11.1.3 多面体与棱柱-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.1.3　多面体与棱柱 知识层面 1．了解多面体的定义及其分类．　2．理解棱柱的定义和结构特征．　3．了解多面体表面积的概念，知道棱柱表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 素养层面 通过多面体的定义与分类学习，培养数学抽象核心素养；借助棱柱结构特征的学习，培养直观想象核心素养． 问题．观察下图中的多面体，想一想：这些多面体各有什么特点？它们分别由什么样的多边形围成？各个面之间的位置关系有什么特点？各条棱之间呢？ 提示：直观上可以发现，图中的每个多面体的上、下两面都是边数相同的全等多边形，且上、下两个面所在平面都不会相交，其余各面都是平行四边形，各侧棱互相平行且相等． 知识点一　多面体的相关概念 一般地，由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体，如图所示． (1)多面体的面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面，如面ABCD，面BCC′B′. (2)多面体的棱：相邻两个面的公共边称为多面体的棱，如棱AB，棱CC′. (3)多面体的顶点：棱与棱的公共点称为多面体的顶点，如顶点A，顶点D′. (4)多面体的面对角线：一个多面体中，连接同一面上 学生用书第48页 两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；如AC是一条面对角线． (5)多面体的体对角线：一个多面体中，连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线，如体对角线BD′. (6)截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面．图中画出了多面体的一个截面ACE. (7)多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积). [微提醒]　(1)多面体最少有四个面、四个顶点、六条棱． (2)不是所有的多面体都有体对角线，有些多面体就没有体对角线，如图①，②，③.但如果多面体有体对角线，就可能有多条体对角线，如图④，⑤，多面体的体对角线和多面体的面对角线是有区别的，所谓面对角线就是指围成多面体的面的对角线，在理解概念时要特别注意． 知识点二　棱柱 1．棱柱的概念 有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱． 棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱，过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高． 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积． 2．棱柱的特征 棱柱有两个互相平行的面，并且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行． 3．棱柱的表示 (1)用表示两底面的对应顶点的字母来表示． (2)用一条体对角线端点的两个字母来表示． 4．棱柱的分类 (1)按底面的形状分，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱． (2)按侧棱是否和底面垂直分类，如果棱柱的侧棱垂直于底面，则可知棱柱所有的侧面都是长方形，这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱).特别地，底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱． 5．特殊的四棱柱 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的长方体就是正方体．它们之间的关系如下： 学生用书第49页 1．下列说法正确的是(　　) A．多面体至少有3个面 B．棱柱所有的面都是平行四边形 C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形 答案：D 解析：多面体至少有4个面，故A错误； 棱柱的底面不一定是平行四边形，故B错误； 各侧面都是正方形，底面也是正方形的四棱柱一定是正方体，故C错误； 六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形，故D正确．故选D． 2．(多选)下列集合间关系正确的是(　　) A．{正方体}{长方体} B．{长方体}{直平行六面体} C．{正四棱柱}{长方体} D．{直平行六面体}{正四棱柱} 答案：ABC 解析：因为正方体都是长方体，但长方体不一定是正方体，所以{正方体}{长方体}，故A正确；因为底面是矩形的直平行六面体是长方体，所以{长方体}{直平行六面体}，故B正确；因为底面是正方形的长方体为正四棱柱，所以{正四棱柱}{长方体}，故C正确；因为正四棱柱都是直平行六面体，但直平行六面体不一定是正四棱柱，故D错误．故选ABC． 3．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其体对角线的长为(　　) A．4 B． C．2 D．4 答案：B 解析：设长方体的三条棱的长分别为x，y，z，则所以对角线的长为＝＝＝.故选B． 4．如图所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP＋D1P取得最小值，则此最小值为(　　) A．2 B． C．2＋ D． 答案：D 解析：如图所示，把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D′1，使其与△AA1B在同一平面上，连接AD′1，则AD′1＝＝＝为所求的最小值．故选D． 5．如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，则长方体的表面积为________，面对角线有________条，体对角线有________条． 答案：16　12　4 解析：由表面积的定义，可得长方体的表面积为4×1×2＋2×2×2＝16，面对角线有2×6＝12(条)，体对角线有4条． 题型一　多面体概念的应用 例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，任意选择4个顶点作为平面图形或几何体的顶点，可作出的平面图形或几何体有________．(填序号) ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体． 点拨：根据多面体的有关概念解答． 答案：①③④⑤ 解析：①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②错误，若任意选择4个顶点组成一个平面图形，则必为矩形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1D1CB为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD． 熟练掌握多面体的有关概念，紧扣定义． 对点练1．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法错误的是(　　) A．该几何体可看作由2个同底的四棱锥组成的组合体 B．该几何体有12条棱、6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形 答案：D 解析：该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它可看作两个四棱锥的组合体，但是平面ABCD是它的一个截面而不是它的一个面．故D说法不正确． 题型二　棱柱的计算问题 例2　(1)如图①，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是________． 学生用书第50页 图①　　　　　　图② (2)如图②所示，等腰直角三角形A2B2C2的三个顶点分别在正三棱柱ABC-A1B1C1的三条侧棱上，且∠B2A2C2＝90°，已知正三棱柱的底面边长为2，则B2C2＝________． 点拨：(1)可从“特殊”方面尝试求解．通过该棱柱的结构特征分别求解MN，MC1，NC1的长，根据勾股定理的逆定理知△MNC1为直角三角形，从而问题获解．(2)通过构建直角三角形，先分别表示出A2C2，A2B2，B2C2的长，而后由勾股定理求解即可． 答案：(1)90°　(2)2 解析：(1)设该棱柱的棱长为a，则在Rt△MB1C1中，MC1＝＝a，在Rt△MBN中，MN＝＝a，连接C1N，CN，则CC1⊥CN，在Rt△C1NC中，C1N＝＝＝a，所以MC＋MN2＝C1N2，所以∠NMC1＝90°. (2)如图所示，过点C2作C2E⊥AA1，垂足为E，过点B2作B2F⊥AA1，垂足为F.由题可设A2E＝A2F＝x.在Rt△A2B2C2中，A2B2＝A2C2＝ .过点F作FG⊥CC1，垂足为G，易得C2G＝EF＝2x，连接B2G，在Rt△GB2C2中，B2C2＝＝ .所以在Rt△A2B2C2中，由勾股定理得，2(x2＋4)＝4x2＋4，解得x2＝2，所以B2C2＝2. 求解棱柱问题的常用解题策略 求解棱柱问题的关键有两点：一是转化思想的应用；二是构造直角三角形或矩形．立体几何问题的求解最终都是将问题转化为平面几何问题，用求解平面几何常用的方法进行求解．若棱柱是斜棱柱，则常过顶点作底面的垂线来构造直角三角形，若棱柱是直棱柱，则可直接应用垂直关系，将问题转化到直角三角形或矩形中求解，即最终都将问题放在一个“合适”的平面图形中求解． 对点练2．已知一个直四棱柱的高为2，其底面ABCD水平放置的直观图(斜二测画法)是边长为1的正方形，则这个直四棱柱的表面积为(　　) A．10 B．8＋4 C．16＋4 D．16＋4 答案：C 解析：由于直观图是正方形，所以底面ABCD是两邻边分别为1与3、高为2的平行四边形，其周长是1＋3＋1＋3＝8，面积是1×2＝2，则直四棱柱的表面积是8×2＋2×2＝16＋4，故选C． 1．下列说法中正确的是(　　) A．直四棱柱是直平行六面体 B．直平行六面体是长方体 C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 答案：C 解析：直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错误；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错误；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错误．故选C． 2．下列选项中的图形经过折叠不能围成棱柱的是(　　) 答案：D 解析：观察所给的图形，A，B，C选项均可围成棱柱，D选项围成的几何体是棱柱缺少一个面，无法围成棱柱． 3．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 答案：A 解析：所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22．故选A． 4．一个棱柱至少有________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱． 答案：5　6　9 解析：面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱． 学科网（北京）股份有限公司 $$