2 7.1.2 弧度制及其与角度制的换算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第三册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版2019）

7.1.2　弧度制及其与角度制的换算 　 第七章　7.1　任意角的概念与弧度制 知识目标 1.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对 应关系．　 2.了解弧度制，能熟练地进行弧度制与角度制之间的换算．　 3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式. 素养目标 通过弧度制概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养；借助角度与弧度的互化、扇形的弧长与面积的计算，培养学生的数学运算核心素养. 新知导学 1 课时测评 4 合作探究 2 内容索引 随堂演练 3 新知导学 返回 问题1.在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？ 问题导思 问题2.角的度量除了角度制之外，是否也有不同的单位制呢？ 提示：有不同的单位制，即弧度制． 提示：因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故周角的弧度数α＝2π，而周角的角度数是360，于是我们有了弧度与角度的换算关系． 知识点一　角度制与弧度制 1．角度制 把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于60分，1分等于60秒，即1°＝60′，1′＝60″. 新知构建 2．弧度制 半径长 3．弧度数 由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝_____．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度． 微提醒 角 度 制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与圆的半径的大小无关　　 单位“°”不 能省略　 角的正负与方向有关 六十制 进制　 弧 度 制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与圆的半 径的大小无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制 知识点二　角度与弧度之间的换算 1．弧度制与角度制的换算公式 2．常用的特殊角的角度与弧度的对应表 (1)用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数值相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，数值也不同． 微提醒 3．弧度制下的象限角与轴线角的集合表示 (1)象限角的集合 (2)轴线角的集合 知识点三　弧长公式与扇形面积公式 1．弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α＝ ，变形可得l＝_____，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． αr 微提醒 1．－300°化为弧度是 自主检测 √ A．110° B．160° C．108° D．218° √ 3．下列说法中正确的是 A．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B．1弧度是长度为半径长的弧 C．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 √ 利用弧度的定义及角度的定义判断． 选项 结论 理由 A 错误 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位. B 错误 C 错误 D 正确 4.已知角α的终边落在区间 内，则角α所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 －3π的终边在x轴的非正半轴上，－ π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角． √ 5．已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是2 cm2，则该扇形的周长是________cm. 设扇形的弧长为l，半径为r，因为扇形圆心角的弧度数是4，所以l＝4r，因为S扇＝ lr＝2，所以 ×4r×r＝2，则r2＝1，所以r＝1，则l＝4，所以该扇形的周长C＝l＋2r＝4＋2＝6 cm. 6 返回 合作探究 返回 题型一　角度与弧度的换算 (1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； 点拨： 所以角α1的终边在第二象限，角α2的终边在第四象限． (2)将β1，β2用角度表示出来，并在(－360°，360°)内找出与它们各自终边相同的所有的角． 设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)， 因为－360°＜θ1＜360°，所以－360°＜k·360°＋144°＜360°， 所以k＝－1或k＝0. 所以在(－360°，360°)内与角β1终边相同的角是－216°. 设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)， 因为－360°＜θ2＜360°，所以－360°＜k·360°－330°＜360°， 所以k＝0或k＝1. 所以在(－360°，360°)内与角β2终边相同的角是30°. 规律方法 进行角度制与弧度制的互化的原则和方法 [注意]　(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式．如无特别要求，不必把π写成小数． (3)变化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 对点练1.(1)将下列角度与弧度进行互化： ③10°； ④－855°. (2)把下列各角度化为弧度，并写成0～2π的角加上2kπ(k∈Z)的形式． ①－64°； ②400°； ③－722°30′. 题型二　用弧度制表示角的集合 例2　 用弧度表示终边落在如图①②所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合． 点拨：本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界． 对于题图②，同理可得，所求集合为 规律方法 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．　　 对点练2.已知角α＝2 025°. (1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β≤2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在[－5π，0)内找出与α终边相同的角． 题型三　与扇形弧长、面积相关的问题 例3　 (1)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为 √ (2)一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB． 点拨：设出扇形的弧长和半径、列出方程组求解． 解：设扇形的半径为r cm，弧长为l cm， 如图，过点O作OH⊥AB于点H， 则∠AOH＝1 rad. 所以AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)， 所以AB＝2sin 1(cm)， 所以圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm. 规律方法 扇形的弧长和面积的求解策略 1．记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ (其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)． 2．找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量．然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．　　 对点练3.(1)一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为 ____弧度． (2)已知某扇形的周长为9，圆心角为1 rad，求该扇形的面积． 返回 随堂演练 返回 1．1 920°转化为弧度数是 √ 2．将 弧度化成角度为 A．30° B．60° C．120° D．150° √ 3．已知扇形的圆心角为 ，弧长为π，则扇形的面积为________． 2π 4.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括 边界)的角θ的集合为__________________________． 返回 课时测评 返回 1．下列命题中不正确的是 A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位 C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径的大小有关 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．36°化为弧度是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．若α＝－3，则角α的终边在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为 A．2 B．4 C．6 D．8 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 α<β<γ<θ＝φ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．下列转化结果错误的是________． ③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知扇形AOB的圆心角为 ，半径为6 cm，则此扇形弧长为________cm，面积为________cm2. 5π　 15π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2分) (2)－15°；(2分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(13分)已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(5分) 解：设弧长为l，弓形面积为S弓，圆心角所对的弦及半径围成的三角形面积为S△， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新情境)《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”．意思是说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一．即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．终边落在直线y＝x上的角的集合可用弧度制表示为 __________________ ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以10－x＋10－x＋xθ＋10θ＝30， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值．(10分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 三 角 函 数 返回 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 弧度 0 度 135° 150° 165° 180° 195° 210° 225° 240° 255° 弧度 π 度 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° － － 弧度 2π － － 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 角的终边的位置 集合表示 终边在x轴正半轴上 {β|β＝2kπ，k∈Z} 终边在x轴负半轴上 {β|β＝2kπ＋π，k∈Z} 终边在y轴正半轴上 终边在y轴负半轴上 终边在x轴上 {β|β＝kπ，k∈Z} 终边在y轴上 终边在坐标轴上 αr2 lr (1)在应用公式l＝αr和S＝lr＝αr2时，要注意α的单位是弧度． (2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入． (3)弧度制下的扇形面积公式S＝lr，与三角形面积公式S＝ah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式． (4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量． 因为1 rad＝°，所以＝°＝108°.故选C． 解：π＝×180°＝15 330°. ②－； 则解得 lR＝αR2 1 920°＝1 920×＝.故选D． rad＝×°＝120°.故选C． 由扇形的圆心角α＝，弧长l＝π，得扇形的半径r＝＝4，则扇形的面积S＝lr＝×π×4＝2π. {θ|kπ＋<θ<kπ＋，k∈Z} 因为α＝60°＝，R＝10，所以l＝αR＝(cm)． 由题意可知，满足条件的集合为{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，因为45°＝，所以终边落在直线y＝x上的角的集合为. ＝120°，根据题意得，弦＝2×4sin＝4(m)，矢＝4－2＝2(m)，因此弧田面积＝×(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2≈9(m2)． 因为BA＋CD＋＋＝30， $$