11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 知识层面 1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系．　2．会用数学符号表示空间点、线、面以及它们之间的位置关系．　3．掌握直线与平面垂直． 素养层面 通过认识构成几何体的基本元素的学习，提升数学抽象核心素养；借助空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系，培养直观想象核心素养． 问题1．生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 提示：无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等． 问题2．在平面内，两条直线的位置关系只有两种：平行与相交，结合教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线的位置关系，那么在空间中，直线的位置关系有哪些呢？ 提示：空间中直线的位置关系有三种：平行，相交，异面． 问题3．一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？它们的公共点个数分别有几个？ 提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点． (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点． (3)直线与平面平行——没有公共点． 学生用书第43页 知识点一　空间中的点、线、面 1．基本元素 将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素． 2．点的表示 立体几何中，我们用大写英文字母来表示点． 3．直线的表示 一般用小写英文字母表示直线． 4．平面的表示 平面一般用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的四个顶点或对角顶点的字母来命名，如图中的平面α、平面β、平面γ、平面ABCD或平面AC等． [微提醒]　平面的表示方法 (1)除平行四边形外，根据需要也可以用其他平面图形表示平面，如用三角形、矩形、圆等平面图形表示平面． (2)在平面的表示方法中，用希腊字母表示时，若题目条件已经说明平面α、平面β等，则题目后面的叙述过程中可省略“平面”二字，而对于其他几种表示，则不能省略“平面”二字，如平面ABCD不能省略成ABCD． (3)可用平面内不共线的三个点的字母表示平面，如平面ABC． 知识点二　空间中点、线、面的位置关系 1．点与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点A在直线l上 A∈l 点A不在直线l上 A∉l 2．直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平行 m∥l 零个 相交 m∩l＝A 有且只有一个 异面 零个 异面直线的定义： 一般地，空间中的两条直线，可以既不平行，也不相交，此时称这两条直线异面． 这就是说，如果a，b是空间中的两条直线，则a∩b≠∅与a∩b＝∅有且只有一种情况成立，而且，当a∩b＝∅时，a与b要么平行(记作a∥b)，要么异面． 3．点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 A是平面α内的点(或点A在平面α内) A∈α A不是平面α内的点(或点A不在平面α内) A∉α 4．直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 直线l在平面α内(或平面α过直线l) l⊂α 有无数个公共点 直线l与平面α相交 l∩α＝A 有且只有一个公共点 直线l与平面α平行 l∥α 没有公共点 学生用书第44页 5．两个平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点个数 平面α与平面β相交 α∩β≠∅或α∩β＝l 有无数个公共点 平面α与平面β平行 α∩β＝∅或α∥β 没有公共点 知识点三　直线与平面垂直 1．直线与平面垂直 一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中点A称为垂足． 如图所示． 2．距离 由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离． 特别地，当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离． 1．下列说法中错误的个数是(　　) ①直线的移动只能形成平面； ②直线绕定直线旋转只能形成柱面； ③曲线的平移一定形成曲面； ④矩形上各点沿同一方向移动形成长方体． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：直线的移动可以形成平面，也可以形成曲面，故①不正确；直线绕与其相交但不垂直的直线旋转形成锥面，绕与其平行的直线旋转形成柱面，故②不正确；如图所示的曲线平移形成的是平面，故③不正确；矩形上各点沿特定方向移动相同的距离，才能形成长方体，故④不正确． 2．下列说法正确的是(　　) A．平面的形状是平行四边形 B．平行四边形、三角形、圆都可以表示平面 C．平面ABCD的面积为100 cm2 D．任何一个四边形都可以表示一个平面 答案：B 解析：平面是无限延展的，而平行四边形只是平面的一部分，它是不能无限延展的，故A错误；通常画一个平行四边形表示一个平面，但有时根据具体情况，可以用其他的平面图形，如圆、三角形等表示平面，故B正确；平面不能进行度量，故C错误；任意的四边形不一定是平面图形，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AB1，B1C，CD1，D1A，则四边形AB1CD1就不是平面图形，不能表示一个平面，故D错误． 3．若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(　　) A．Q∈b∈β B．Q∈b⊂β C．Q⊂b⊂β D．Q⊂b∈β 答案：B 解析：因为点Q在直线b上，所以Q∈b.又直线b在平面β内，所以b⊂β.所以Q∈b⊂β.故选B． 4．(多选)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，与A1D1垂直的平面是(　　) A．平面D1C B．平面A1D C．平面A1B D．平面AC 答案：AC 解析：根据长方体的特征，得A1D1在平面A1D内，A1D1与平面AC平行，与平面D1C和平面A1B垂直． 5．(1)点A在直线l上，E，F在平面ABC内，用符号表示为____________． (2)已知直线a，平面α，β，且a∥α，a∥β，则平面α，β的位置关系是____________． 答案：(1)A∈l，E∈平面ABC，F∈平面ABC (2)平行或相交 解析：(1)点A在直线l上，E，F在平面ABC内，因为点线和点面都是属于关系，所以A∈l，E∈平面ABC，F∈平面ABC． (2)若一个平面上的两条相交线与另一个平面都平行，则这两条相交线所在的平面与另一个平面平行．已知条件只有一条直线与平面平行，所以平面α，β的位置关系是平行或相交． 学生用书第45页 例1　下图是某同学的课桌的大致轮廓，请你从这个几何体里面寻找一些点、线、面，并将它们列举出来． 点拨： ―→ 解：面可以列举如下： 平面A1A2B2B1，平面A1A2D2D1，平面C1C2D2D1，平面B1B2C2C1，平面A1B1C1D1，平面A2B2C2D2． 线可以列举如下： 直线AA1，直线BB1，直线CC1，直线DD1，直线A2B2，直线C2D2，直线A2D2，直线B2C2，直线A1B1，直线B1C1，直线C1D1，直线A1D1． 点可以列举如下： 点A，点A1，点A2，点B，点B1，点B2，点C，点C1，点C2，点D，点D1，点D2． 解决构成空间几何体的基本元素的问题要充分理解点、线、面的概念和关系． (1)从集合的角度(点∈线⊂面)理解三者间的从属、包含关系． (2)从“交”的生成关系去进一步理解，即线线相交于点，线面相交于点，面面相交于线． (3)从运动的角度理解三者之间的关系，即点动成线，线动成面，面动成体，同时要注意运动的方向和运动的方式，不同的运动方向或运动方式形成的图形一般不同． 对点练1．(多选)在空间中，下列说法错误的是(　　) A．一个点运动一定形成直线 B．直线平移形成平面或曲面 C．曲线的平移可能形成平面 D．矩形上各点沿同一方向移动相同距离一定形成长方体 答案：AD 解析：一个点运动形成线，若运动的方向保持不变，则形成一条直线或线段，若运动的方向时刻在变化，则形成一条曲线或曲线的一段，故A错误；若曲线在一个平面上，则曲线在该平面上移动时，形成平面．故C正确；矩形上各点沿同一方向移动，没有具体说明移动的方向，故不一定形成长方体，故D错误，易知B正确． 题型二　点、线、面的位置关系 例2　如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中： (1)直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？ (2)平面DCMN与平面ABQP的位置关系是怎样的？ (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？ 点拨：将长方体的表面展开图用纸片画好，通过折叠还原长方体，进而得出判断． 解：根据展开图还原长方体，示意图如图所示， 则(1)直线DM∥平面ABQP. (2)平面DCMN平行于平面ABQP. (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离． 判断点、线、面位置关系的方法 对长方体中的点、线、面的位置关系进行分析时，可通过制作几何模型或利用身边的实际物体来帮助理解，以具体形象的实物来辅助抽象思维，通过直观感知点、线、面的位置关系促进空间想象能力的提升． 学生用书第46页 对点练2．(1)平面α与平面β平行，且a⊂α，下列四种说法中 ①a与β内的所有直线都平行； ②a与β内无数条直线平行； ③a与β内的任意一条直线都不垂直； ④a与β无公共点． 其中正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)如图，在⊂，∈，∉中选择适当的符号填入下面各个括号中： AB(　　)β；A(　　)AB；A(　　)β；A(　　)α；BD(　　)β；D(　　)α. 答案：(1)B　(2)⊂　∈　∈　∉　⊂　∈ 解析：(1)如图，在长方体中，平面ABCD∥平面A′B′C′D′，A′D′⊂平面A′B′C′D′，AB⊂平面ABCD，A′D′与AB不平行，且A′D′与AB垂直，所以①③错误．故选B． (2)由图可知AB⊂β，A∈AB，A∈β，A∉α，BD⊂β，D∈α. 题型三 　求点面距、线面距、面面距 例3　已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点C到平面BDD1B1的距离为(　　) A．1 B． C．2 D．2 点拨：结合点面距、线面距、面面距概念来求相应的距离． 答案：B 解析：如图，连接AC交BD于点O，AC⊥平面BDD1B1， 所以CO即为点C到平面BDD1B1的距离．又CO＝AC＝×＝，所以点C到平面BDD1B1的距离为.故选B． 求点面距、线面距、面面距的方法 1．求点面距：求点与面的距离的方法是过点作面的垂线，垂线段的长即为点面距． 2．求线面距、面面距：求线面距、面面距的方法是转化成求点面距，转化时注意点的位置的选取． 对点练3．(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，AB的中点，AB＝4，则MN与平面BCC1B1的距离为(　　) A．4 B．2 C．2 D． (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，BB1，CC1，DD1的中点，AA1＝4，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________． 答案：(1)C　(2)2 解析：(1)如图，MN∥平面BCC1B1， 所以MN与平面BCC1B1的距离为N到平面BCC1B1的距离．又N到平面BCC1B1的距离为NB＝AB＝2，所以MN与平面BCC1B1的距离为2．故选C． (2)平面ABCD与平面EFGH的距离为AA1＝×4＝2． 易错点　对两直线的位置关系把握不准致误 分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行 正解：分两类情况进行讨论． (1)若两条直线与两异面直线的交点有4个，如图①，直线AB与异面直线a，b分别相交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别相交于点C，D，那么A，B，C，D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面； (2)若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图②，两条直线相交． 答案：C 易错探因：解题时易忽略两条直线与两异面直线的交点有3个的情况，认为交点只有4个，此时两条直线异面，从而错选B． 误区警示：在立体几何中，空间点、直线、平面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论．在判断两条直线的位置关系时，可通过画出相关图形帮助分析． 学生用书第47页 1．能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是(　　) 答案：C 解析：选项A只表示点A在直线l上；选项D表示直线l与平面α相交于点A；选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面，所以不能表示直线在平面α内．故选C． 2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有(　　) A．8条 B．6条 C．4条 D．2条 答案：C 解析：正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条).故选C． 3．若α，β是两个不同的平面，则它们的公共点有(　　) A．0个 B．0个或1个 C．无数个 D．0个或无数个 答案：D 解析：由题意知，两个平面可能平行，也可能相交，若α∥β，则它们没有公共点，若α与β相交，则它们有无数个公共点．故选D． 4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则直线BC到面A1B1C1D1的距离为________；直线BC1到面ADD1A1的距离为________；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为________． 答案：5　4　3 解析：直线BC到面A1B1C1D1的距离为BB1＝AA1＝5；直线BC1到面ADD1A1的距离为AB＝4；面ABB1A1与面DCC1D1的距离为BC＝3． 学科网（北京）股份有限公司 $$