法正确的有________．(填序号) ①以直角三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；②以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆直径． 点拨：根据旋转体的有关概念，紧扣旋转体的结构特征进行解答． 答案：(1)D　(2)②③④ 解析：(1)由圆锥的结构特征知，圆锥的母线有无数条． (2)①不正确，因为绕直角三角形斜边所在直线旋转得到的旋转体就不是圆锥，而是两个同底圆锥的组合体；②正确，以等腰三角形底边上的中线所在的直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；③正确，如图，经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；④正确，如图，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径). 学生用书第58页 1．判断简单旋转体结构特征的方法 (1)明确旋转体由哪个平面图形旋转而成． (2)明确旋转轴是哪条直线． 2．简单旋转体的轴截面及其应用 (1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量． (2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想． 对点练1．下列说法正确的个数是(　　) ①夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体； ②半圆绕定直线旋转形成球体； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④通过圆台侧面上一点，有无数条母线． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：对于①，夹在圆柱的两个截面间的几何体，如果两个截面与底面不平行，该几何体不是一个旋转体，故①错误； 对于②，球是由半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，故②错误； 对于③，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故③正确； 对于④，通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故④错误，故选A． 题型二　圆柱、圆锥、圆台基本量的计算 例2　轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为，求该圆锥的底面半径、高和母线长． 点拨： ―→―→ 解析：如图所示，作出等边圆锥的轴截面SAB， 设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则在轴截面SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60°.在Rt△SOB中，h＝r，l＝2r，所以S△SAB＝×AB×SO＝rh＝r2，根据题意得r2＝，解得r＝1，所以l＝2r＝2，h＝r＝.故该圆锥的底面半径为1，高为，母线长为2． 圆柱、圆锥、圆台基本量的求解策略 1．解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与轴截面矩形之间的关系，注意在轴截面矩形中一边长为圆柱的高，另一边长为圆柱的底面直径． 2．解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，往往利用轴截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系l2＝h2＋r2． 3．解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解．另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决． 对点练2．一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2 m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到P点，蚂蚁爬行的最短路径为2 m，则圆锥的底面圆半径为(　　) A． m B．1 m C． m D． m 答案：A 解析：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示，该蚂蚁爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得cos ∠POP′＝＝－，所以∠POP′＝，设底面半径为r，则2πr＝×2，解得r＝ m．故选A． 题型三　圆柱、圆锥、圆台的表(侧)面积 例3　把一张4×8的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的全面积为______________． 点拨：分两种情况：(1)以8为母线长，4为底面圆的周长，(2)以4为母线长，8为底面圆的周长，分别进行计算． 答案：32＋或32＋ 解析：(1)如图①所示，以8为圆柱的母线长， 把矩形硬纸卷成圆柱的侧面，此时底面圆的周长为2π·OA＝4，所以OA＝，故两底面的面积之和为，故S全＝32＋. (2)如图②所示，以4为圆柱的母线长，把矩形硬纸卷成圆柱的侧面，此时底面圆的周长为2π·OB＝8，所以OB＝，此时两底面的面积之和为，故S全＝32＋. 1．圆柱的侧面展开图都是矩形，解决其侧面积问题时，结合已知条件，并根据圆柱的侧面积计算公式即可得解． 2．圆锥的表面积问题，要注意利用“圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为圆锥底面周长”求母线长和底面半径．此外，还要注意圆锥的轴截面是等腰三角形． 学生用书第59页 3．求解圆台的表面积问题时要注意圆台的轴截面是等腰梯形，求圆台的表面积关键在于求侧面积．“还台为锥”是解题的常用策略，利用侧面展开图将空间问题平面化也是解决问题的重要方法． 对点练3．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为(　　) A．4π B．(8＋6)π C．10π D．(10＋4)π 答案：D 解析：因为圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径r＝ ＝，所以该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π××2＝4π.该圆柱的底面积S＝2πr2＝10π，则表面积为(10＋4)π.故选D . 题型四　球的截面与表面积 例4　一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(　　) A．3π B．4π C．3 π D．6π 点拨： ―→―→ 答案：A 解析：如图所示，设正四面体ABCD的高为AO1，球的球心为O，半径为R，则O1B＝BC＝. 在Rt△AO1B中，AO1＝＝＝.在Rt△OO1B中，O1O2＝R2－＝R2－.所以AO1＝R＋＝，解得R＝，所以S球＝4π×＝3π.故选A． 1．计算球的表面积的关键是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征．必要时需利用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式． 2．对于以外接球的形式考查球的表面积的题目，一般需依据球和几何体的对称性，确定球心与几何体的特殊点间的关系． 对点练4．已知A，B，C为球O的球面上的三点，⊙O1为△ABC的外接圆，若AB＝BC＝AC＝OO1＝，则球O的表面积为(　　) A．16π B．12π C．9π D．8π 答案：A 解析：由正弦定理得△ABC的外接圆半径r满足2r＝，解得r＝1．设球的半径为R，则由OO1⊥平面ABC，得R＝＝2，所以球的表面积为4πR2＝16π.故选A． 易错点一　对旋转体的结构特征理解不到位 例1　下列说法正确的是(　　) A．圆锥的底面是圆面，侧面是曲面 B．用一张扇形的纸片可以卷成一个圆锥 C．一个物体上、下两个面是相等的圆面，那么它一定是一个圆柱 D．圆台的任意两条母线的延长线可能相交也可能不相交 正解：A是圆锥的性质，故正确；对于B，动手操作一下，发现一张扇形的纸片只能卷成一个无底面的圆锥，故B错误；对于C，根据圆柱的结构特征可知，若两个相等的圆面不平行，那么这个物体不是圆柱，故C错误；对于D，圆台是由圆锥截得的，故其任意两条母线延长后一定交于一点，故D错误． 答案：A 易错探因：理解旋转体的结构特征：是由封闭的面围成的，易忽视圆柱的上、下两个面平行，圆台的母线延长后交于一点致错． 误区警示：紧扣旋转体的有关概念并理解其结构特征． 易错点二　对几何体的表面积考虑不全致错 例2　如图所示，从底面半径为2a，高为 a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥．求原圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比． 正解：由题意，知S1＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＝(4＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4＋9)πa2． 故S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9). 学生用书第60页 易错探因：挖去圆锥后的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面积，在求解此题时，学生往往容易忘记考虑增加的部分(或减少的部分)，从而导致错误． 误区警示：几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时不应直接套用柱、锥、台体的表面积公式，而应先分析该组合体由哪几部分组成，组合体的各个面之间有无重叠，再结合不同的几何体选择相应的公式求解． 1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　) A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥 答案：D 解析：连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其中一条对角线旋转一周形成两个圆锥．故选D． 2．下列结论：①等腰梯形的纸片可以卷成一个没有两底的圆台；②一个圆台存在两条母线的延长线不相交于一点；③过圆台的任何两条母线的截面都是等腰梯形．其中错误的结论个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：一个扇环可以卷成一个没有两底的圆台，故①错误；圆台的任何母线的延长线都相交于一点，故②错误；容易判断③正确．故选C． 3．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 答案：B 解析：长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，长方体的体对角线的长就是外接球的直径，所以球的直径为a，所以球的半径为a，所以球的表面积是4π＝6πa2．故选B． 4．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________． 答案： 解析：设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得解得r＝.所以此圆柱的底面半径为. 学科网（北京）股份有限公司 $$