10.1.2 复数的几何意义-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10.1.2　复数的几何意义 知识层面 1．了解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．　2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．　3．掌握共轭复数、复数模的定义及求模公式． 素养层面 通过复数的几何意义，培养直观想象素养；借助复数的几何意义解题，培养数学运算素养． 19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 问题1．实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数该怎样来表示呢？ 提示：复数可用复平面上的点来表示． 问题2．在复平面内，实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？ 提示：不是，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点一　复平面 如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴． 知识点二　复数的几何意义 1．复数的几何意义——与点对应 每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．复数集C中的数和复平面内的点是一一对应的，即复数z＝a＋bi↔复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义． [微提醒]　(1)复数的实质是有序实数对． (2)复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi).也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (3)当a＝0，b≠0时，a＋bi＝0＋bi＝bi是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b)(b≠0)都表示纯虚数． (4)“复数z＝a＋bi”中的z，书写时应小写；“复平面内的点Z(a，b)”中的Z，书写时应大写． 2．复数的几何意义——与向量对应 因为平面直角坐标系中的点Z(a，b)能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z＝a＋bi向量＝(a，b)． [微提醒] 根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a，b)和平面向量之间的关系可用下图表示． 学生用书第25页 知识点三　共轭复数 定义 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi 几何意义 在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数 图示 [微提醒]　(1)虚部不等于0的两个共轭复数也称为共轭虚数． (2)当复数为实数时，它的共轭复数就是它本身，反之，若一个复数的共轭复数是它本身，则它是一个实数，即z为实数⇔z＝. 知识点四　复数的模 一般地，向量＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝． 可以看出，当b＝0时，|z|＝＝|a|，这说明复数的模是实数绝对值概念的推广． 一般地，两个共轭复数的模相等，即|z|＝||． [微提醒]　(1)复数的模是一个非负实数，任意两个复数的模可以比较大小． (2)复数的模的几何意义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|表示复数z在复平面内对应的点Z(a，b)到原点的距离．类比向量的模可作推广：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离． (3)复数的模、复数在复平面内对应的点到原点的距离、复数所对应向量的模三者是相等的． 1．i是虚数单位，复数z＝1－i在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：复数z＝1－i在复平面上对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限. 故选D． 2．已知复数z＝x＋1＋(y－1)i在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所构成的平面区域是(　　) 答案：A 解析：由题意得即故点(x，y)所构成的平面区域为选项A中的阴影部分． 3．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：C 解析：因为z＝－3＋2i，所以＝－3－2i，所以在复平面内对应的点为(－3，－2)，在第三象限. 故选C． 4．若z＝4＋3i，则＝(　　) A．1 B．－1 C．＋i D．－i 答案：D 解析：由z＝4＋3i得＝4－3i， 则＝＝＝－i. 故选D． 5．在复平面内，若O(0，0)，A(2，－1)，B(1，4)，＝，点C所对应的复数为________． 答案：3＋3i 解析：因为＝，所以＝＋＝(2，－1)＋(1，4)＝(3，3)，故点C对应的复数为3＋3i. 题型一　复数与复平面内的点的一一对应 例1　实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z： (1)位于第三象限？ (2)位于直线x－y－3＝0上？ 点拨：把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件． 解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点为Z(x2＋x－6，x2－2x－15). (1)由点Z位于第三象限，得 即 解得－3＜x＜2． (2)由点Z在直线x－y－3＝0上得x2＋x－6－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，解得x＝－2． 学生用书第26页 复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系．每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值． 对点练1．(1)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3，1) B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) (2)在复平面内，复数z＝sin 3＋i cos 3对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：(1)A　(2)D 解析：(1)z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，可得解得－3<m<1． 故选A . (2) 因为<3<π，所以sin 3>0，cos 3<0，所以z＝sin 3＋i sin 3对应的点在第四象限. 故选D． 题型二　复数与平面向量的一一对应 例2　在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. (1)求向量，，对应的复数； (2)判定△ABC的形状． 点拨：(1)将点A，B，C对应的复数，用向量，，表示，由向量运算求得向量，，；(2)根据向量的模求出△ABC的各边长，从而判断三角形的形状． 解：(1)由复数的几何意义，知＝(1，0)，＝(2，1)，＝(－1，2)， 所以＝－＝(1，1)， ＝－＝(－2，2)， ＝－＝(－3，1)， 所以向量，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i. (2)由(1)得＝(1，1)，＝(－2，2)，＝(－3，1)， 所以||＝，||＝2，||＝， 所以||2＋||2＝||2， 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 1．根据复数与平面向量的对应关系可知，当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的平面向量． 2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为依据，实现复数、复平面内的点、平面向量之间的转化． 对点练2．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2＋i. (1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； (2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数． 解：(1)设向量对应的复数为z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，则点B的坐标为(x1，y1). 由题意得A(2，1)，点A与点B关于实轴对称， 则根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1．故z1＝2－i. (2)设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)， 由(1)得B(2，－1)，又点B与点C关于虚轴对称，根据对称性可知，x2＝－2，y2＝－1．故z2＝－2－i. 题型三　复数的模及其几何意义 例3　求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小． 点拨：根据复数的模的公式求解． 解：因为z1＝6＋8i，z2＝－－i， 所以|z1|＝＝10， |z2|＝＝， 所以|z1|＞|z2|. 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 学生用书第27页 对点练3．已知复数z满足下列条件时，复数z在复平面内对应点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝2； (2)2＜|z|＜3． 解：(1)因为|z|＝2，||＝2， 所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆． (2)不等式2＜|z|＜3可化为不等式组 因为不等式|z|＞2的解集为以原点为圆心，2为半径的圆外部所有的点组成的集合，不等式|z|＜3的解集为以原点为圆心，以3为半径的圆内部所有的点组成的集合， 所以这两个集合的交集就是上述不等式组的解集， 所以满足2＜|z|＜3的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包含圆环的边界． 易错点　混淆复数的模与实数的绝对值 求方程－5|x|＋6＝0在复数集上解的个数． 正解：设x＝a＋bi(a，b∈R).原方程可化为＝，即a2＋b2＝，在复平面上满足此条件的点有无数个，所以原方程在复数集上有无数个解． 易错探因：本题若忽略“在复数集上”这一条件，而将|x|看成“绝对值”，则会得到错解x＝±，所以原方程在复数集上有两个解． 误区警示：复数的模是实数的绝对值概念的扩充，但在求解有关问题时，不能将其当成实数的绝对值加以求解． 1．复平面内复数z对应的向量为，且＝(－1，－2)，则|z|等于(　　) A． B．3 C．5 D．(－1，2) 答案：A 解析：由题意，复数的模即为其对应的向量的模，故|z|＝＝. 2．当<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 解析：因为<m<1，所以3m－2>0，m－1<0，所以点(3m－2，m－1)在第四象限．故选D． 3．已知O是坐标原点，向量，对应的复数分别是2＋3i，1＋2i，那么向量对应的复数是________． 答案：1＋i 解析：易知＝(2，3)，＝(1，2)， 故＝－＝(1，1)， 所以向量对应的复数是1＋i. 4．设复数z＝5－12i，则|z|＝________，＝________． 答案：13　5＋12i 解析：|z|＝＝13，＝5＋12i. 学科网（北京）股份有限公司 $$