9.2 正弦定理与余弦定理的应用&9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 9.3　数学探究活动：得到不可达两点之间的距离 知识层面 1．了解实际问题中所涉及的名词和一些术语，能将实际问题转化为解三角形问题．　2．能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题． 素养层面 通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题，培养直观想象、数学运算素养；借助将实际问题转化为解三角形问题，培养数学建模素养． 在实地测量工作中，经常遇到一些不便于直接测量的情形．如图是一博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部).在地面上的两点A，B测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米． 问题．你能给出一种博物馆正门柱楼顶部点P离地面的高度(即OP的长)的计算方法吗？ 提示：　可以．　第一步：在△PAO中，AO＝PO；第二步：在△PBO中，BO＝PO；第三步：在△AOB中，AO2＝BO2＋AB2－2·BO·AB cos 60°，解得OP＝25米． 知识点一　测量距离问题 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A，B间不可达也不可视 测得AC＝b，BC＝a，∠ACB＝C，则由余弦定理得AB＝ B，C与点A可视但不可达 测得BC＝a，∠ABC＝B，∠ACB＝C，则A＝π－(B＋C)，由正弦定理得AB＝ C，D与点A，B均可视不可达 测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB 知识点二　测量高度问题 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan_C 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及∠ACD与∠ADB的度数．先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数． 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 学生用书第10页 知识点三　测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追击与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念． 解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可． 1．中国人民解放军某舰队一艘巡逻舰在南海执行任务时以60海里/小时的速度向正北航行，如图，在A处发现S处有一艘船只，仪表显示S处在A处的北偏东30°，半小时后航行到B处，在B处测得S处在巡逻舰的北偏东75°，则S与B之间的距离是(　　) A．15海里 B．15 海里 C．20海里 D．20 海里 答案：B 解析：由题意可得三角形ABS中，AB＝60×＝30，∠BAS＝30°，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以可得S＝45°，由正弦定理可得，＝，即＝，解得SB＝15海里．故选B． 2．如图所示，为了测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C作为测量基点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝500 m，则山高MN(单位：m)为(　　) A．750 B．750 C．850 D．850 答案：A 解析：由题意得C点的仰角∠CAB＝45°，山高BC＝500 m，由勾股定理，可得AC＝500.在△MCA中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，那么∠AMC＝45°，又AC＝500，由正弦定理，得＝，可得AM＝500.在Rt△MAN中，∠MAN＝60°，可得MN＝500×sin 60°＝750．故选A． 3．蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年(1621年)，为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如下图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝30米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和30°，∠ADB＝150°，则蜚英塔的高度CD是(　　) A．25米 B．25米 C．30米 D．30米 答案：C 解析：设CD＝h，在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，所以AD＝CD＝h，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以BD＝CD＝h，在△ABD中，由余弦定理知，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB，所以(30)2＝h2＋(h)2－2h·h·，解得h＝30，所以蜚英塔的高度CD是30米．故选C． 学生用书第11页 4．已知两座灯塔A，B到海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°方向，灯塔B在观察站C的南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向 B．北偏西10°方向 C．南偏东10°方向 D．南偏西10°方向 答案：B 解析：如图，由题意得，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，所以∠ABC＝×(180°－80°)＝50°.又60°－50°＝10°，所以A在B的北偏西10°方向．故选B． 5．如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，∠CBD＝15°，∠BCD＝120°，则两景点B与C的距离为________km. 答案： 解析：在△ABC中，AB＝5 km，AD＝7 km，∠ABD＝60°，利用余弦定理：AD2＝AB2＋BD2－2×AB×BD×cos 60°，整理得49＝25＋BD2－2×5×BD×，解得BD＝8或－3(负值舍去).在△BCD中，∠CBD＝15°，∠BCD＝120°，所以∠CDB＝45°，利用正弦定理＝，整理得BC＝＝ km. 题型一　测量距离问题 例1　(一题多解)在一次实兵演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距a的军事基地C处和D处，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离． 点拨：已知CD的长及4个角的值，求解AB的长，可按照求解可视不可到达的两点之间的距离问题的方法，结合正、余弦定理求解． 解：方法一　因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， 所以∠DAC＝60°，所以AD＝CD＝a. 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－60°－45°＝45°， 由正弦定理，得＝， 故BD＝CD×＝a×＝a. 在△ABD中，因为AB2＝AD2＋BD2－2×AD×BD×cos ∠ADB＝a2＋(a)2－2×a×a×＝a2， 所以AB＝a. 故蓝方这两支精锐部队的距离为a. 方法二　同方法一，可得AD＝CD＝AC＝a. 在△BCD中，易得∠DBC＝45°，＝， 所以BC＝a. 在△ABC中，因为AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，所以AB＝a. 故蓝方这两支精锐部队的距离为a. 方法三　易知△ADC是正三角形，且BD垂直平分AC，所以AB＝BC，又∠ACB＝45°，所以△ABC为等腰直角三角形，所以AB＝AC sin ∠ACB＝a. 故蓝方这两支精锐部队的距离为a. 利用正弦定理可以解决一个可以到达的点与另一个不可以到达的点之间的距离问题，利用正弦定理、余弦定理可以解决两个不可到达的点之间的距离问题(一般要解3个三角形).解决此类求距离问题，先利用测量工具测出所构造的三角形的有关的边和角，再通过解三角形求相应距离．利用正弦定理解决距离问题时通常需测出所构造三角形的两角和一边；利用余弦定理解决距离问题时常需要测出所构造三角形的两边及其夹角，有时需综合运用两个定理求解．注意求距离时，常会遇到方位角、方向角等概念，应正确理解，并会构造三角形测量距离． 对点练1．(1)如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离(单位：百米)，已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8，∠ACB＝60°，则A，B之间的距离为(　　) A．7 B．10 C．6 D．8 (2)为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距2 km的两点A，B处分别测得∠BAC＝105°，∠BAD＝60°，∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，则C，D间的距离为(　　) 学生用书第12页 A． km B．2 km C．4 km D．4 km 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)根据题意，由余弦定理知 AB＝ ＝＝7，所以A，B之间的距离为7百米．故选A． (2)因为∠ABD＝60°，∠BAD＝60°，所以△ABD是正三角形，所以AB＝BD＝DA＝2 km，因为△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝105°，所以∠ACB＝30°，利用正弦定理得＝，AC＝＝＝2，△ACD中，∠CAD＝105°－60°＝45°，所以CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos 45°＝(2)2＋22－2×2×2×＝4，所以CD＝2，即C，D间的距离为2 km.故选B． 题型二　测量高度问题 例2　要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶的仰角是45°，在D点测得塔顶的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度是(　　) A．30 m B．40 m C．40 m D．40 m 点拨：设AB的长为x m，进而根据题意用x来表示BD，BC，然后在△DBC中利用余弦定理建立方程求得x，即得到电视塔的高度． 答案：B 解析：如图所示，由题意，设AB＝x，则BD＝x，BC＝x.在△DBC中，∠BCD＝120°，CD＝40，根据余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，即(x)2＝x2＋402－2×x×40×cos 120°，整理得x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去).故所求电视塔的高度为40 m．故选B． 利用正弦定理、余弦定理可以解决底(顶)部不能到达的物体的高度问题．通过解一个直角三角形和一个斜三角形或两个直角三角形使问题得解．解决高度测量问题时，常会遇到仰角、俯角或视角等角度问题，应正确理解这些概念，弄清它们的区别与联系． 对点练2．山顶上有一座信号发射塔，塔高0.2千米，山脚下有A，B，C三个观测点，它们两两之间的距离分别为AB＝3千米，AC＝4千米，BC＝2千米，从这三个观测点望塔尖的仰角均为60°，则山高为________千米． 答案： 解析：设塔顶的垂直高度为PO＝x千米，则AO＝BO＝CO＝x，所以A，B，C均在以O为圆心，以x为半径的圆上，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos ∠ACB＝＝，所以sin ∠ACB＝＝，由正弦定理得2R＝＝，则R＝.所以x＝，解得x＝.所以山高为千米． 题型三　测量角度问题 例3　某地要投资建设一个深水港码头，为了解深水港码头海域海底的构造，在水平面内一条直线上取A，B，C三点进行测量，如图所示，已知AB＝60 m，BC＝120 m，在A处测得水深AD＝120 m，在B处测得水深BE＝200 m，在C处测得水深CF＝150 m，则cos ∠DEF＝________． 点拨：把∠DEF放到某一个三角形中利用余弦定理的推论即可求得cos ∠DEF的值．解题的关键是求出该三角形三边的长度． 答案：－ 解析：如图，作DM∥AC交BE于点N，交CF于点M.DF＝＝＝(m)，DE＝＝＝100(m)，EF＝＝＝130(m).在△DEF中，由余弦定理的变形公式，可得cos ∠DEF＝＝＝－. 正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上是正、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形与四边形)问题中的应用，因此利用几何图形本身或实际问题中涉及的术语(如方位角等)构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理解决问题． 对点练3．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ＝________． 答案：－1 解析：在△ABC中，AB＝100 m，∠CAB＝15°，∠ACB＝45°－15°＝30°，由正弦定理＝，可得BC＝200sin 15°，在△DBC中，CD＝50 m，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，由正弦定理得＝，sin 15°＝sin(45°－30°)＝，所以cos θ＝2sin 15°＝－1． 易错点　混淆概念致错 某观测站C在目标A南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°方向的公路，在C处测得与C相距31 km的公路上的B处有一人正沿着此公路向A走去，走了20 km后到达D，此时测得C，D之间的距离为21 km，此人还要走________km才能到达A． 学生用书第13页 答案：15 解析：正解一　依题意作图，如图所示，则∠CAD＝60°.在△BCD中，cos B＝＝＝，故sin B＝.在△ABC中，AC＝＝24 km.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠CAD，即312＝242＋AB2－2·24·AB·cos 60°，整理得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35 km，所以AD＝AB－BD＝35－20＝15(km).故此人在D处时距A还有15 km. 正解二　在△BCD中，由余弦定理解得cos ∠BDC＝－，cos ∠ADC＝，则sin ∠ADC＝，sin ∠ACD＝sin (120°－∠ADC)＝.在△ACD中，由正弦定理，得＝，解得AD＝15 km.故此人在D处时距A还有15 km. 易错探因：对方向角的概念理解不准确． 误区警示：在解三角形实际应用问题中涉及许多专业术语，如方向角、方位角、仰角、俯角等．理解概念，画出正确的示意图是正确解题的前提． 1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 答案：B 解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示．由图知α＝β. 2．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，可以计算出A，B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D． m 答案：A 解析：∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，由＝，得AB＝100×＝50(m). 3．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为(　　 ) A．6海里 B．6海里 C．4海里 D．12海里 答案：A 解析：设甲驱逐舰，乙护卫舰，航母所在位置分别为A，B，C(图略)则∠ACB＝45°＋15°＝60°，∠BAC＝90°－15°＝75°，∠ABC＝180°－60°－75°＝45°.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得AB＝6，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为6海里．故选A． 4．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________． 答案：30 m 解析：由题图，可得B＝45°，∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝30°，故BC＝＝＝30(m). 学科网（北京）股份有限公司 $$