7 8.2.3 倍角公式-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

8.2.3　倍角公式 　 第八章　8.2　三角恒等变换 知识目标 1.理解倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的 内在联系．　 2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进 行简单的恒等变换. 素养目标 通过倍角公式的推导和应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.请同学们写出两角和的正弦、余弦、正切公式． 问题导思 问题2.在上述公式中，当α＝β时，你能推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； 问题3.结合同角间的三角函数的平方关系，你能将cos 2α的式子用只含有sin α或cos α的形式表示吗？ 提示：cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－sin2α－sin2α＝1－2sin2α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1. 知识点一　二倍角公式 新知构建 记法 公式 推导 S2α sin 2α＝_____________________ S(α＋β) S2α C2α cos 2α＝________________ C(α＋β) C2α cos 2α＝____________ cos 2α＝____________ 利用___________________ 消去sin2α或cos2α T2α tan 2α＝ T(α＋β) T2α 2sin αcos α cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1 cos2α＋sin2α＝1 知识点二　二倍角公式的变形 1．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α； 1－cos 2α＝2sin2α. [微提醒]　细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是 的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用． 微提醒 自主检测 √ √ √ √ 返回 合作探究 返回 题型一　二倍角的正用、逆用 √ 点拨：sin 2θ＝2sin θcos θ. (2)计算：cos 20°cos 40°cos 80°＝________； 点拨：构造二倍角的正弦公式，分母视为1，分子分母同时乘以2 sin 20°. 点拨：运用二倍角的正切化简求值． 规律方法 应用二倍角公式化简(求值)的策略 1．化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．　　 2．公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α， 对点练1.求下列各式的值： (1)2sin 67°30′cos 67°30′； (4)1－2sin2 75°. 题型二　根据条件求值 √ 点拨： √ 点拨：将已知式平方可得sin 2α，结合α为第二象限角可求cos α－sin α，从而利用cos 2α＝cos2α－sin2 α求值． 规律方法 三角函数求值问题的一般思路 1．一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形；将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 2．注意几种公式的灵活应用，如： ②求sin 2α的值． √ 点拨：先由二倍角公式及两角和公式展开， 再化切为弦求值． (2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B． 点拨：证明时由繁入简，即从等式左边入手，利用二倍角公式的变形公式化简，证明． 所以等式成立． 规律方法 三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出；(2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低． 2．证明三角恒等式的方法：(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；(2)比较法．左边－右边＝0，左边/右边＝1；(3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　　 ＝1. 微专题(四)　规律方法 合理配凑、巧用倍角公式求解 典例 返回 随堂演练 返回 1．下列各式中，不一定成立的是 A．sin 8α＝2sin 4αcos 4α B．1－cos 2α＝2sin2α C．(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α 由二倍角公式可知A、B、C项均一定成立，D项中的等式不一定成立．故选D． √ √ √ √ 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求下列各式的值： (1)sin 112°30′cos 67°30′；(2分) 解：原式＝sin 67°30′cos 67°30′ (2)sin215°－cos215°；(2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)1－2cos2 750°.(3分) 解：原式＝1－2cos2(720°＋30°) ＝1－2cos2 30°＝－(2cos2 30°－1) ＝－cos 60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以左边＝右边，即证． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求函数f(x)的最小正周期；(4分) 解：函数f(x)＝cos4 x－2sin xcos x－sin4 x＋m ＝(cos2 x＋sin2 x)(cos2 x－sin2 x)－sin 2x＋m ＝cos 2x－sin 2x＋m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求使f(x)≥0成立时自变量x的集合．(6分) 因为f(x)的最大值为1，所以m＋1＝1，解得m＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)求tan x的值；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 原式＝＝＝＝＝. 2 sin αcos α＝sin 2α，cos α＝， cos2α－sin2α＝cos 2α，＝tan 2α. 解：cos2－sin2＝cos＝cos＝. 例2　 (1)若＝，则tan 2α＝ A．－ B． C．－ D． (1)sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； (2)cos 2x＝sin＝sin ＝2sincos.　　 ＝×＋×＝. 证明：左边＝－＝ [名师点评]　本题体现了对二倍角公式的巧用，通过分子、分母同乘以24sin 后，出现了“多米诺”链接效应，连续逆用二倍角正弦公式后获得结果，具体计算时要注意“2”的次方幂，不要数错．一般地，sin 2nα＝2·sin 2n－1α·cos 2n－1α⇒cos αcos 2αcos 22α…cos 2n－1α＝. 2．(新角度)将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数，该值恰好等于2sin 18°，则cos 36°＝ A．－2 B． C． D． 3．(多选)下列选项中，值为的是 A．cos72°cos36° B．sinsin C．cos20°cos 40°cos80° D．－cos215° 3．若tan α＝7，则sin 2α＝ A． B． C． D． － 因为sin ＋cos ＝，所以＝.即1＋2sin cos ＝，所以sin θ＝，所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝. － 因为cos＝，所以sin＝sin＝－cos＝－＝－＝－. 所以sin＋m∈[m－，m＋1]， $$