10.1.1 复数的概念-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

10.1　复数及其几何意义 10.1.1　复数的概念 知识层面 1．了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．　2．理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．　3．理解复数的代数表示法．　4．掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题． 素养层面 通过学习数系的扩充，培养逻辑推理素养；借助复数的概念，提升数学抽象素养． 问题1．正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？ 提示：在实数范围内，负实数无平方根． 问题2．我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示：为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1． 问题3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以是实数吗？需满足什么条件？ 提示：可以是实数，当b＝0时，z＝a＋bi(a，b∈R)为实数． 问题4．如何利用集合关系表示实数集R和复数集C? 提示：RC． 知识点一　复数的概念 1．虚数单位 一般地，为了使得方程x2＝－1有解，人们规定i的平方等于－1，即i2＝－1，并称i为虚数单位． 2．复数的概念 引进虚数单位i后，需要定义虚数单位与实数之间的运算，而且这种运算还得保持以前的运算律(如加法交换律、乘法交换律等)均成立．实数a与i的和记作a＋i，且实数0与i的和为i；实数b与i的积记作bi，且实数0与i的积为0，实数1与i的积为i． 学生用书第21页 一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．复数一般用小写字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b. 所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． 不难看出，任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数． [微提醒]　(1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)时，一定要有a，b∈R，否则不能说实部为a，虚部为b； (2)虚部是复数代数形式中i的实数系数，不含i，不能说虚部为bi，也不能说虚部系数为b. 知识点二　复数的分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分为两大类——实数和虚数，具体如下： 复数z 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用如图表示． [微提醒]　(1)复数不能比较大小，若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数． (2)a＋bi＝0(a，b∈R)⇔a＝b＝0． 知识点三　复数相等 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2． 这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d． 特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是a＝b＝0． [微提醒]　(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)若是虚数，只需b≠0． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)若是实数，只需b＝0． (3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)若是纯虚数，需a＝0且b≠0． 1．下列说法正确的个数是(　　) (1)实数是复数；(2)虚数是复数； (3)实数集和虚数集的交集不是空集； (4)实数集与虚数集的并集等于复数集． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 解析：实数集和虚数集的交集是空集，故(3)错误；(1)(2)(4)正确． 2．已知a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i>2(i为虚数单位)，则a的取值范围是(　　) A．a>2或a<－1 B．a>1或a<－2 C．－1<a<2 D．－2<a<1 答案：A 解析：因为a，b∈R，若a2－b＋(a－b)i>2(i为虚数单位)，所以故可得a2－a－2>0，分解因式可得(a＋1)(a－2)>0，解得a>2或a<－1．故选A． 3．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：C 解析：a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，可得a－2＝0，解得a＝2．故选C． 4．复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i(a∈R)为纯虚数，则a的取值是(　　) A．3 B．－2 C．－1 D．1 答案：D 解析：因为z＝(a2－1)＋(a＋1)i是纯虚数，所以a2－1＝0，且a＋1≠0，解得a＝1，所以a的取值是1．故选D． 5．若实数x，y满足x＋yi＝－1＋(x－y)i(i是虚数单位)，则xy＝________． 答案： 解析：由x＋yi＝－1＋(x－y)i，则解得 所以xy＝. 学生用书第22页 题型一　复数的基本概念 例1　若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　) A．－2 B． C．－ D．2 点拨：根据复数的概念进行解答． 答案：D 解析：复数2－bi(b∈R)的实部为2，虚部为－b，因为该复数的实部与虚部互为相反数，则2＋(－b)＝0，所以b＝2．故选D． 在理解和应用复数概念时，一定要明确复数实部和虚部的定义、复数的代数形式，根据题意，得出结论． 对点练1．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的复数是(　　) A．2－2i B．2＋2i C．－＋i D．＋i 答案：A 解析：－＋2i的虚部为2，i＋2i2＝－2＋i的实部为－2，所以所求复数实部为2，虚部为－2，即为2－2i.故选A． 题型二　复数的分类 例2　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时， (1)z为实数？(2)z为虚数？(3)z为纯虚数？ 点拨：→ 解：(1)要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0且m－1≠0，解得m＝－3． (2)要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0且m－1≠0，解得m≠1且m≠－3． (3)要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2． 求解复数分类问题的关键 1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0． 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为实数的充要条件是b＝0． 3．复数z＝a＋bi(a，b∈R)为虚数的充要条件是b≠0． [注意]　依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数取值，再结合以上结论求解． 对点练2．求m为何实数时，复数z＝m2＋m－6＋(m2－2m－15)i为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)虚数． 解：(1)若复数z为实数，则m2－2m－15＝0，解得m＝－3或5． (2)若复数z为纯虚数，则解得m＝2． (3)若复数z为虚数，则m2－2m－15≠0，解得m≠－3且m≠5． 题型三　复数相等 例3　(1)设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i，a，b∈R，则a＋bi＝(　　) A．2＋3i B．－3＋2i C．3－2i D．－3－2i (2)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，则实数x，y的值分别为________． 点拨：先利用复数相等的定义列出关于a，b或者x，y的实数方程组，然后解出方程组求值． 答案：(1)B　(2)－， 解析：(1)根据复数相等的充要条件得a＝－3，b＝2，则a＋bi＝－3＋2i.故选B． (2)由复数相等的充要条件得解得 学生用书第23页 复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解． 对点练3．(1)已知x，y∈R，若4＋(x2－x)i＝x2＋2i(i为虚数单位)，则x的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (2)实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为4＋(x2－x)i＝x2＋2i，所以解得x＝2．故选D． (2)因为z1＝y＋xi，z2＝yi－x，所以z1－z2＝(x＋y)＋(x－y)i，又因为z1－z2＝2，所以x＋y＝2，且x－y＝0，所以x＝y＝1．所以xy＝1．故选A． 例1　实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋5m－6)i是实数． 正解：复数z为实数，则虚部为0，因为实部是分式，所以要求分式有意义，则 解得m＝－6． 所以当m＝－6时，复数z是实数． 易错探因：本题易忽略实部是分式，分母m－1应不为0这一限制条件而产生增解m＝1． 误区警示：讨论一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部都是有意义的；解决与复数概念相关的问题时，必须明确实数与复数之间的从属关系． 易错点2　对纯虚数的概念把握不准 例2　实数m取何值时，复数z＝＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数． 正解：复数z是纯虚数的充要条件是 解得 即m＝1． 故当m＝1时，复数z是纯虚数． 易错探因：本题易忽略“纯虚数的虚部不能为0”这一条件，从而产生增解m＝－2． 误区警示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件为a＝0且b≠0，二者缺一不可． 1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案：A 解析：因为复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，所以a＝0，但是当a＝0时，只有当b≠0时，复数a＋bi才是纯虚数，所以复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的充分不必要条件．故选A． 2．复数1＋i2＝(　　) A．0 B．2 C．2i D．1－i 答案：A 解析：因为i2＝－1，所以1＋i2＝0．故选A． 3．给出下列命题：①若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则实数a＝±1；②1＋i2是虚数；③复数m＋ni的实部一定是m.其中真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 解析：①若(a2－1)＋(a2＋3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，则a2－1＝0且a2＋3a＋2≠0，解得a＝1，所以错误；②1＋i2＝1－1＝0是实数，所以错误；③复数中m，n未指明是实数，故错误．因此三个命题都是假命题．故选A． 4．已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为________． 答案：1，1 解析：因为x2－y2＋2xyi＝2i， 所以解得或(舍). 学科网（北京）股份有限公司 $$