10.2.2 复数的乘法与除法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10.2.2　复数的乘法与除法 知识层面 1．能进行复数代数形式的乘法和除法运算．　2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 3．了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集． 素养层面 通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 问题1．类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法法则如下： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只是在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 问题2．类比实数乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，你认为复数满足这些运算律吗？ 提示：满足．对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； 乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 问题3．类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果， 即＝ ＝ ＝＋i(c＋di≠0). 知识点一　复数的乘法 1．复数的乘法法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积，并规定 z1z2＝(a＋bi)(c＋di) ＝ac＋adi＋bci＋bdi2 ＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 这就是说，为了算出两个复数的积，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用i2＝－1即可． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1z2＝z2z1； (2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； (3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3． 学生用书第32页 3．复数的乘方 n个相同的复数z相乘时，仍称为z的n次方(或n次幂)，并记作zn，即zn＝. 可以验证，当m，n均为正整数时，zmzn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1z2)n＝zz. 知识点二　复数的除法 1．两个复数相除的定义 如果复数z2≠0，则满足zz2＝z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作z＝(或z＝z1÷z2)，而且同以前一样，z1称为被除数，z2称为除数． 利用复数除法的定义可以证明，当w为非零复数时，有 ＝，＝＋. 2．复数的倒数 一般地，给定复数z≠0，称为z的倒数．z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积．显然，利用“分母实数化”可以求出任意一个非零复数的倒数，以及任意两个复数的商(除数不能为0).具体步骤如下： 已知z＝a＋bi(a，b∈R且a，b不同时为0)，则＝＝＝＝－i. 3．复数的除法法则 有了倒数的概念，我们就可以规定两个复数除法的运算法则如下： (a＋bi)÷(c＋di)＝＝(a＋bi)＝(a＋bi)＝＝＋i(c＋di≠0). 4．复数的0次幂与负整数次幂 当z为非零复数，且n为正整数时，规定z0＝1，z－n＝. [微提醒]　(1)复数的除法与实数的除法有所不同，对于实数的除法，可以直接约分化简，得出结论，但对于复数的除法，因为分母为复数，一般不能直接约分化简． (2)复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简． (3)分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为一个实数，这与作根式除法运算时对分母进行“有理化”的处理是类似的． 1．实系数一元二次方程的定义 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程． 2．方程x2＝－a(a＞0，a∈R)在复数范围内的解集 当实数a＞0时，方程x2＝－a在复数范围内的解集为{i，－i}． 3．方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，且a，b，c∈R)在复数范围内的解集 当a，b，c都是实数且a≠0时，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0称为实系数一元二次方程．这个方程在复数范围内总是有解的，而且 (1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程有两个互为共轭的虚数根． 学生用书第33页 4．根与系数的关系 如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，那么 1．式子(1－i)(1＋i)的值为(　　) A．0 B．1 C． D．2 答案：D 解析：根据复数的乘法运算，可得(1－i)(1＋i)＝1－i2＝2．故选D． 2．若复数z满足(1＋i)z＝i，则复数z的虚部为(　　) A． B．i C．1 D．i 答案：A 解析：因为(1＋i)z＝i，z＝＝＝＝＋i，故复数z的虚部为.故选A． 3．已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 解析：因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，故该复数的虚部为1．故选C． 4．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：复数＝＝＋i，则复数的共轭复数为－i，在复平面内，复数的共轭复数对应点的坐标为，故在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于第四象限. 故选D． 5．已知复数z是一元二次方程x2－2x＋2＝0的一个根，则|z|的值为(　　) A．1 B． C．0 D．2 答案：B 解析：设复数z＝a＋bi，a，b∈R，i是虚数单位，由z是x2－2x＋2＝0的一个根，所以(a＋bi)2－2(a＋bi)＋2＝0，即(a2－b2－2a＋2)＋(2ab－2b)i＝0，所以 解得a＝1，b＝±1，所以z＝1±i，所以|z|＝.故选B． 例1　计算： (1)(1－i)(1＋i)； (2)(1＋i)2 026； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i). 点拨：(1)复数的乘法按照多项式的乘法计算． (2)复数的除法采取“分母实数化”的方法化简、计算． 解：(1)原式＝(1－i)(1＋i) ＝(1－i2)＝2＝－1＋i. (2)(1＋i)2 026＝[(1＋i)2]1 013＝(1＋2i＋i2)1 013＝(2i)1 013＝21 013·i1 013＝21 013·(i2)506i＝－21 013i. (3)原式＝＝ ＝＝＋i. 解决复数的乘、除运算问题的思路 1．复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将i2换成－1，并将实部、虚部分别合并．多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，如(a＋bi)2＝a2＋2abi＋b2i2＝a2－b2＋2abi，(a＋bi)3＝a3＋3a2bi＋3ab2i2＋b3i3＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i. 2．复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算． 对点练1．已知复数z＝1＋2i，则＝(　　) A．1＋2i B．2＋i C．1－2i D．2－i 答案：B 解析：因为z＝1＋2i，则z·＝1＋22＝5，因此，＝＝＝2＋i.故选B． 题型二　解复数方程 例2　(1)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝(　　) A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i (2)(一题多解)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 学生用书第34页 点拨：(1)求出z，写出. (2)设出z＝a＋bi，写出＝a－bi，代入计算． 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)易知z＝3－2i，所以＝3＋2i. (2)方法一　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 因为2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i， 所以解得故 z＝1－2i.故选B． 方法二　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数的性质可得z＋＝2a，则2z＋＝(z＋)＋z＝3a＋bi＝3－2i，所以解得故 z＝1－2i.故选B． 实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的一根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根． 对点练2．若4－3i是实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0(b，c∈R)的一个根，你能直接写出该方程的另一个根吗？能否求出b，c? 解：能，另一个根为4＋3i.由根与系数的关系得， 解得 易错点　误用判别式求解复系数方程致错 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实数根，则实数k的值为________． 正解：设x0是方程的实数根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0， 所以 解得k＝±2. 答案：±2 易错探因：用判别式判断有无实数根． 误区警示：由于虚数单位的特殊性，故不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根． 1．已知m∈R，i为虚数单位，若(m＋i)(2－3i)＝5－i，则m＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：A 解析：由(m＋i)(2－3i)＝(2m＋3)＋(2－3m)i＝5－i， 得解得m＝1． 2．复数z满足：z(2＋i)＝5(i是虚数单位)，则复数z的虚部为(　　) A．－2 B．2 C．－i D．－1 答案：D 解析：z＝＝＝2－i，所以虚部为－1．故选D． 3．已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4(其中i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．10 答案：B 解析：依题意，z＝i＋2×(－1)＋3(－i)＋4＝2－2i，所以|z|＝＝2.故选B． 4．已知复数z满足z(1＋i)＝2ti(t∈R)，若|z|＝2，则t＝________． 答案：±2 解析：由z(1＋i)＝2ti(t∈R)，得z＝＝＝ti(1－i)＝t＋ti，因为|z|＝2，所以t2＋t2＝(2)2，解得t＝2或t＝－2． 学科网（北京）股份有限公司 $$