9.1.1 正弦定理-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义教师用书（人教B版2019）

9.1　正弦定理与余弦定理 9.1.1　正弦定理 知识层面 1．掌握正弦定理的内容及其证明方法．　2．理解正弦定理及其变形的结构形式，并能用正弦定理解决三角形度量和边角转化问题，会判断三角形的形状．　3．能根据正弦定理确定三角形解的个数． 素养层面 通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理核心素养；借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算核心素养． 问题1．如图所示，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？ 提示：＝＝＝c. 问题2．在一般的△ABC中，＝＝还成立吗？教材是如何说明的？你还有其他方法吗？ 提示：在一般的△ABC中，＝＝仍然成立，教材借助直角三角形和三角函数的定义来证明．还可以借助外接圆或向量的数量积来证明． 知识点一　三角形的面积公式 一般地，若记△ABC的面积为S，则S＝ab_sin_C＝ac_sin_B＝bc_sin_A． 知识点二　正弦定理 语言表述 在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等 符号表示 ＝＝ 作用 实现三角形边与角的互化 [微提醒]　在△ABC中，设A，B所对的边分别为a，b，由正弦函数在区间上单调递增可知： (1)当A，B都为锐角时，若A>B，则sin A>sin B，由正弦定理＝知a>b； (2)当A，B中一个为锐角，另一个为钝角时，不妨设A>B，由于A＋B<π，即B<π－A，所以sin B<sin (π－A)＝sin A，即sin A>sin B，由正弦定理＝知a>b； (3)当A，B中一个为直角，另一个为锐角时，不妨设A为直角，则A>B，所以sin A>sin B，由正弦定理＝知a>b. 综上可知，在△ABC中，若A>B，则a>b. 知识点三　解三角形 习惯上，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形． 学生用书第2页 [微提醒]　利用正弦定理解三角形时，经常用到下列结论： (1)A＋B＋C＝π. (2)sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C． (3)在△ABC中，a＋b>c，|a－b|<c；A>B⇔cos A<cos B；a>b⇔A>B⇔sin A>sin B；sin A＋sin B>sin C． (4)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，A＋C>，B＋C>；A＋B>⇔A>－B⇔sin A>cos B，cos A<sin B． 1．在△ABC中，已知cos A＝，B＝，BC＝，则AC＝(　　) A． B． C． D．6 答案：A 解析：因为cos A＝，所以sin A＝＝，再由正弦定理可得：＝，即＝⇒AC＝，故选A． 2．在△ABC中，已知BC＝6，AC＝4，sin A＝，则角B＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由正弦定理得＝，即＝，可得sin B＝，因为BC＝6>AC＝4，所以A>B，即B为锐角，所以B＝.故选A． 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　) A．1∶∶ B．1∶∶2 C．∶∶2 D．1∶2∶3 答案：B 解析：在△ABC中，若A∶B∶C＝1∶2∶3，由A＋B＋C＝π，可得A＝，B＝，C＝，所以sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2，由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶∶2．故选B． 4．(多选)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　) A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60° C．a＝7，b＝5，A＝80° D．a＝14，b＝16，A＝45° 答案：BD 解析：对于A，因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，又b＝10，所以由正弦定理＝＝，得a＝＝，c＝，此时三角形只有一解，不合题意；对于B，由正弦定理可知，＝，即sin B<sin C<1，所以角C有两解，符合题意；对于C，因为a＝7，b＝5，A＝80°，所以由正弦定理＝，得sin B＝，又b<a，所以B<A＝80°，所以B只有一解，不合题意；对于D，因为a＝14，b＝16，A＝45°，所以由正弦定理＝，得sin B＝＝>，因为a<b，所以45°＝A<B，所以B有两解，符合题意．故选BD． 5．在△ABC中，满足＝的三角形是________三角形． 答案：等腰 解析：因为＝，即acos B＝bcos A，所以由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝0，即sin (A－B)＝0，因为A，B为△ABC的内角，所以A＝B，所以△ABC是等腰三角形． 题型一　已知两角与任意一边解三角形 例1　(1)(一题多解)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b. (2)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. 点拨：(1)思路一　―→―→ 思路二　―→ (2)―→ 解：(1)方法一　因为A＝45°，C＝30°， 所以B＝180°－(A＋C)＝105°。 由＝得a＝＝＝10 . 因为sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°) ＝sin 30° cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， 所以b＝＝20×＝5＋5. 方法二　设△ABC外接圆的半径为R， 则2R＝＝＝20． 易知B＝180°－(A＋C)＝105°， 所以a＝2R sin A＝20×sin 45°＝10 ， b＝2R sin B＝20×sin 105°＝5 ＋5 . (2)A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°. 由正弦定理＝， 得b＝＝ ＝4. 由＝，得c＝＝ ＝ ＝8×(sin 30°＋cos 30°)＝4(＋1). 已知两角与任意一边解三角形的方法步骤 第一步：由三角形内角和定理A＋B＋C＝180°可以计算出三角形的第三个角； 第二步：由正弦定理＝＝可计算出三角形的另两边． 对点练1．(1)在△ABC中，sin A＝，cos B＝，a＝10，则边长b＝(　　) A． B． C． D． (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，A＝60°，B＝45°，则b的长为(　　) A． B．1 C． D．2 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)因为sin A＝，cos B＝，a＝10，0<B<，所以sin B＝＝，由正弦定理＝，可得＝，解得边长b＝.故选C． (2)因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，A＝60°，B＝45°，所以由正弦定理＝，得b＝＝＝，故选C． 题型二　已知两边和其中一边的对角解三角形 例2　在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c.根据下列条件，解三角形： a＝，b＝，B＝45°. 学生用书第3页 点拨：先根据“大边对大角”“正弦函数的有界性”对条件进行判断，再求解． 解：由正弦定理得＝，即＝， 所以sin A＝. 由a>b可得A＝60°或A＝120°. 当A＝60°时，C＝75°， sin 75°＝sin (45°＋30°)＝sin 45° cos 30°＋cos 45°·sin 30°＝. 由正弦定理得＝， 所以c＝＝. 当A＝120°时，C＝15°， sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°·cos 30°－cos 45°·sin 30°＝. 由正弦定理得＝， 所以c＝＝. 综上，A＝60°，C＝75°，c＝，或A＝120°，C＝15°，c＝. 已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的步骤 对点练2．在△ABC中，根据下列条件解三角形： (1)c＝，A＝45°，a＝2； (2)c＝，A＝45°，a＝2； (3)c＝3，A＝45°，a＝2． 解：(1)由正弦定理得，＝， 即＝，解得sin C＝， 因为c>a， 所以C＝60°或120°， 当C＝60°时，B＝75°，b＝＋1； 当C＝120°时，B＝15°，b＝－1． (2)由正弦定理得，＝， 即＝，解得sin C＝， 因为c<a， 所以C＝30°，则B＝105°，b＝＋1． (3)由正弦定理得：＝， 即＝，解得sin C＝>1， 所以三角形无解． 题型三　正弦定理的应用——判断三角形的形状 例3　在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． 点拨： ―→―→ 解：方法一　因为sin2A＝sin2B＋sin2C，根据正弦定理得a2＝b2＋c2， 所以A是直角，B＋C＝90°， 所以2sinB cos C＝2sin B cos (90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1， 所以sin B＝. 因为0°<B<90°，所以B＝45°，C＝45°， 故△ABC是等腰直角三角形． 方法二　因为sin2A＝sin2B＋sin2C，根据正弦定理得a2＝b2＋c2，所以A是直角． 因为A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C， 所以sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C ＝2sin Bcos C， 所以sin (B－C)＝0． 又－90°<B－C<90°，所以B－C＝0°，即B＝C， 故△ABC是等腰直角三角形． 判断三角形形状的常用方法 1．化边为角：先利用正弦定理将题目中的条件化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状(注意：若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝). 2．化角为边：利用正弦定理将题目中的条件化角为边，得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状． 对点练3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 答案：B 解析：因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin A·sin A，即sin (B＋C)＝sin Asin A，所以sin A＝sin Asin A，因为sin A≠0，所以sin A＝1，则A＝.则△ABC是直角三角形．故选B． 题型四　三角形的面积 例4　(一题多解)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________． 点拨：思路一　先求出角度，再利用三角形的面积公式S＝ab sin C求解． 思路二　先判断三角形的类型，再利用三角形的面积公式S＝×底×高求解． 答案：2 解析：方法一　在△ABC中，根据正弦定理，得＝，即＝，解得sin B＝1．因为0°<B<120°，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2. 方法二　在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1．因为0°<B<120°，所以B＝90°，所以AB＝＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝·AB·BC＝2. 与三角形面积有关的公式 1．S＝aha＝bhb＝chc(其中ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高). 2．S△ABC＝r(a＋b＋c)＝rl(其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长). 学生用书第4页 3．S△ABC＝2R2sin A sin B sin C＝(其中R为△ABC外接圆的半径). 4．海伦公式：S△ABC＝(其中p＝(a＋b＋c)). 对点练4．若△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于(　　) A． B． C．2 D．3 答案：C 解析：因为△ABC的面积为，BC＝2，C＝60°，所以三角形的面积S＝AC×BCsin C＝，即AC×2×＝，解得AC＝2，则BC＝AC＝2，C＝60°，所以三角形ABC为等边三角形，所以AB＝2．故选C． 易错点1　解三角形时忽略隐含条件致误 例1　在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为(　　) A．30° B．45° C．135° D．45°或135° 正解：根据正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.又BC>AC，所以A>B，所以角B的大小为45°.故选B． 答案：B 易错探因：忽略了三角形中大边对大角这一隐含条件． 误区警示：已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，由于三角形内角的正弦都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，因此需要由题中的隐含条件来判断角的情况． 易错点2　忽略角的取值范围 例2　在△ABC中，若C＝3B，则的取值范围为(　　) A．(0，3) B．(1，3) C．(1，) D．(，3) 正解：由正弦定理可得，＝＝＝＝＝cos 2B＋2cos2B＝4cos2B－1．又A＋B＋C＝180°，C＝3B，所以0°<B<45°，所以<cosB<1，所以1<4cos2B－1<3，即1<<3．故选B． 答案：B 易错探因：没有考虑角B的取值范围，默认0°<B<180°. 误区警示：解三角形时要注意三角形的内角为正角且必须满足三角形内角和定理，这是题目中的隐含条件，要时刻关注． 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：根据正弦定理，得＝＝. 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若A＝60°，a＝，则△ABC外接圆半径等于(　　) A．2 B． C． D．1 答案：D 解析：设△ABC外接圆半径为R，根据正弦定理可得2R＝＝＝＝2，所以R＝1，即△ABC外接圆半径为1．故选D． 3．已知在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　 ) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．解的个数不确定 答案：C 解析：由正弦定理和已知条件，得＝，所以sin B＝>1，所以此三角形无解．故选C． 4．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边．若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝________，△ABC的面积为________． 答案：2　＋1 解析：C＝180°－105°－45°＝30°.根据正弦定理＝，可知＝，解得c＝2．故△ABC的面积为S＝bc sin A＝×2×2×sin 105°＝2×＝＋1． 学科网（北京）股份有限公司 $$