11.1.4 棱锥与棱台-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.1.4　棱锥与棱台 知识层面 1．了解棱锥、棱台的定义和结构特征．　2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．　3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 素养层面 通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象核心素养；借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算核心素养． 问题1．图中的多面体具有怎样的特点？ 提示：通过观察图形我们可以发现，共同特点是均由平面图形围成，其中一个面为多边形，其他各面都是三角形，这些三角形有一个公共顶点． 问题2．如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？ 提示：上部分是棱锥，下部分是棱台． 知识点一　棱锥 1．棱锥的概念 如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥． 棱锥中，是多边形的那个面称为棱锥的底面，有公共顶点的各三角形 称为棱锥的侧面，各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点，相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高，如图(1)所示． 棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积． [微提醒]　棱锥的结构特征 (1)底面是多边形． (2)侧面都是三角形． (3)侧面有一个公共顶点． 2．棱锥的分类 棱锥可以按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥． 3．棱锥的表示 棱锥可以用顶点与底面各顶点的字母来表示．例如，如图(1)所示的是一个四棱锥，这个四棱锥可以记作棱锥P-ABCD或棱锥P-AC． 4．正棱锥 如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥． 学生用书第52页 [微提醒]　正棱锥的特征和性质 (1)只有正棱锥才有斜高． (2)正棱锥的各侧棱都相等． (3)正棱锥的顶点在底面的射影为底面(正多边形)的中心． 知识点二　棱台 1．棱台的概念 一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台． 原棱锥的底面与截面分别称为棱台的下底面与上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱，同棱柱一样，过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高，如图(2)所示． 图(2) 棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积． [微提醒]　棱台的结构特征 (1)上、下底面互相平行，且是相似图形． (2)各侧棱的延长线交于一点． (3)各侧面为梯形． 2．棱台的表示 棱台可用上底面与下底面的顶点表示，如图(2)所示的棱台可表示为棱台ABCD-A1B1C1D1． 3．棱台的分类 棱台可以按底面的形状分为三棱台、四棱台、五棱台…… 4．正棱台 由正棱锥截得的棱台称为正棱台．不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为正棱台的斜高． [微提醒]　正棱台的特征和性质 (1)各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形． (2)两底面及平行于底面的截面是相似多边形． (3)正四棱台的对角面(过棱柱或棱台的两条不相邻的侧棱的截面叫做对角面)是等腰梯形． 1．如图所示，三棱台ABC-A1B1C1中，沿面A1BC截去三棱锥A1-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱台 D．四棱台 答案：B 解析：三棱台ABC-A1B1C1中，截去三棱锥A1-ABC，剩余部分是四棱锥A1-BCC1B1．故选B． 2．给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直； ④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形． 其中正确命题的序号是(　　) A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．③ 答案：D 解析：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形； 平行四边形不一定是全等的，所以①不正确； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台； 必须是截面与底面平行，才能得到棱台，所以②不正确； ③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直，比如正方体中共点的三个相邻平面，故③正确； ④由棱台的定义知棱台的侧棱延长后必交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④不正确．故选D． 3．观察下面的四个几何体，其中判断正确的是(　　) A．①是棱台 B．②不是棱柱 C．③是棱锥 D．④不是棱柱 答案：C 解析：①不是棱台，因为侧棱延长线不可能交于一点；②是棱柱；③是棱锥；④是棱柱．故选C． 4．已知侧棱长为2a的正三棱锥(底面为等边三角形)其底面周长为9a，则棱锥的高为(　　) A．a B．2a C．a D．a 答案：A 解析：如图所示：因为正三棱锥底面周长为9a，所以底面边长为3a，因为正棱锥的顶点在底面上的射影为底面的中心O，所以OA＝AD＝×3a×＝a，在Rt△POA中，高PO＝＝＝a，故选A． 5．(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．正棱台两底面及平行于底面的截面不是相似多边形 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．只有正棱锥才有斜高 答案：ABC 解析：对于A，如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是三棱锥，故A错误； 对于B，由正棱台的特征知B错误； 对于C，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故C错误； 对于D，根据正棱锥的定义知选项D正确．故选ABC． 学生用书第53页 题型一　棱锥的计算问题 例1　设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积． 点拨： ―→―→ 解：如图所示， 设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，则SE＝h′. 因为S侧＝2S底，所以3×ah′＝a2×2， 所以a＝ h′. 因为SO⊥OE，且OE＝×a＝×h′， 所以SO2＋OE2＝SE2，即32＋(× h′)2＝h′2， 所以h′＝2，a＝ h′＝6， 所以S底＝a2＝×62＝9， S侧＝2S底＝18， 所以S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27. 有关棱锥的计算以正棱锥最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角三角形中，常用到两类直角三角形：正棱锥的斜高、高、底面内切圆的半径构成的直角三角形；正棱锥的高、侧棱、底面外接圆的半径构成的直角三角形． 对点练1．已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为4，求它的侧面积和全面积． 解：如图所示， 等边三角形ABC的面积S＝×42＝4. 它的侧面积＝3×4＝12. 全面积＝4×4＝16. 题型二　棱台的计算问题 例2　正四棱台ABCD-A′B′C′D′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高． 点拨： ―→ 解：如图所示，设棱台上、下两底面的中心分别是点O′和O，B′C′，BC的中点分别是点E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，四边形OEE′O′都是直角梯形． 在正方形ABCD中， 因为BC＝16 cm， 所以OB＝8 cm，OE＝8 cm. 在正方形A′B′C′D′中， 因为B′C′＝4 cm， 所以O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm. 又OO′＝17 cm， 所以在直角梯形OBB′O′中， BB′＝＝＝19(cm). 在直角梯形OEE′O′中， EE′＝＝＝5 (cm). 故这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm. 关于棱台的计算以正棱台最为常见，解题的关键是把所求线段转化到直角梯形中，常用到两类直角梯形：正棱台的两底面中心的连线、两底面相应的内切圆的半径和斜高构成的直角梯形，正棱台的两底面中心的连线、侧棱和两底面相应的外接圆的半径构成的直角梯形． 对点练2．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________． 答案：11 解析：设截取棱锥的高为h，则＝，所以h＝5，所以截得的棱台的高为：16－5＝11． 学生用书第54页 题型三　多面体表面上的最短距离问题 例3　如图，正三棱锥V-ABC的侧棱长为1，∠AVB＝40°，E和F分别是棱VB和VC上的点，则△AEF的周长的最小值为________． 点拨：沿侧棱VA将三棱锥剪开，将空间问题转化为平面上两点间距离的最小值问题即可． 答案： 解析：如图，将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开在一个平面上，则线段AA1的长即为所求△AEF的周长的最小值．取AA1的中点D，连接VD，则VD⊥AA1，由题意易知∠AVA1＝40°×3＝120°，所以∠AVD＝60°.在Rt△VAD中，AD＝VA·sin 60°＝，所以AA1＝2AD＝.故△AEF的周长的最小值为. 求多面体表面上两点间的最短距离的思路与步骤 立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决．具体步骤如下： 第一步：将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图； 第二步：将所求问题转化为平面上的线段问题； 第三步：结合已知条件求得结果． 对点练3．若长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则沿长方体的表面从A到C1的最短距离为________． 答案：3 解析：结合长方体的三种展开图不难求得AC1的长分别是3，，2，显然最小值是3. 易错点　概念不清致错 下列结论正确的是(　　) A．正三棱锥的顶点在底面的射影到底面各顶点的距离相等 B．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C．两个底面平行且相似的多面体是棱台 D．底面是正三角形，其余各个面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥 正解：正三棱锥的顶点在底面的射影是底面的中心，也是三角形的外心，是各边中垂线的交点，满足到底面各顶点的距离相等，故A正确． 如图①所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，面AA1D1D，面BB1C1C为矩形，但侧棱与底面不垂直，故B错误；根据棱台的定义可知，棱台各侧棱的延长线交于一点，而C不能保证各侧棱的延长线交于一点，故C错误；如图②所示的三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA＝PB＝AB＝BC＝AC≠PC，此三棱锥满足D中的条件，但显然不是正三棱锥，故D错误． 答案：A 易错探因：求解本题时，容易对简单几何体的基本概念和结构特征理解不清，掌握不准，从而导致错误． 误区警示：要从结构特征去准确理解棱柱、棱锥、棱台的定义．对于棱柱，容易忽略其各个侧面都是公共边互相平行的平行四边形；对于棱锥，容易忽略其各个侧面都是有公共顶点的三角形；对于棱台，容易忽略其与棱锥的关系．切忌只凭图形主观臆断． 学生用书第55页 1．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 解析：每个面都可作为底面，有4个．故选D． 2．(多选)棱台具备的特点是(　　) A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都平行 D．侧棱延长后都交于一点 答案：ABD 解析：由棱台的定义和结构特征，C为棱台不具备的特点．故选ABD． 3．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________． 答案：48 解析：正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48． 4．如图所示，在三棱锥A-BCD中，截面EFG平行于底面，且AE∶AB＝1∶3，已知△BDC的周长是18，则△EFG的周长为________． 答案：6 解析：由已知得EF∥BD，FG∥CD，EG∥BC，所以△EFG∽△BDC，所以＝.又因为＝＝，所以＝，所以△EFG的周长为18×＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $$