章末综合提升 解三角形-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

章末综合提升 探究点一　利用正、余弦定理解三角形 例1　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝sin C－cos C． (1)求A的大小； (2)若b＝3，c＝2，点D在边BC上，且CD＝2DB，求线段AD的长． 解：(1)由已知及正弦定理得＝sin C－cos C， 可化为sin C－sin B＝sin A sin C－sin A cos C， 即sin C－sin (A＋C)＝sin A sin C－sin A cos C， 所以sin C－sin A cos C－sin C cos A＝sin A sin C－sin Acos C． 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 所以－cos A＝sin A， 即sin ＝1． 因为0<A<π，所以<A＋<， 所以A＋＝，故A＝. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝18＋4－12＝10，则a＝. 因为D在边BC上，且CD＝2DB， 所以BD＝a＝. 又cos B＝＝－， 所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B＝， 所以AD＝. 解三角形的一般方法 1．已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. 2．已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． 3．已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． 4．已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C． 对点练1．在①b(1＋cos A)＝a sin B，②b·cos ＝a sin B，③a sin C＝c cos 这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答． △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号). 学生用书第18页 (1)求A的大小； (2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)选①：由正弦定理及已知可得sin B(1＋cos A)＝sin A sin B，又B∈(0，π)，sin B≠0， 所以1＋cos A＝sin A， 则sin ＝， 所以A－＝，即A＝. 选②：由正弦定理及已知可得sin B·cos ＝sin Asin B， 又B∈(0，π)，sin B≠0， 所以cos ＝sin A， 所以sin ＝2sin cos . 又∈(0，)，所以sin ≠0， 所以cos ＝. 所以＝，即A＝. 选③：由正弦定理及已知可得sin A sin C ＝sin Ccos ， 又C∈(0，π)，sin C≠0， 所以sin A＝cos ＝cos A＋sin A， 则tan A＝. 又0<A<π，所以A＝. (2)由(1)知cos A＝ ＝ ＝－1＝， 可得bc＝3， 所以S△ABC＝bc sin A＝. 探究点二　利用正弦、余弦定理判断三角形形状 例2　在△ABC中，若(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)·sin (A＋B)，试判断△ABC的形状． 解：因为(a2＋b2)sin (A－B)＝(a2－b2)sin (A＋B)， 所以b2[sin (A＋B)＋sin (A－B)] ＝a2[sin (A＋B)－sin (A－B)]， 所以2b2sin A cos B＝2a2cos A sin B， 即a2cos A sin B＝b2sin A cos B． 方法一：由正弦定理知a＝2R sin A，b＝2R sin B， 所以sin2A cosA sin B＝sin2B sinA cos B， 又sin A sin B≠0，所以sin A cos A＝sin B cos B， 所以sin 2A＝sin 2B． 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， 所以2A＝2B或2A＝π－2B， 所以A＝B或A＋B＝. 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 方法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2b×＝b2a×， 所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0． 即a＝b或a2＋b2＝c2． 所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 判断三角形形状的方法 1．通过正弦定理和余弦定理将已知条件统一化成角的关系，如a＝2R sin A，a2＋b2－c2＝2ab cos C等，进行三角变换，得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B⇔A＝B；sin (A－B)＝0⇔A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B或A＋B＝等． 2．利用正弦定理和余弦定理将已知条件统一化成边的关系，如sin A＝，cos A＝等，进行代数变换，用代数方法求解． 对点练2．在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C． (1)试确定△ABC的形状； (2)求的取值范围． 解：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R， 根据正弦定理得，sin A＝，sin B＝， sin C＝， 代入＝，得＝， 所以b2－a2＝ab.① 因为cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C， 所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C， 所以sinAsin B＝sin2C． 由正弦定理，得·＝，所以ab＝c2．② 把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2． 所以△ABC是直角三角形． (2)由(1)知B＝，所以A＋C＝， 所以C＝－A，所以sinC＝sin ＝cos A． 根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin . 因为ac<ab＝c2，所以a<c， 所以0＜A＜，所以＜A＋＜. 所以＜sin <1， 所以1＜sin <， 即的取值范围是(1，). 学生用书第19页 探究点三　正弦、余弦定理在实际问题中的应用 例3　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ 解：由题意知AB＝5(3＋)n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， 所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB中，由正弦定理得 ＝， 所以DB＝＝ ＝ ＝＝10(n mile)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC＝20(n mile)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝DB2＋BC2－2DB·BC·cos ∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900， 所以CD＝30(n mile). 则需要的时间t＝＝1(h). 所以救援船到达D点需要1 h． 余弦、正弦定理在实际应用中应注意的问题 1．分析题意，弄清已知元素和未知元素，根据题意画出示意图． 2．明确题目中的一些名词、术语的意义，如仰角、俯角、方向角、方位角等． 3．将实际问题中的数量关系归结为数学问题，利用学过的几何知识，作出辅助线，将已知与未知元素归结到同一个三角形中，然后解此三角形． 4．在选择关系时，一是力求简便，二是要尽可能使用题目中的原有数据，尽量减少计算中误差的积累． 对点练3．龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为60°.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点(与A，B，C共面)后，测量得塔顶A的仰角为45°.已知C，D两点的海拔高度差为2米． (1)记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角γ，计算γ的余弦值； (2)计算龙光塔的高度． 解：(1)由题意知，过D作DE⊥AB交AB于E，过C作CF⊥DE交DE于F，如图所示， 则CD＝14，CF＝2，∠CDF＝γ， 所以在Rt△CDF中，DF＝8 m， 又0<γ<，所以cos γ＝＝， 所以γ的余弦值为. (2)设龙光塔的高度AB＝h， 则在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，则BC＝＝， 易知四边形CBEF是矩形， 则EF＝BC＝，BE＝CF＝2， 又在Rt△ADE中，∠ADE＝45°，则AE＝DE， 所以AB＋BE＝EF＋DF，即h＋2＝＋8， 解得h＝11＋9． 所以龙光塔的高度为(11＋9)m. (2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，所以由正弦定理得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2－c2＝ab－b2，则a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝＝，又0<C<π，所以C＝.故选B． (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 答案：2 解析：如图所示：记AB＝c，AC＝b，BC＝a， 法一：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋， 由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD可得， ×2×b×sin 60°＝×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD＝＝＝2． 法二：由余弦定理可得，22＋b2－2×2×b×cos 60°＝6，因为b>0，解得b＝1＋，由正弦定理可得，＝＝，解得sin B＝，sin C＝，因为1＋>>2，所以C＝45°，B＝180°－60°－45°＝75°，又∠BAD＝30°，所以∠ADB＝75°，即AD＝AB＝2． (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理得cos C＝＝， 又0<C<π，所以C＝. 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0<B<π，所以B＝. (2)sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C) ＝sin cos ＋cos sin ＝， 由正弦定理＝，得＝， 所以a＝c. 所以△ABC的面积S＝ac sin B＝c2×＝3＋， 得c＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$