5 8.2.1 两角和与差的余弦-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

8.2.1　两角和与差的余弦 　 第八章　8.2　三角恒等变换 知识目标 1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一 步体会向量方法的作用．　 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．　 3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值. 素养目标 通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养；借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 观察下表中的数据： 问题导思 问题．从中你能发现cos(α－β)，cos(α＋β)与cos α，cos β，sin α，sin β间的内在关系吗？ 提示：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 知识点一　两角差的余弦公式 对于任意角α，β有cos(α－β)＝___________________________． 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系，称为两角差的余弦公式，简记为Cα－β. 新知构建 cos αcosβ＋sinα sinβ (1)有了公式Cα－β，我们只要知道cos α，cos β，sin α，sin β的值，就可以求得cos(α－β)的值． (2)cos(α－β)＝cos α－cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立，例如，当α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. 微提醒 知识点二　两角和的余弦公式 对于任意α、β有cos(α＋β)＝______________________________． 此公式即为两角和的余弦公式，记为Cα＋β. cos αcos β－sin αsin β 两角和与差的余弦公式的结构特征 比较公式Cα＋β和Cα－β，可得二者的结构特征： 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”． (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后两项之间用“－”，两角差的余弦展开后两项之间用“＋”． 微提醒 自主检测 √ cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝ .故选B． √ cos 50°cos 10°－sin 50°sin 170°＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°＝cos 60°＝ .故选C． √ cos 20°cos 80°＋sin 160°cos 10°＝cos 20°cos 80°＋sin 20°sin 80°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝ .故选A． √ 返回 合作探究 返回 题型一　运用公式化简求值 例1　 化简求值： (1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； 点拨：由117°＝180°－63°，57°＝90°－33°，利用诱导公式化成同角． (2)cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β. 点拨：利用公式求值． 解：原式＝cos[(α－β)＋β]＝cos α. 规律方法 两角和与差的余弦公式常见题型及解法 1．两特殊角之和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解． 2．含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解． 3．求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解．　　 对点练1.求值： (1)cos 75°＝________； (2)计算cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝ ________． 因为cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝ . 题型二　给值求值问题 √ 点拨：由定义可求cos α，由cos β可求sin β再利用两角差的余弦公式求cos(α－β)． 规律方法 给值求值的解题策略 1．利用两角和与差的余弦公式进行条件求值时，关键是“变式”或“变角”构造公式的结构形式． 2．常用的变角技巧有α＝(α＋β)－β，β＝(α＋β)－α，α＝(α－β)＋β，β＝α－(α－β)等．　　 √ 题型三　由三角函数值求角 点拨：(1)β＝(α＋β)－α. (2)由cos α，cos(α＋β)，求sin α，sin(α＋β)注意角的取值范围． 规律方法 给条件求值问题的解题思路和常用技巧 所谓给条件求值，本质上是寻求差异，包括角的差异和函数名的差异，因而三角变换求值本质上是差异分析，不妨称之为差异分析法．即在探求过程中不断寻求角的差异、函数名的差异，并运用角的变换和函数名的变换使得差异趋同进而解决问题． 1．解给值求值型问题的一般思路是：先观察公式中的量，了解哪些是已知的，哪些是待求的，再利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系式求出待求值，注意根据角的终边所在的象限确定三角函数值的符号． 规律方法 2．解给值求角型问题一般分下列三个步骤：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围；③根据范围确定角． 3．正用、逆用两角和与差的余弦公式时，常用到角的变换和特殊角的三角函数值与三角函数的变换．确定求所求角的哪种三角函数值是有规律可循的：一般地，若角的范围是 ， ，选正弦、余弦函数皆可；若角的范围是 ，最好选正弦函数；若角的范围是(0，π)，最好选余弦函数．　　 √ 易错点　忽视角的范围致误 易错精析 典例 因为B为钝角，所以A＋B为钝角． 易错探因：本题易忽略角的范围而得到下面的错解： 因为cos A＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B， 误区警示：处理三角函数给值求值问题时，应首先确定角的范围，注意对题中隐含条件的挖掘．特别在三角形中，A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)． 返回 随堂演练 返回 1．cos 40°＝ A．cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B．cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C．sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D．cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° cos 40°＝cos(30°＋10°)＝cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°.故选A． √ 2．化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为 A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β) C．cos α D．cos β 原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.故选C． √ √ 返回 课时测评 返回 1．cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°的值为 cos 20°cos 10°－sin 20°sin 10°＝cos(20°＋10°)＝cos 30°＝ .故选A． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．cos 27°cos 57°－sin 27°cos 147°＝__________． 原式＝cos 27°cos 57°－sin 27°·cos(180°－33°)＝cos 27°cos 57°＋sin 27°·cos 33°＝cos 27°cos 57°＋sin 27°sin 57°＝cos(57°－27°)＝cos 30°＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以cos β＝cos(α＋β－α) ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin (α－β) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(多选)下列满足sin αsin β＝－cos αcos β的有 A．α＝β＝90° B．α＝－18°，β＝72° C．α＝130°，β＝40° D．α＝140°，β＝40° √ √ 由sin αsin β＝－cos αcos β可得cos (α－β)＝0，因此α－β＝k·180°＋90°，k∈Z，B、C项符合． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 向 量 的 数 量 积 与 三 角 恒 等 变 换 返回 cos (60°－30°) cos (60°＋30°) cos 60° cos 30° sin 60° sin 30° 0 cos (120°－60°) cos (120°＋60°) cos 120° cos 60° sin 120° sin 60° －1 － － (2)已知cos＋sin α＝，求cos＝______． 又β∈， 所以β＝. 因为cos θ＝－，且θ是第三象限的角，所以sin θ＝－＝－，所以cos＝cos θcos －sin θsin ＝－×－×＝. 所以cos(α＋β)＝＝＝， α＝0，β＝(答案不唯一) 14.(5分)(新情境)古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前417－公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数，，，…，如图所示，则cos ∠BAD＝ A． B． C． D． $$