6 8.2.2 两角和与差的正弦、正切-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

8.2.2　两角和与差的正弦、正切 　 第八章　8.2　三角恒等变换 知识目标 1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦 公式、两角和的正弦公式．　 2.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差 的正切公式．　 3.能利用两角和与差的正弦、正切公式及变形解决简单的化简、 求值问题. 素养目标 通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式、正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养；借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式、正切公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.(1)由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？ 问题导思 (2)用类比的方法，由sin(α＋β)能推导出sin(α－β)吗？ 提示：sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 问题2.你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 知识点一　两角和与差的正弦公式 新知构建 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝_____________________________ α，β∈R 两角差 的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝_____________________________ α，β∈R sin αcos β＋cos αsin β sin αcos β－cos αsin β 应用两角和与差的正弦公式应注意以下几点 (1)和差角的正弦公式不能按分配律展开，即 sin(α＋β)≠sin α＋sin β， 微提醒 知识点二　两角和与差的正切公式 公式T(α±β)的结构特征和符号规律 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2) 微提醒 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 自主检测 √ √ √ √ 5．在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是_______． 返回 合作探究 返回 题型一　利用两角和差公式求三角函数式的值 例1　 求下列各式的值： 点拨：观察式子不难发现47°＝17°＋30°，然后结合两角和的正弦公式即可求解． (2)tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°； 点拨：观察式子我们不难发现45°＝12°＋33°，然后逆用两角和的正切公式即可求解． 所以tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°， 所以tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1. 点拨：化切为弦，再逆用两角差的正弦公式． (4)(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)． 点拨：先由式子(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)展开可得1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°，结合第(2)小题的结构特征我们即可快速求解． 解：(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°·tan 24°. tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1， 所以(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2， 同理可得(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2， 所以原式＝2×2＝4. 规律方法 1．解给角求值问题的基本思路 给角求值问题中，所给角往往都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： (1)逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值． (2)化为正、负相消的项，消去求值． (3)分子、分母出现公约数时进行约分求值． 规律方法 2．解决三角函数求值的四个切入点 (1)观察角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角． (2)观察函数特点，向同名函数转化：弦切互化，通常是切化弦． (3)利用辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝ sin(θ＋φ)，其中tan φ＝ . (4)观察结构特点，从整体出发，利用公式变形，并能正用、逆用、交替使用这些公式．　　 对点练1.求值： (1)sin 25°sin 215°＋sin 65°cos 35°； 解：原式＝sin 25°(－sin 35°)＋cos 25°·cos 35° ＝cos 25°cos 35°－sin 25°sin 35° ＝cos(25°＋35°) 题型二　给值求值(给条件求值) 点拨：由cos θ的值及θ的取值范围求出tan θ. 点拨：由α，β的范围，求α－β，α＋β的三角函数值代入sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]求值． 规律方法 解决给条件求值问题的基本思路及常用技巧 1．根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角和拼角技巧、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的三角函数公式进行变形，化未知为已知，从而达到求解的目的． 2．当角之间符合以下规律： ＋(α－β)时，要配合使用诱导公式． 3．在给值求值的问题中要注意隐含条件，尤其是角的取值范围． 题型三　给值求角 (2)由α，β的范围，求α＋β的范围，再求cos(α＋β)． (3)β＝(α＋β)－α. 规律方法 解决给值(式)求角问题的方法 解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定．当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值；当所求角范围是 时，选取求正弦值．　　 所以sin β＝sin(α＋β－α) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α 返回 随堂演练 返回 √ √ √ 返回 课时测评 返回 sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.故选D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．sin 67°cos 37°－cos 67°sin 37°＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求下列各式的值： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)sin 35°cos 25°＋sin 55°cos 65°；(3分) 解：sin 55°＝cos(90°－55°)＝cos 35°， cos 65°＝sin(90°－65°)＝sin 25°， 所以sin 35°cos 25°＋sin 55°cos 65° ＝sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25° ＝sin(35°＋25°)＝sin 60°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)cos 28°cos 73°＋cos 62°cos 17°.(3分) 解：cos 62°＝cos(90°－28°)＝sin 28°， cos 17°＝cos(90°－73°)＝sin 73°， 所以cos 28°cos 73°＋cos 62°cos 17° ＝cos 28°cos 73°＋sin 28°sin 73° ＝cos(73°－28°)＝cos 45°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 sin2α＋cos2 α＝1②， 因为α＋β∈(0，π)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故等式成立． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 名称 公式 简记符号 使用条件 两角和 的正切 tan(α＋β)＝______________ T(α＋β) α，β，α＋β≠ kπ＋(k∈Z) 两角差 的正切 tan(α－β)＝_______________ T(α－β) α，β，α－β≠ kπ＋(k∈Z) ＝－. ＋＝＋(α＋β)，＋ ＝ 例3　 已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，求角β的值． 所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝×－×＝. 或 因为β∈，所以β＝. 又tan 2β＝＝＝， 4.＝________． － 4．等于 A． B． C．tan 6° D． 5．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于 A． B．－ C． D．－ －7或－ 由sin(α＋π)＝－得sin α＝，因为sin2α＋cos2α＝1，得cos α＝±，则tan α＝±，则tan＝，将tan α＝±代入，知tan＝－7或tan＝－. 对于A，2(sin 35°cos 25°－cos 35°sin 25°)＝2sin(35°－25°)＝2sin 10°≠，故A错误；对于B，2(cos 35°cos 5°＋sin 35°sin 5°)＝2cos(35°－5°)＝2cos 30°＝2×＝，故B正确；对于C，由于tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)[1－tan 25°tan 35°]＋tan 25°tan 35°＝tan 60°(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝，故C正确；对于D，＝×＝×tan ＝，故D错误．故选BC． －π $$