10.2.1 复数的加法与减法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10.2　复数的运算 10.2.1　复数的加法与减法 知识层面 1．掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．　2．理解复数加、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． 素养层面 通过复数代数形式的加、减运算的几何意义，培养直观想象素养；借助复数代数形式的加、减运算，提升数学运算素养． 问题1．类比向量坐标的加减运算，若z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，你能得到复数 z1±z2吗？ 提示：根据复数与向量的对应关系，设z1＝a＋bi与向量＝(a，b)对应，z2＝c＋di与向量＝(c，d)对应，所以z1＋z2＝a＋c＋(b＋d)i与向量＋＝(a＋c，b＋d)对应，同理，z1－z2＝a－c＋(b－d)i与－＝(a－c，b－d)对应． 问题2．我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 提示：设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d). 几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线． 知识点一　复数的加法 1．复数的加法法则 一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． [微提醒]　对复数的加法法则的理解 (1)复数的加法中规定：实部与实部相加，虚部与虚部相加．很明显，两个复数的和仍然是复数，但两个虚数的和不一定是虚数，如(－i)＋i＝0． (2)当b＝d＝0时，z1＝a，z2＝c，z1＋z2＝a＋c，即当两个复数为实数时，复数的加法法则与实数的加法法则一致． (3)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加． (4)两个共轭复数的和一定是实数． 2．复数的加法满足的运算律 对任意复数z1，z2，z3，有 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3．复数加法的几何意义 由复数与向量之间的对应关系可以得出复数加法的几何意义：如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是，如图所示． 学生用书第29页 由复数加法的几何意义可以得出 ||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|． 知识点二　复数的减法 1．复数的相反数 一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的相反数记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi. 复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2). 在复平面内，互为相反数的两个复数对应的点关于原点对称． 2．复数的减法法则 一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 显然，两个复数的差仍然是复数．而且，同实数中的情况类似，两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1－z2≠z2－z1． [微提醒]　对复数的减法法则的理解 (1)两个复数的差的实部是被减数的实部减去减数的实部，虚部是被减数的虚部减去减数的虚部． (2)两个实数的差是实数，但是两个虚数的差不一定是虚数，例如(3＋2i)－2i＝3． (3)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需要“合并同类项”就可以了． 3．复数减法的几何意义 由复数与向量之间的对应关系同样可以得出复数减法的几何意义：如果复数z1，z2所对应的向量分别为与，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是，如图所示． 由复数减法的几何意义可以得出 ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|． 1．若(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　) A．3，－2 B．3，2 C．3，－3 D．－1，4 答案：B 解析：由(1－i)＋(2＋3i)＝a＋bi(a，b∈R)，得3＋2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝2． 故选B． 2．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2等于(　　) A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 答案：A 解析：z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i，故选A． 3．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故z对应的点为(－1－3)，位于第三象限. 故选C． 4．非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则(　　) A．＝ B．||＝|| C．⊥ D．，共线 答案：C 解析：如图，由向量的加法及减法法则可知，＝＋，＝－.由复数加法及减法的几何意义可知，|z1＋z2|对应的模，|z1－z2|对应的模．又|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以四边形OACB是矩形，则⊥.故选C． 5．设z＝3－4i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 答案：三 解析：因为z＝3－4i，所以|z|＝5，则复数z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋1－i＝－1－5i，则复数z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点的坐标为(－1，－5)，位于第三象限． 学生用书第30页 题型一　复数的加、减运算 例1　(1)计算：(－6－5i)＋(－2－i)－(3－4i). (2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi，x，y∈R，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2． 点拨：两个复数加(减)，实部相加(减)，虚部相加(减). 解：(1)(－6－5i)＋(－2－i)－(3－4i) ＝(－6－2－3)＋(－5－1＋4)i ＝－11－2i. (2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以解得 所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 解决复数加、减运算的思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数．当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 对点练1．(一题多解)计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…－(2 022－2 023i)＋(2 023－2 024i). 解：方法一　原式＝(1－2＋3－4＋…－2 022＋2 023)＋(－2＋3－4＋5－…＋2 023－2 024)i＝(－1 011＋2 023)＋(1 011－2 024)i＝1 012－1 013i. 方法二　(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i， (3－4i)－(4－5i)＝－1＋i， …… (2 021－2 022i)－(2 022－2 023i)＝－1＋i. 将上述1 011个式子左右分别相加，得(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－…＋(2 021－2 022i)－(2 022－2 023i)＝1 011(－1＋i)， 故原式＝1 011(－1＋i)＋(2 023－2 024i)＝1 012－1 013i. 题型二　复数加、减法的几何意义的应用 例2　如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i.求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)向量对应的复数． 点拨：→ 解：由题意得向量对应的复数为3＋2i，向量对应的复数为－2＋4i. (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 复数加、减运算时的注意点 1．向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据． 2．利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数． 3．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 对点练2．在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i，3＋2i，1＋5i，则表示的复数为(　　) A．2＋8i B．－6－6i C．4－4i D．－4＋4i 答案：C 解析：＝－(＋)＝(3，2)－(1，5)－(－2，1)＝(4，－4)，对应的复数为4－4i.故选C． 学生用书第31页 1．设z1＝－3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：由题意得z1＋z2＝－3－4i＋(－2＋3i)＝－5－i，在复平面内对应的点为(－5，－1)，位于第三象限．故选C． 2．如果z－(2－3i)＝－1＋i，那么复数z为(　　) A．1－2i B．1＋4i C．－1－2i D．－1＋4i 答案：A 解析：z－(2－3i)＝－1＋i，故z＝－1＋i＋2－3i＝1－2i.故选A． 3．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________． 答案：－1 解析：因为z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，所以解得a＝－1． 4．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________． 答案：9π 解析：由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0，1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π. 学科网（北京）股份有限公司 $$