9.1.2 余弦定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

9.1.2　余弦定理 知识层面 1．掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法．　2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．　3．能应用余弦定理判断三角形形状．　4．能利用正弦定理、余弦定理解决解三角形的有关问题． 素养层面 借助余弦定理的推导，提升逻辑推理素养；通过余弦定理的应用的学习，培养数学运算素养． 问题1．在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c? 提示：如图，设＝a，＝b，＝c，那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算． 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C． 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B． 问题2．在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例． 问题3．在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 提示：根据余弦定理的变形得cos A＝，cos B＝，cos C＝. 知识点一　余弦定理 文字表述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 公式表述 a2＝b2＋c2－2bc_cos_A，b2＝c2＋a2－2ca_cos_B，c2＝a2＋b2－2ab_cos_C 推论 cos A＝，cos B＝，cos C＝ [微提醒]　对余弦定理的理解 (1)余弦定理对任意的三角形都成立． (2)关键词：“平方”“夹角”“余弦”． (3)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得三角形中未知的量． (4)余弦定理的第二种形式适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题． (5)余弦定理的常见变式：b2＋c2－a2＝2bc cos A，a2＋c2－b2＝2ac cos B，a2＋b2－c2＝2ab cos C． 知识点二　余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： (1)已知三边，解三角形； (2)已知两边及其夹角，解三角形． 学生用书第6页 [微提醒]　(1)余弦定理把用“边角边”和“边边边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行了刻画，使其变成了可以计算的公式． (2)余弦定理及其变形在结构上有所不同，因此在应用它们解三角形时，要根据条件灵活选择． (3)因为余弦函数在[0，π]上是单调减函数，所以由cos α＝m(－1≤m≤1)确定的角α是唯一的，因此用余弦定理求解三角形的内角更合适. 1．在△ABC中，若C＝，a＝2，b＝3，则边c＝(　　) A．4 B．16 C． D．10 答案：C 解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4＋9－2×2×3×＝7，所以c＝.故选C． 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A． B． C．2 D．3 答案：D 解析：因为a＝，c＝2，cos A＝，所以由余弦定理可得，cos A＝＝＝，整理可得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或－(舍去).故选D． 3．在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案：D 解析：设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，结合余弦定理，可得19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°，即a2＋2a－15＝0，解得a＝3，或a＝－5(舍去)，所以BC＝3．故选D． 4．在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么角A等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案：B 解析：因为在△ABC中，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，所以c2＋b2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝，又角A是△ABC的内角，所以A＝60°.故选B． 5．在△ABC中，若ac＝8，a＋c＝7，B＝，则b＝________． 答案：5 解析：由题意a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝72－2×8＝33，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝33－2×8×＝25，所以b＝5． 题型一　已知三边解三角形 例1　(一题多解)已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． 点拨： ―→―→ 解：由已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)， 由余弦定理，得cos A＝＝＝， 因为0°<A<180°，所以A＝45°. 方法一　cos B＝＝＝，因为0°<B<180°，所以B＝60°，所以C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 方法二　由正弦定理可知＝，即sin B＝＝＝，又0°<B<180°，且b<c，所以B＝60°，所以C＝180°－A－B＝180－45°－60°＝75°. 已知三角形的三边解三角形的方法 基本解法是先用余弦定理求出一角，然后用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角．在用正弦定理求第二个角时，要借助“大角对大边”，提前判断所求角是否为锐角，一般先求较小边对应的角． 对点练1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：在△ABC中，因为a＝7，b＝4，c＝，所以由大边对大角可知，边c所对的角C最小，由余弦定理可得cos C＝＝＝.因为0<C<π，所以C＝.故选B． 题型二　已知两边及一角解三角形 例2　(1)在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝________；sin A＝________． (2)(一题多解)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝30°，a＝8，b＝8，求△ABC的面积． 点拨：(1)利用余弦定理求出c的值及cos A，再由同角三角函数关系求sin A． (2)思路一　用余弦定理求出c，直接代入三角形面积公式即可． 思路二　可先根据＝，求出B，再由A＋B＋C＝180°求出C，进而用面积公式求解． 答案：(1)2　 解析：(1)根据余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2．由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝ ＝. (2)方法一　由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，代入数据得c2－24c＋128＝0，解得c＝8或c＝16．当c＝8时，S△ABC＝16；当c＝16时，S△ABC＝32. 方法二　由＝，得sin B＝sin A， 所以sin B＝sin 30°＝.所以B＝60°或B＝120°，所以C＝90°或C＝30°.所以S△ABC＝ab sin C＝×8×8×sin 90°＝32或S△ABC＝×8×8×sin 30°＝16. 学生用书第7页 1．已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形内角和定理求出第三个角． 2．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)先利用正弦定理求出另一条边所对角，再利用三角形内角和定理求出第三个角(这里注意对角的判断)，最后用正弦定理求出第三边． (2)先利用余弦定理列一元二次方程，求出第三边，再利用正弦定理求其他的两个角． 对点练2．已知a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝－. (1)求c； (2)求cos 4B的值． 解：(1)因为a＝4，b＝6，cos A＝－， 所以在△ABC中，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，可得48＝36＋c2－2×6×c×，即c2＋4c－12＝0， 所以c＝2，或－6，负值舍去． 所以c＝2． (2)由已知，得cos B＝＝， 所以cos 2B＝2cos2B－1＝－， 所以cos 4B＝2cos22B－1＝－. 题型三　判断三角形的形状 例3　(一题多解)(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，2cos A sin B＝sin C，则△ABC是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2＝，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 点拨：(1)题中条件既含边又含角，可利用正、余弦定理转化为边之间的关系或利用三角恒等变换转化为角之间的关系，从而可判断三角形的形状．(2)题需先利用二倍角的降幂公式将化成A． 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)方法一(利用边的关系判断)　由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab可得a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.又0°<C<180°，所以C＝60°.因为2cos A sin B＝sin C，所以cos A＝＝.又cos A＝，所以＝，所以a2＝b2，所以a＝b，所以△ABC为等边三角形． 方法二(利用角的关系判断)　因为A＋B＋C＝180°，所以sin C＝sin (A＋B).因为2cos A sin B＝sin C，所以2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B－cos A sin B＝0，所以sin (A－B)＝0．因为0°<A<180°，0°<B<180°，所以－180°<A－B<180°，所以A－B＝0°，即A＝B．又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝.因为0°<C<180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形． (2)方法一　因为cos 2 ＝＝，得c cos A＝b，即有c·＝b，化简得c2＝a2＋b2，所以△ABC为直角三角形．故选B． 方法二　因为cos 2 ＝＝，所以cos A＝，所以cos A＝，所以cos A sin C＝sin B，cos A sin C＝sin A cos C＋cos Asin C，所以sin Acos C＝0．因为sin A≠0，所以cos C＝0．因为C∈(0，π)，所以C＝.所以△ABC为直角三角形． 判断三角形形状的方法 从研究三角形边与边的关系或角与角的关系入手，充分利用正、余弦定理进行边角互化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，发现边与边或角与角的关系，从而做出正确判断． 对点练3．在△ABC中，a，b分别是角A，B的对边，若＝成立，那么△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．无法判断 答案：C 解析：因为＝，可得acos A＝bcos B，所以由余弦定理可得a·＝b·，整理可得c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以a2－b2＝0，或c2＝a2＋b2，所以a＝b，或C为直角，故△ABC的形状是等腰或直角三角形．故选C． 题型四　余弦定理的综合应用 例4　(一题多解)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2a cos B＝b cos C＋c cos B． (1)求B； (2)试求函数f(A)＝2sin2(A＋)－cos(2A＋)的最大值及取得最大值时A的值． 点拨：(1)利用已知条件进行边角互化即可求B． (2)化简f(A)，结合三角形内角和定理求最值． 解：(1)方法一　2a cos B＝b×＋c×＝a，即cos B＝，又0<B<π，所以B＝. 方法二　由已知条件及正弦定理可得2sin A cos B＝sin B cos C＋cos B sin C，即2sin A cos B＝sin (B＋C)＝sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝. (2)f(A)＝2sin2(A＋)－cos(2A＋)＝1－cos(2A＋)－cos (2A＋)＝1＋sin 2A－(cos 2A－sin 2A)＝1＋sin 2A－cos 2A＝1＋sin (2A－)，又B＝，所以0<A<，－<2A－<，所以当2A－＝，即A＝时，f(A)取得最大值，最大值为1＋. 学生用书第8页 余弦定理与同角三角函数基本关系、两角和与差的三角函数、向量等知识综合命题是高考的一种趋势．通常此类问题的第一问考查正弦或余弦定理，一般是利用定理进行边角互化求解；第二问通常求最值、面积，一般需利用向量运算、三角恒等变换等来化简函数解析式，或用正弦或余弦定理、三角恒等变换的思想将有关问题转化为某一个角的三角函数，再利用相应公式及性质求解． 对点练4．△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C． (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． 解：(1)在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 因为sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C， 由正弦定理得a2－b2－c2＝bc， 即b2＋c2－a2＝－bc， 由余弦定理得cos A＝＝－， 因为0<A<π，所以A＝. (2)由(1)知，A＝，因为BC＝3，即a＝3， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以9＝b2＋c2＋bc＝(b＋c)2－bc， 由基本不等式可得bc≤， 所以9＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2， 所以b＋c≤2(当且仅当b＝c＝时取得等号)， 所以△ABC周长的最大值为3＋2. 易错点　忽视构成三角形的条件而致误 已知钝角三角形ABC的三边a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求实数k的取值范围． 正解：因为c>b>a>0，且△ABC为钝角三角形， 所以C为钝角． 由余弦定理可得cos C＝＝<0． 所以k2－4k－12<0，解得－2<k<6． 由三角形的两边之和大于第三边，得k＋(k＋2)>k＋4， 所以k>2． 综上所述，实数k的取值范围为(2，6). 易错探因：忽略三角形的构成条件——两边之和大于第三边． 误区警示：由于余弦定理及其推论的变形较多，且涉及平方和开方等运算，所以可能会扩大解的范围．在利用余弦定理求出三角形的三边后，需判断是否满足构成三角形的条件． 1．在△ABC中，B＝30°，BC＝2，AB＝，则边AC的长等于(　　 ) A．－1 B．1 C． D．2 答案：B 解析：由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B＝3＋4－2×2×＝1，解得AC＝1．故选B． 2．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角之和为(　　) A．90° B．120° C．135° D．150° 答案：B 解析：设中间角为角B，由余弦定理，得cos B＝＝＝，所以B＝60°，所以最大角与最小角的和为180°－B＝180°－60°＝120°.故选B． 3．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC一定是(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 答案：C 解析：由余弦定理有c＝b×，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形．故选C． 4．在△ABC中，若c2＝a2＋b2＋ab，则C＝________． 答案：120° 解析：由c2＝a2＋b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－ab，cos C＝＝＝－，由于0°<C<180°，所以C＝120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$