11.1.1 空间几何体与斜二测画法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

11.1　空间几何体 11.1.1　空间几何体与斜二测画法 知识层面 1．了解空间几何体．　2．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．　3．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图． 素养层面 通过学习斜二测画法的步骤，培养直观想象核心素养；借助斜二测画法，画出直观图，培养数学抽象核心素养． 问题1．观察下列物体，从围成它们面的角度描述它们的特点． 提示：可以发现，纸箱、金字塔、水晶萤石、储物箱等物体有相同的特点，围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸杯、腰鼓、茶叶罐、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点，围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面． 问题2．我们都非常喜欢打乒乓球，乒乓球台是长方形的，为什么从旁边看起来是一个平行四边形呢？ 提示：在乒乓球台上建立平面直角坐标系，如图①所示， 如图②所示，当将两坐标轴的夹角变为45°或135°时，台面看起来就是平行四边形了． 　 知识点一　空间几何体 生活中的物体都占据着空间的一部分．如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．除了长方体外，我们以前接触过的几何体还有棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等． 知识点二　直观图与斜二测画法 1．直观图 立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，习惯上称为空间图形的直观图． [微提醒]　(1)平面图形与立体图形是互相联系的．一方面，立体图形中有些部分可能是平面图形；另一方面，立体图形可以用合适的平面图形表示出来． (2)从不同的方向观察同一个空间图形时，所看到的形状可能不一样． (3)空间几何体与平面图形的直观图，最大的区别是空间几何体的直观图有实线与虚线之分，而平面图形的直观图全为实线．我们要在平面上画出既富有立体感，又能表达原物体中各点、线、面的位置关系 学生用书第38页 及度量关系的图形．当我们会看、会画出水平放置的平面图形的直观图后，才能逐步会看、会画出空间几何体的直观图． 2．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图 一般地，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，步骤如下． (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的x′轴和y′轴，使得它们正方向的夹角为45°(或135°). (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x′轴平行(或重合)的线段，且长度不变． 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y′轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半． (3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线． 由此可知，用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x轴和y轴平行(或重合)的线段． [微提醒]　(1)斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°).“二测”是指画直观图时，平行(或重合)于x轴的线段长度不变，平行(或重合)于y轴的线段长度减半． (2)用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出． (3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变． 3．用斜二测画法作立体图形的直观图 一般地，用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下． (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴). (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴． 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度不变．连接有关线段． (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除). [微提醒]　画空间几何体的直观图的原则 (1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上． (2)要先画出底面的直观图，再画出其余各面． (3)与z轴平行(或重合)的线段在直观图中应与z′轴平行(或重合)且长度保持不变． 1．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是(　　) A．矩形的直观图一定是矩形 B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形 C．平行四边形的直观图一定是平行四边形 D．菱形的直观图一定是菱形 答案：C 解析：由斜二测画法知平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，平行线在直观图中的平行性不变．矩形的直观图不是矩形，故A错误； 等腰三角形的直观图不是等腰三角形，故B错误；平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确； 菱形的直观图不是菱形，故D错误．故选C． 2．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠成一个正方体的是(　　) 答案：C 解析：观察四个选项中的图形，将四个选项的平面图形折叠，只有选项C可以复原为正方体． 学生用书第39页 3．利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形，则原图形的形状可能是(　　) 答案：A 解析：直观图中正方形的对角线为，故在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件，故A项正确． 4．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(　　) A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等边三角形 答案：C 解析：根据斜二测的画图规则可知在△ABC中，O为CA的中点，且BO＝CO＝AO且OB⊥AC，则△ABC是等腰直角三角形．故选C． 5．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为________． 答案：6 解析：如图，过C′作C′D∥y′，则∠C′DB′＝45°，因为B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，所以C′D＝3，根据斜二测画法的性质，得△ABC的边AB上的高等于2C′D＝6. 题型一　画水平放置的平面图形的直观图 例1　画正五边形的直观图． 点拨：建立坐标系xOy，B，E两点不在坐标轴上，而在平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H. 解：(1)画轴：以正五边形的中心为原点O，建立如图①所示的直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)描点、连线：在图①中作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H，在坐标系x′O′y′中作O′H′＝OH，O′G′＝OG，O′A′＝OA，O′F′＝OF，过F′作C′D′∥x′轴，使C′D′＝CD，且F′为C′D′的中点． 在图②平面x′O′y′中，过G′作G′B′∥y′轴，且G′B′＝GB，过H′作H′E′∥y′轴，且H′E′＝HE，然后连接A′B′，B′C′，D′E′，E′A′. (3)成图：擦去作图过程中的辅助线得五边形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图，如图③. 应用斜二测画法画平面图形的直观图时的注意点 1．在已知图形中建立直角坐标系时，要尽量利用图形中原有的垂直关系和对称性． 2．在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行；原图形中与坐标轴不平行的线段可以在直观图中先画出线段的端点再连线；原图形中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出． 对点练1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图． 解：(1)画轴：在锐角为45°的平行四边形ABCD中建立如图①所示的平面直角坐标系xOy，再建立如图②所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)描点、连线：在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作D′C′∥x′轴，且D′C′＝DC，连接B′C′，A′D′. (3)成图：去掉辅助线，得到的四边形A′B′C′D′即为一个锐角是45°的▱ABCD的直观图，如图③所示． 学生用书第40页 题型二　画立体图形的直观图 例2　用斜二测画法画出一个底面是边长为1.4 cm的正方形，高为0.9 cm的四棱锥的直观图． 点拨：―→ 解：(1)画轴：如图①，画x′轴，y′轴，z′轴，使得∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°. (2)画底面：以点O′为中点，在x′轴上画MN＝1.4 cm，在y′轴上画PQ＝0.7 cm，分别过点M，N作y′轴的平行线，过点P，Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱锥的底面． (3)画高确定顶点：在z′轴上截取O′S＝0.9 cm. (4)连线成图：连接SA，SB，SC，SD，去掉辅助线并将被面遮挡住的线段改成虚线，就得到了一个四棱锥的直观图，如图②所示． 画棱柱、棱锥时，先应用斜二测画法画出底面，画圆柱、圆锥时，先应用正等测画法(实际上是应用椭圆模板)画底面，然后作与xOy平面垂直的z轴，注意平行于z轴(或在z轴上)的线段，其平行性和长度都不变，最后确定相关点，连点成线即可． 对点练2．用斜二测画法画长、宽、高分别是8 cm，6 cm，3 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图． 解：(1)画轴：画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°. (2)画底面：以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝8 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝3 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD，如图①所示． (3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取3 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′，如图②所示． (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图，如图③所示． 题型三　由直观图还原平面图 例3　如图为一个平面图形的直观图，请画出它的平面图． 点拨：―→ 解：建立如图①所示的坐标系x′A′y′. 建立平面直角坐标系xAy，如图②所示，在x轴上截取线段AB，使AB＝A′B′，在y轴上截取线段AD，使得AD＝2A′D′.过点B作BC∥AD，过点D作DC∥AB，使得BC与DC交于点C，则四边形ABCD即四边形A′B′C′D′的平面图形． 由直观图还原平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行(或在x′轴，y′轴上)的线段，且平行于x′轴(或在x′轴上)的线段还原时长度不变，平行于y′轴(或在y′轴上)的线段还原时长度变为直观图中相应线段长度的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 对点练3．如图所示，正方形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝2，则A′B′在原图形中的对应线段AB的长度为________． 答案：6 解析：由题意可得A′B′＝O′A′＝2，所以O′B′＝2，则原图中OA＝2，OB＝4，且OA⊥OB，由勾股定理可得AB＝ ＝6． 学生用书第41页 题型四　与直观图有关的计算问题 例4　已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么△ABC是一个(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形 点拨：根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知条件，可得△ABC中，BO＝CO＝1，AO＝，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状． 答案：A 解析：由已知△ABC的直观图中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，得△ABC中，BO＝CO＝1，AO＝，由勾股定理得AB＝AC＝2．又由BC＝2，故△ABC为等边三角形，故选A． 由直观图求解平面图 1．将直观图的已知量转换为平面图的量． 2．在平面图内解相关量． 由原图和直观图面积之间的关系可知S原图＝2S直观图． 对点练4．如图所示的为水平放置的平面直观图形A′B′C′D′，其面积为，则原四边形ABCD的面积为________． 答案：2 解析：因为水平放置的平面直观图形A′B′C′D′的面积为，所以原四边形ABCD的面积为S＝2S′＝2×＝2. 易错点　混淆原图与直观图的关系致误 如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°、腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　　) A．＋ B．1＋ C．1＋ D．2＋ 正解一：由斜二测画法规则知等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形的示意图为如图所示的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋，AD＝1， 所以S梯形ABCD＝＝2＋. 正解二：直观图中，上底长为1，高为，下底长为1＋2×，故原平面图形的面积为×××＝2＋. 答案：D 易错探因：本题在计算梯形面积时易误认为原图形的高就是直观图的高的2倍． 误区警示：已知直观图及有关量，求其原平面图形的面积时常因不能正确地由直观图还原到原平面图形或忽略了边长与高的变化而出错，求解时要依据斜二测画法规则，画出还原的原平面图，观察两图之间的关系，弄清不变的量与变化的量，再进行计算． 学生用书第42页 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　) A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 答案：B 解析：根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直． 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) 答案：C 解析：正方形的斜二测直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1.5 cm.故选C． 3．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 答案：C 解析：如图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C． 4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2． 答案：矩形　8 解析：由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2). 学科网（北京）股份有限公司 $$