4 7.2.3 同角三角函数的基本关系式-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.2.3　同角三角函数的基本关系式 　 第七章　7.2　任意角的三角函数 知识目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用． 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式 证明． 素养目标 通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养；借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.观察下表，你能发现什么？ 问题导思 提示：对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2.如图所示，如果对于任意角α的终边与单位圆 的交点为P(cos α，sin α)，那么角α的三个三角函数值 sin α，cos α与tan α之间的关系是什么呢？ 知识点　同角三角函数的基本关系式 新知构建   基本关系式 语言描述 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1. 商数关系 ＝tan α (cos α≠0) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切. (1)注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． 微提醒 A．cos 160° B．±|cos 160°| C．±cos 160° D．－cos 160° 自主检测 √ √ √ 4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于 A．－1 B．0 C．1 D．2 √ 返回 合作探究 返回 题型一　利用同角基本关系式求值 点拨：由sin α的符号分象限讨论cos α，tan α的符号． 点拨：在这里，注意到所求式子都是关于sin α，cos α的分式齐次式(或可化为分式齐次式)，将其分子、分母同除以cos α的整数次幂，就把所求值的式子用tan α表示，将tan α＝3整体代入，就能快速求其值． 解：分子、分母同除以cos2α， 规律方法 求同角三角函数值的一般步骤 第一步：根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限； 第二步：根据第一步中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论； 第三步：利用两个基本公式求出其余三角函数值．　　 (2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sin α·cos α－5cos2α的值． 题型二　化简三角函数式 例2　 化简： 点拨：利用同角三角函数的基本关系化简， sin2α＋cos2α＝1； 点拨：利用同角三角函数的基本关系化简， (sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α. 规律方法 三角函数式的化简技巧 1．化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．　　 2．对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式．然后去根号达到化简的目的． 3．对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1.以降低次数，达到化简的目的． 解：因为sin 40°－cos 40°<0， ＝－1. 因为α是第三象限角， 所以cos α<0，1＋sin α>0，1－sin α>0， 题型三　利用同角三角函数关系证明 例3　 已知tan2 α＝2tan2 β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 点拨： 证明：由tan2α＝2tan2β＋1， 规律方法 证明简单三角恒等式的思路 1．从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则． 2．证明左右两边等于同一个式子． 3．证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1. 4．证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 故等式成立． 易错点1　忽略分类讨论致错 易错精析 易错点2　忽略隐含条件致错 正解二：本题若利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系，就会得到更为简捷的解法： 误区警示：有些关于三角函数的条件求值问题，表面上角的范围不受条件限制，实际上只要对已知式稍加变形，就会推出三角函数值间的限制关系，这种限制关系本身就隐含了角的取值范围．解题时，同学们如果忽略了对已知条件中三角函数值间限制关系的挖掘，就很可能出错． 返回 随堂演练 返回 √ √ √ 4．若2sin α＋cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α＝_______. 1 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．1 B．tan2α C．－tan2α D．－1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．sin α B．cos α C．1＋sin α D．1＋cos α √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)已知tan x＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝右边． 所以原等式成立． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．－1 B．1 C．－3 D．2 √ √ √ 原式＝ ，当α为第一象限角时，上式值为3；当α为第二象限角时，上式值为1；当α为第三象限角时，上式值为－3；当α为第四象限角时，上式值为－1.故选ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回 解：因为g2(sin α)＝g(cos α)， 所以(2sin α)2＝2cos α，即2sin α＝cos α. 因为2sin α＝cos α，且sin2α＋cos2α＝1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 因为α为锐角，且sin α＝，所以cos α＝＝＝.故选D． 5．若tan α＝2，则的值为________． 6或－ － 解得tan θ＝－或tan θ＝－. 易错探因：　本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sin θ|＜|cos θ|”的挖掘，或默认为sin θ－cos θ>0，从而得到错误答案：tan θ＝－. 因为2sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－， 6．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝_______. － 7．已知0<α<，若cos α－sin α＝－，则的值为__________． 8．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于_____． 11．已知sin α＋cos α＝，其中α∈，则tan α＝ A．－ B．－或－ C．－ D． ＋ －　 － $$