7 7.3.1 正弦函数的性质与图象-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.3.1　正弦函数的性质与图象 　 第七章　7.3　三角函数的性质与图象 知识目标 1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小 正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．　 2.能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图象 素养目标 1.借助正弦函数图象和性质的应用，培养学生的直观想象、逻 辑推理及数学运算核心素养．　 2.通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心 素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)? 问题导思 提示：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)． 问题2.我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示： 如图，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示)．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象． 知识点一　正弦函数的性质 新知构建 R [－1，1] 1 －1 　 函数 性质 　 y＝sin x 奇偶性 ____函数，图象关于__________对称 周期性 周期函数，周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期为_____ 单调性 在区间_________________________上单调递增，在________________ ______________上单调递减 零点 __________ 奇 原点中心 2π (k∈Z) kπ(k∈Z) (1)如果y＝sin x的定义域不是全体实数，那么它的值域就可能不是[－1，1]．如y＝sin x，x∈ ，此时y∈[0，1]． (2)正弦函数在其定义域上不是单调的． (3)若函数y＝sin x的定义域不是R，则一定要在给定定义域内结合函数的单调性求其值域． 微提醒 知识点二　正弦函数的图象 1．正弦函数的图象 正弦函数y＝sin x的图象如图所示． 一般地，y＝sin x的函数图象称为正弦曲线． 作正弦函数图象时，函数自变量要用弧度制，以保证自变量与函数值都为实数． (2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴为x＝ ＋kπ(k∈Z)；正弦曲线也是中心对称图形，且对称中心为(kπ，0)(k∈Z)． (3)正弦曲线相邻两条对称轴之间的距离为π，相邻 两个对称中心的距离也为π，对称中心到其相邻对称轴的距离为 . 微提醒 2．五点法作图 从图中可以看出，以下五个点在确定y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状时起 着关键作用：_________________________________________． 这五个点描出后，y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不高的情况下，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后再描点作图，这种作图方法称为五点法． 对y＝sin x，x∈[0，2π]的图象形状起关键作用的五个点分为两类： (1)图象与x轴的交点：(0，0)，(π，0)，(2π，0)； 微提醒 1．(多选)以下对正弦函数y＝sin x的图象描述正确的是 A．x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线y＝1与直线y＝－1之间 C．关于x轴对称 D．与y轴仅有一个交点 自主检测 由正弦函数y＝sin x在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)时的图象可知，A、B、D正确；C项不正确． √ √ √ 2．用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不是关键点 √ 3．函数y＝1－sin x(x∈[0，2π])的大致图象是图中的 按五个关键点列表： √ 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示： 故选C． 4．函数y＝a|sin x|＋2(a>0)的单调递增区间是 在坐标系中大致画出函数y＝a|sin x|＋2(a>0)的图象： 根据图象得到函数的一个增区间是 .故选B． √ 5．函数y＝2－sin x，当x＝_______________时，y的最小值为______；当x＝________________时，y的最大值为_____． 由正弦函数的性质可知，当x＝2kπ＋ ，k∈Z时，y＝sin x取最大值1，此时y＝2－sin x的最小值为1，当x＝2kπ－ ，k∈Z时，y＝sin x取最小值－1，此时y＝2－sin x的最大值为3. 1 3 返回 合作探究 返回 题型一　正弦函数的性质及应用 角度1　比较大小 例1　 比较下列各组数的大小： 点拨： 角度2　已知函数求值域(最值) 例2　 求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值： (1)y＝2sin x－1； 点拨： 点拨： 规律方法 1．关于正弦值大小比较 利用诱导公式将角化到正弦函数的单调区间内，通过单调性比较大小，如果不在一个单调区间，一是借助中间值，如0比较，二是利用正弦函数的对称轴转化比较． 2．关于与正弦函数有关的最值 (1)一次式：如果是关于正弦函数的一次式，要根据一次项的系数正负确定最值． (2)二次式：如果是关于正弦函数的二次式，则通过换元转化为一元二次函数配方求最值．　　 (2)求y＝1－2sin2x＋sin x的值域． 解：y＝1－2sin2 x＋sin x，令sin x＝t， 则－1≤t≤1，y＝－2t2＋t＋1＝ 因为－1≤t≤1， 所以当t＝－1时函数取得最小值ymin＝－2， 题型二　用“五点法”作正弦函数图象 例3　 (1)画出函数y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象； 点拨：用“五点法”作图的关键是找到5个特殊点． 解：按“五点法”取值列表如下： 描点并用光滑的曲线连接起来，如图，得到y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象． (2)画出函数y＝|sin x|，x∈R的简图． 解：按“五点法”取值．列表如下： 描点并用光滑的曲线将它们连接起来，通过平移得到y＝|sin x|，x∈R的图象，如图所示． 规律方法 “五点法”作函数y＝rsin x＋l的图象的步骤 第一步：列表：以正弦函数的五点为基础，列出函数y＝rsin x＋l的五点； 第二步：描点：将函数y＝rsin x＋l的五点在坐标系中描出来； 第三步：连线：利用平滑的曲线将点连接起来，注意不能用折线连接． 对点练2.利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解：先取值列表： 再描点，并用光滑的曲线连起来，如图得到y＝1－sin x(0≤x≤2π)的图象． 题型三　正、余弦函数曲线的简单应用 例4　 方程sin x＝lg x的实根有 A．1个　　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．无穷多个 点拨：画出y＝sin x的图象后要充分利用y＝lg x的图象过点(1，0)和点(10，1)来确定两图象交点的个数，准确画图是解答此类题的关键． 在同一平面直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象，如下图，由图可以看出两函数图象有3个交点，所以方程sin x＝lg x的实根有3个． √ 规律方法 这是正弦函数与方程的根的综合问题，利用转化与化归思想化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合求解．　　 对点练3.函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________． (1，3) 解析：f(x)＝sin x＋2|sin x|＝ 如图，则实数k的取值范围是1＜k＜3. 返回 随堂演练 返回 1．下列图象是y＝－sin x在[0，2π]上的图象的是 由y＝sin x在[0，2π]上的图象，作其关于x轴的对称图形，得y＝－sin x，x∈[0，2π]的图象为选项D中的图象． √ 2．函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2交点的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 由函数y＝1＋sin x，x∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y＝2只有1个交点． √ 返回 课时测评 返回 1．下列命题中正确的是 A．y＝－sin x为奇函数 B．y＝|sin x|既不是奇函数也不是偶函数 C．y＝3sin x＋1为偶函数 D．y＝sin x－1为奇函数 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．0 B．1 C．－1 D．2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象 A．重合 B．形状相同，位置不同 C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．故选B． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．下列关系式中正确的是 A．sin 11°<cos 20°<sin 160° B．sin 11°<sin 160°<cos 20° C．sin 160°<sin 11°<cos 20° D．sin 160°<cos 20°<sin 11° √ 由题意得：cos 20°＝sin 70°，sin 160°＝sin 20°.由正弦函数y＝sin x在 上单调递增，知sin 11°<sin 20°<sin 70°，所以sin 11°<sin 160°<cos 20°.故选B． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．函数y＝－sin x＋1的对称中心是_______________________，对称轴为 _________________． (kπ，1)，k∈Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)用五点法作函数y＝－2sin x＋1，x∈[0，2π]的图象． 解：列表 描点作图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)函数y＝1＋sin x，x∈ 的图象与直线y＝t(为常数)的交点可能有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)(多选)若f(x)＝2sin x－1在区间[a，b]上至少含有30个零点，那么b－a的值可能是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)已知f(x)＝2sin x＋a－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ①求a的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ②求x1＋x2的值． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)若函数y＝sin x，x∈ 的图象与直线y＝1围成一个平面图形，则这个封闭图形的面积是________． 2π 如图，由正弦函数图象的对称性知，所围成平面图形的面积是长为 ＝2π，宽为1的矩形的面积，所以S＝2π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(15分)求方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0的解的个数． 解：由方程sin x＋2|sin x|－|log2x|＝0，得sin x＋2|sin x|＝|log2x|. 令f(x)＝sin x＋2|sin x| g(x)＝|log2x|， 在同一平面直角坐标系内，作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图象，如图所示， 易知f(x)与g(x)的图象有四个交点，故原方程有四个解． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 　 函数 性质 　 y＝sin x 定义域 ____ 值域 因为正弦线的长度最大是1，最小是0，所以值域是____________ 最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝___； 当x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝_____ (k∈Z) (0，0)，，(π，0)，，(2π，0) x 0 π 2π y 1 0 1 2 1 2kπ＋，k∈Z 2kπ－，k∈Z 解：sin＝sin＝sin＝sin， 当t＝sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－ －. x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝－sin x 0 －1 0 1 0 x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝|sin x| 0 1 0 1 0 x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 解析：如图所示，不等式sin x<－的解集为. f(x)＝－sin x时，定义域为R，f(－x)＋f(x)＝－sin(－x)－sin x＝sin x－sin x＝0，故A正确；f(x)＝|sin x|时，定义域为R，f(－x)＝|sin(－x)|＝|sin x|＝f(x)，f(x)是偶函数，故B错误；f(x)＝3sin x＋1时，定义域为R，f ＝4，f ＝－2，故f(x)不是偶函数，故C错误；f(x)＝sin x－1时，定义域为R，f ＋f ＝－2，故f(x)不是奇函数，故D错误．故选A． x＝＋kπ，k∈Z ， 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝－2sin x＋1 1 －1 1 3 1 解：由f(x)≥0在上恒成立，得f(x)min≥0，当x＝π时，f(x)取得最小值，所以f(x)min＝f ＝a－1≥0，得a≥1，则a的取值范围为[1，＋∞)． 在上单调递减，因为f(x)＝0在上有两个不等实根x1，x2，所以y＝2sin x与y＝1－a在有两个交点，所以2×≤1－a<2，解得 －1<a≤1－，即a的取值范围为(－1，1－]． － $$