5 7.2.4 第1课时 诱导公式(一)-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 　 第七章　7.2　任意角的三角函数 知识目标 1.掌握诱导公式一～四，并会用公式求任意角的三角函数值．　 2.会用诱导公式一～四进行简单的三角求值、化简与恒等式的 证明． 素养目标 通过诱导公式一～四的推导，培养学生的逻辑推理核心素养；借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.如图，设角α，π＋α，－α，π－α的终边与单位圆O的交点分别为P，P1，P2，P3，则P与P1，P与P2，P与P3的坐标有怎样的关系？ 问题导思 提示：P与P1的纵坐标、横坐标都互为相反数，P与P2的横坐标相同，纵坐标互为相反数，P与P3的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 问题2.根据问题1，你能得出α，π＋α，－α，π－α的三角函数之间的关系吗？ 提示：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α. 知识点一　角的旋转、对称 如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋 转θ到OB，顺时针旋转θ到OC． 则射线OB是________________，射线OC是________________，所以角α＋θ的终边与角α－θ的终边关于角α的终边所在的直线______． 新知构建 角α＋θ的终边 角α－θ的终边 对称 知识点二　诱导公式一～四 sin α cos α tan α ﹣sin α cos α ﹣tan α sin α ﹣cos α ﹣tan α ﹣sin α ﹣cos α tan α 诱导公式一～四的理解 (1)公式一～四中角α是任意角． (2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等． (3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下： 2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”． 微提醒 1．对于α∈R，下列等式恒成立的是 A．sin(2π－α)＝sin α B．cos(－α)＝－cos α C．cos(π－α)＝cos α D．tan(π－α)＝tan(2π－α) 自主检测 对于A，sin(2π－α)＝－sin α.故A错误；对于B，cos(－α)＝cos α.故B错误；对于C，cos(π－α)＝－cos α.故C错误；对于D，tan(π－α)＝－tan α，tan(2π－α)＝－tan α，则tan(π－α)＝tan(2π－α)．故D正确．故选D． √ √ 3．sin 330°等于 √ √ －1 返回 合作探究 返回 题型一　给角求值问题 √ 点拨：利用诱导公式负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值． (2)求下列三角函数式的值： ①sin(－330°)·cos 210°. 规律方法 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 第一步：“负化正”； 第二步：“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角； 第三步：“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； 第四步：“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．　　 对点练1.(1)sin 300°＋cos 390°＋tan(－135°)＝ √ (2)sin 315°－cos 225°－sin(－480°)＋cos(－330°)＝______． 题型二　给值求值问题 点拨：先由sin α求cos α，注意角的范围，再利用诱导公式求tan α. √ 规律方法 解决条件求值问题的方法 1．解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． 2．可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．　　 √ 题型三　三角函数式的化简与证明 点拨：利用诱导公式(一～四)化简． 解：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)] ＝－tan(180°＋α) ＝－tan α， cos(－180°＋α)＝cos[－(180°－α)] ＝cos(180°－α) ＝－cos α， 规律方法 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 1．利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的． 2．化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变． 3．同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．　　 对点练3.求值： 微专题(一)　思想方法 分类讨论思想在三角函数中的应用 典例 证明：当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z， 右边＝(－1)2kcos α＝cos α，所以左边＝右边． 当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z， 右边＝(－1)2k－1cos α＝－cos α，所以左边＝右边． [名师点评]　解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论．常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝(－1)ksin α(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcos α(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sin α(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kcos α(k∈Z)等. 返回 随堂演练 返回 1．计算sin(－330°)cos 390°的值为 √ √ √ 返回 －1 课时测评 返回 1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是 A．α一定是锐角 B．0≤α<2π C．α一定是正角 D．α是使公式有意义的任意角 诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．已知sin(π＋θ)＝ ，则角θ的终边在 A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第四象限 D．第三或第四象限 √ 因为sin(π＋θ)＝ ＝－sin θ，所以sin θ<0，结合三角函数的定义，可知角θ的终边在第三或第四象限．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．化简sin2(π＋α)－cos (π＋α)·cos (－α)＋1的结果为 A．1 B．2sin2 α C．0 D．2 √ 原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2 α＋cos2 α＋1＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．sin(－570°)＝________；tan 2 025°＝______． sin(－570°)＝－sin 570°＝－sin(360°＋210°)＝－sin 210°＝－sin(180°＋30°)＝sin 30°＝ ，tan 2 025°＝tan(1 800°＋225°)＝tan(225°)＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求下列各三角函数值： (1)sin 1 200°；(2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (4)tan(－855°)．(3分) 解：tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：假设存在角α，β满足条件． 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 2．已知α＝，β＝2kπ＋，k∈Z，则角α与β的终边 A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于直线y＝x对称 D．关于直线y＝－x对称 ＝＝＝－1. sin π·cos π·tan＝sincostan＝－sin ·tan＝－··(－)＝－. ①sin(－330°)·cos 210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin 30°·(－cos 30°)＝×＝－. 证明：＝(－1)ncos α，n∈Z. 　 － 8．f(α)＝，则f ＝________． f(α)＝＝＝cos α，所以f ＝cos ＝. 故 $$