10 7.3.3 余弦函数的性质与图象-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.3.3　余弦函数的性质与图象 　 第七章　7.3　三角函数的性质与图象 知识目标 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的 图象．　 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及 最值． 素养目标 通过余弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养；借助余弦函数图象和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径． 问题导思 问题．(1)函数y＝cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它的什么性质？ 提示：单调性． (2)过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ 提示：最值；波峰，波谷． 知识点一　余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有________________________与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 新知构建 唯一确定的余弦cosx 知识点二　余弦函数的性质 定义域、 值域 定义域____，值域____________ 当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝___ 当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝_____ 奇偶性 偶函数 周期 _____ 单调性 单调增区间 _________________________ 单调减区间 [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 零点 __________________ R [－1，1] 1 －1 2π [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z (1)由诱导公式cos(－x)＝cos x可知余弦函数为偶函数，反映在图象上就是余弦曲线关于y轴对称． (2)余弦函数y＝cos x的值域为[－1，1]，它表明余弦函数y＝cos x的图象介于直线y＝1和y＝－1之间． (3)由cos(2kπ＋x)＝cos x(k∈Z)知2kπ(k∈Z)都是余弦函数y＝cos x的周期，2π是最小正周期． 微提醒 知识点三　余弦函数的图象 1．图象 2．对称性：对称轴为________，对称中心为_________________． x＝kπ 余弦函数的图象可以看作正弦函数的图象向左平移 个单位长度． 微提醒 自主检测 √ 2．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为 √ 3．已知m是函数f(x)＝cos x图象的一个对称中心的横坐标，则f(m)＝ A．－1 B．0 C． D．1 √ 4．函数y＝2cos x－1的最大值、最小值分别是 A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－1 因为－1≤cos x≤1，所以当cos x＝1时，函数取得最大值为2－1＝1，当cos x＝－1时，函数取得最小值为－2－1＝－3，故最大值、最小值分别为1，－3.故选B． √ b<a<c 返回 合作探究 返回 题型一　图象问题 角度1　作图 例1　 作出函数y＝3＋2cos x在闭区间[0，2π]上的图象，并求函数y＝3＋2cos x在R上的值域． 点拨： 解：方法一　列表、描点得函数y＝3＋2cos x在闭区间[0，2π]上的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，函数y＝3＋2cos x在[0，2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π， 故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1，5]． 方法二　先利用五点法作出函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图中虚线所示，然后将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得图象向上平移3个单位长度就得到函数y＝3＋2cos x，x∈[0，2π]的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，函数y＝3＋2cos x在[0，2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π， 故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1，5]． 角度2　图象变换 点拨：先将正弦函数变换为余弦函数再进行平移变换． √ 规律方法 作余弦(型)函数图象的方法 1．(1)五点法作图；(2)图象变换法；(3)平移坐标轴法． 2．图象变换 当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换．在变换时要注意两点：一是平移变换的规则，“左加右减”“上加下减”；二是对于先伸缩后平移变换中，要注意由y1＝cos ωx(ω≠0)的图象得到y2＝cos (ωx＋φ)的图象时，因为y2＝cos ，所以应该将y1＝cos ωx的图象向左 个单位长度，而不是平移|φ|个单位长度．　　 对点练1.把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是 √ 题型二　单调性与最值 角度1　求单调区间 √ 点拨：当x的系数为负时要先转化为正，再利用基本函数y＝cos x的单调性求解． 规律方法 求形如y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间的方法 求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，先把“ωx＋φ”视为一个整体，再根据余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间列出相应不等式组，最后解出x即可得到该函数的单调递增(减)区间． [注意]　若ω＜0，先用诱导公式化为ω＞0；求复合函数的单调区间，必须在定义域内求解；当A＜0时，利用－f(x)的单调性与f(x)的单调性相反得出．　　 角度2　求值域(最值) 例4　 求下列函数的值域： 点拨：整体代换法． (2)y＝－2cos x＋3； 点拨：利用－1≤cos x≤1求解． 解：因为－1≤cos x≤1， 所以当cos x＝1时，y＝－2cos x＋3取得最小值， 此时ymin＝1， 当cos x＝－1时，y＝－2cos x＋3取得最大值， 此时ymax＝5. 故y＝－2cos x＋3的值域为[1，5]． 点拨：利用二次函数的性质求解． 因为y＝cos2 x－4cos x＋1＝(cos x－2)2－3， 因为－1≤cos x≤1，所以1≤2＋cos x≤3， 点拨：先分离常数或反解出cos x，再利用－1≤cos x≤1得到y的范围． 即(y＋1)cos x＝2－2y， 规律方法 与余弦型函数相关的值域(最值)问题的求法 1．对于y＝acos x＋b形式的函数，借助余弦函数的有界性|cos x|≤1求解． 2．对于y＝Acos(ωx＋φ)＋k(Aω≠0)形式的函数，采用整体代换法求解，令ωx＋φ＝t，借助y＝cos t图象及性质求解，注意x的取值范围对t的影响． 3．对于y＝ 形式的函数，采用分离常数或反解出cos x，再利用余弦函数的有界性求解． 4．对于y＝acos2 x＋bcos x＋c(a≠0)形式的函数，利用二次函数的有关知识求解．　　 对点练2.(1)cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是_________________ __________． 0<cos 23°＝sin 67°<sin 68°，cos 97°<0， 故有cos 97°<cos 23°<sin 68°. cos 97°<cos 23° <sin 68° (2)若函数y＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－7，则y＝3＋absin x的最大值为________． 15 所以y＝3＋absin x＝3±12sin x，其最大值为15. 题型三　奇偶性与周期性 角度1　奇偶性问题 点拨：先由图象平移得到新的函数解析式，再利用奇偶性求φ. 规律方法 解决奇偶性问题的两个关键点：一是定义域关于原点对称；二是若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．在这里需要注意以下两点． (1)y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，即它可以化为y＝±Acos ωx，从而φ＝kπ，k∈Z； (2)y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，即它可以化为y＝±Asin ωx，从而φ＝＋kπ，k∈Z.　　 角度2　周期性问题 2或3 (2)若函数y＝cos ωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是________． 98π 点拨：至少出现50次最大值，故至少含有49个周期，从而可求ω的范围，进而得到ω的最小值． 规律方法 余弦型函数的周期性问题的解法 函数周期性问题的题型主要有以下几种情况及相应求解方法：①若求y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期，可以套用公式T＝ 求解；②若函数解析式　　 中含有绝对值，则可用图象法求解；③其他周期性问题，比如利用条件判断在某个区间内至少或至多含有多少个周期，此类问题可以利用数形结合的方法． 对点练3.(1)下列函数中为偶函数的是 A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 根据偶函数的定义f(x)＝f(－x)可得，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B． √ (2)下列函数中最小正周期为π的偶函数是 因为A中函数是奇函数，B、C中函数的周期不是π，只有D符合题目要求．故选D． √ 返回 随堂演练 返回 1．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是 √ √ √ 返回 课时测评 返回 1．函数y＝|cos x|－1的最小正周期是 A．2kπ(k∈Z) B．3π C．π D．2π 因为函数y＝|cos x|－1的周期同函数y＝|cos x|的周期一致，由函数y＝|cos x|的图象知其最小正周期为π，所以y＝|cos x|－1的最小正周期也为π.故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2．在同一平面直角坐标系xOy中，函数y＝cos x与y＝－cos x的图象之间的关系是 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝－x对称 √ 由于当自变量的值相同时，它们对应的函数值互为相反数，故两函数图象关于x轴对称．故选A． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A．有相同的对称轴但无相同的对称中心 B．有相同的对称中心但无相同的对称轴 C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [－1，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8．比较cos 0，cos ，cos 30°，cos 1，cos π的大小为________________ ____________． >cos 1>cos π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当a>0时，值域为：[－a＋b，2a＋b]＝[－5，1]， 当a<0时，值域为：[2a＋b，－a＋b]＝[－5，1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求ω和φ的值；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；(5分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 图象如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 画出函数y＝cos x的图象，如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14．(17分)某冲浪集训队在海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y(米)是随着一天的时间t(0≤t≤24，单位：小时)呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如下表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5 (1)根据表中近似数据画出散点图．观察散点图，从①y＝Asin(ωt＋φ)，②y＝Acos(ωt＋φ)＋b，③y＝－Asin ωt＋b(A>0，ω>0，－π<φ<0)中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(7分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解：根据表中近似数据画出散点图，如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)为保证队员安全，规定在一天中5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据(1)中选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全？(10分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回 所以12k－1≤t≤12k＋7， 又因为5≤t≤18，所以5≤t≤7，或11≤t≤18， 所以这一天安排早上5点至7点以及11点至18点组织训练，能确保集训队员的安全. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 ＋kπ，k∈Z ，k∈Z 因为1 rad＝≈57°，所以a＝cos 4≈cos 228°＝cos 132°，b＝cos ＝cos 144°，c＝sin ＝sin＝cos ＝cos 120°，因为y＝cos x在0°<x<180°上单调递减，144°>132°>120°，所以cos 144°<cos 132°<cos 120°，即b<a<c. x 0 π 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 或向右 平移|| 将函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的解析式为y＝cos x＋1；再将y＝cos x＋1的图象向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度，得到的图象对应的解析式为y＝cos(x＋1)．因为函数y＝cos (x＋1)的图象可由函数y＝cos x的图象向左平移1个单位长度而得，所以函数y＝cos(x＋1)的图像经过点和，且在区间上的函数值小于0，故A符合题意． 7．函数y＝cos的单调递增区间是________________________． ，k∈Z cos 0>cos >cos 30° 10．(15分)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜0)的最小正周期为π.且f ＝. 因为f ＝， 即f ＝cos 2x－ － 0 π π x 0 π π π f(x) 1 0 －1 0 $$