重点题型强化(一) 解三角形的综合问题-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

[学习目标]　1．会解决解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题，培养数学运算核心素养．　2．会解决三角形的中线、角平分线等问题，培养直观想象及数学运算核心素养． 一、解三角形与三角恒等变换的综合 例1　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC 中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B． (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解：(1)因为A＋B＝3C， 所以π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C ＝sin A cos C＋cos Asin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C， 所以sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， 所以sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C ＝＝， 由正弦定理，＝， 可得AC＝＝2， 所以AB边上的高h＝AC· sin A＝2×＝6． 对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系(此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的)，进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解． 对点练1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝2c，cos A＝－. (1)求c的值； (2)求sin B的值； (3)求sin (2A－B)的值． 解：(1)由余弦定理的推论知，cos A＝＝＝－，解得c＝1． (2)由(1)知，b＝2c＝2， 由cos A＝－，知sin A＝， 因为＝，所以sin B＝. (3)因为cos A＝－<0，所以A为钝角，B为锐角，从而cos B＝. 因为sin 2A＝2sin A cos A＝－，cos 2A＝2cos2A－1＝－，所以sin(2A－B)＝sin 2A cos B－cos 2A sin B＝. 二、解三角形与三角函数的综合 例2　已知函数f(x)＝sin ωx cos ωx－sin2ωx＋，其中ω>0，若实数x1，x2满足|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为. (1)求ω的值及f(x)的对称中心； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f(A)＝－1，a＝，求△ABC周长的取值范围． 解：(1)f(x)＝sinωx cos ωx－sin2ωx＋ ＝sin2ωx－＋ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin ， 显然f(x)的最大值为1，最小值为－1， 则|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值等于，则＝，则＝π，ω＝1； 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，则f(x)的对称中心为，k∈Z. (2)f(A)＝sin ＝－1，2A＋＝－＋2kπ，k∈Z，又A∈(0，π)，则A＝， 由正弦定理得＝＝＝＝2，则b＝2sin B，c＝2sin C， 则周长为a＋b＋c＝＋2sin B＋2sin C＝＋2sin B＋2sin ＝＋sin B＋cos B＝＋2sin，又0<B<，则<B＋<，则<2sin≤2，故周长的取值范围为(2，2＋ ]. 正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题． 学生用书第15页 对点练2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f(x)＝sin (x＋B)＋cos (x＋B)tan C，且f＝－. (1)求角A； (2)若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值． 解：(1)f(x)＝＝＝＝－. 因为f＝－，所以－＝－，所以sin ＝1． 又0<A<π，所以－<－A<， 所以－A＝，所以A＝. (2)因为△ABC的面积S＝bc sin A＝bc·＝，所以bc＝4， 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R， sin B＝，sin C＝，a＝R，sin B＋sin C＝⇒b＋c＝R， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，所以a2＝(b＋c)2－3bc，所以3R2＝6R2－12，所以R＝2，所以a＝2. 三、解三角形中的中线问题 例3　在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos ＝a sin B． (1)求A； (2)若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长． 解：(1)cos ＝cos ＝sin ， 所以b sin ＝asin B， 由正弦定理得：sin B sin ＝sin A sin B， 因为sin B≠0，所以sin ＝sin A， 所以sin ＝2sin cos ，因为A∈(0，π)，∈，所以sin ≠0，得cos ＝，即＝， 所以A＝. (2)因为·＝3， 所以bc cos (π－A)＝3，得bc＝6， 由余弦定理得：b2＋c2＝a2＋2bc cos A＝13， 因为＝(＋)， 所以||2＝(＋)2＝(c2＋b2＋2bc cos A)＝，所以||＝，即AD的长为. 求解三角形中线问题的常用方法 1．中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2．向量法：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则2＝(b2＋c2＋2bc cos A). 对点练3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a sin B＝b cos A． (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD＝，且c＝4，求b的值． 解：(1)由a sin B＝b cos A及正弦定理可得： sin Asin B＝sin B cos A， 因为A，B∈(0，π)，则sin B>0，可得sin A＝cos A>0，则tan A＝，因此A＝. (2)因为＝(＋)， 所以2＝＋，所以42＝(＋)2＝2＋2＋2·， 即28＝c2＋b2＋2bc cos ∠BAC＝c2＋b2＋bc， 即b2＋4b－12＝0，解得b＝2(负值舍去). 四、解三角形中的角平分线问题 例4　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，A＝，·＝，AD是△ABC的角平分线，求AD的长． 解：由A＝，·＝，得cb cos ＝， 所以bc＝3，又a＝2， 所以a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(b＋c)2－2bc＋bc＝12，可得b＋c＝＝， 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD， 所以bc sin ＝b·AD·sin ＋c·AD·sin ，所以AD＝＝＝. 学生用书第16页 求解三角形角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c： 1．利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD． 2．内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则＝. 3．等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长公式). 对点练4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝1＋.内角A的角平分线交BC于点M，若BM＝2CM，则＝(　　) A． B． C． D．2 答案：A 解析：由条件有，＝1＋＝1＋＝＝，又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，sin B>0，sin C>0，则 ＝，即cos A＝，又A∈(0，π)，则A＝，由AM为∠CAB的角平分线，则＝＝2，即AB＝2AC，且∠CAM＝∠BAM＝，在△ACM中，cos ∠CAM＝＝，即AC2＋AM2－CM2＝AC·AM　①，cos ∠CMA＝，在△ABM中，cos ∠BMA＝＝，由∠BMA＋∠CMA＝π，则＋＝0，化简得，AM2＝2AC2－2CM2　②，将②代入①可得，CM＝AC　③，将③代入②可得，AM＝AC，所以BC＝AC，所以＝＝.故选A． 五、解三角形中的最值(范围)问题 例5　△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB·sin C． (1)求角A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解：(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB．① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos A② 由①②得cos A ＝－. 因为0<A<π，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2，从而AC＝2sin B，AB＝2sin (π－A－B)＝3cos B－sin B． 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin . 又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. 解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围). 对点练5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且满足S＝(a2＋b2－c2). (1)求角C的大小； (2)求sin A·sin B的最大值． 解：(1)由题意可知ab sin C＝×2ab cos C， 所以tan C＝. 因为0<C<π，所以C＝. (2)由已知sin A·sin B＝sin A·sin (π－C－A)＝sin A·sin ＝sin A＝sin 2A－cos 2A＋＝sin ＋. 因为0<A<，所以－<2A－<， 所以当2A－＝，即A＝时，sin A·sin B取最大值.所以sin A·sin B的最大值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$