7.2 离散型随机变量及其分布列（2课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

7.2 离散型随机变量 及其分布列 第七章 随机变量及其分布 人教A版2019选择性必修第三册 前情回顾 0 回顾概率的知识点，你还记得什么是随机试验吗？ 我们就称这样的试验是一个随机试验. 试验：凡是对现象的观察或为此而进行的实验，都称之为试验. 随机试验：是指满足下列三 个条件的试验： 试验可以在相同 的情形下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的 ， 并 且不只一个； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个 ，但是在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。 学习目标 1 2 3 通过实例，了解离散型随机变量的概念． 掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质． 掌握离散型随机变量的分布列的性质，会求某些简单的离散型随机变量的分布列(含两点分布)． 0 新课引入 0 写出下列随机事件的样本空间： 思考：随机试验的样本空间与实数集之间能否建立某种对应关系呢？ 1. 从3个黑球2个白球中抽取2个球，其中黑球的个数； 2. 抛掷一枚均匀的骰子，正面朝上的点数； 3. 从10张已经有编号的卡片（从1号到10号）中任取一张， 被取出的卡片号数； 读教材 0 阅读课本P56-P60，5分钟后完成下列问题： 1.什么是随机变量和离散型随机变量？ 我们一起来探究“离散型随机变量及其分布列”吧！ 2.什么是离散型随机变量的分布列和两点分布？ 01 03 02 目录 1 离散型随机变量 学习过程 2 离散型随机变量的分布列 3 题型训练 1 新知探究 问题1 写出下列随机试验的样本点，能否将样本点与具体的实数对应? 抛掷一枚均匀的硬币， 朝上的情况 抛掷一枚均匀的骰子， 正面朝上的点数 样本点 正面向上 反面向上 样本点 点数为1 点数为2 …… 点数为6 1 2 …… 6 0 1 实数 实数 样本点 实数 抽到正品 0 抽到次品 1 产品里有次品和正品， 随机抽检一件产品 有些随机试验的样本点与数值有关，每个样本点都有唯一的实数与之对应. 有些随机试验的样本点与数值无关，但可以为每个样本点指定一个实数与之对应. 1 新知探究 实验1 从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，列出样本点，若用变量表示三个元件中的次品数；能否将样本点与变量对应? 样本点 变量 000 0 001 1 010 1 011 2 100 1 101 2 110 2 111 3 若用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”， 用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点: 各样本点与变量X的值的对应关系如图所示. 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω , 都有唯一的实数 X(ω )与之对应，我们称X为随机变量. 有4个取值，可列举出随机变量X=0，1，2，3. 1 新知探究 实验2 抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量表示需要的抛掷次数； 能否将样本点与变量对应? 样本点 变量 1 1 01 2 001 3 0001 4 00001 5 …… …… 若用0表示“反面朝上”，1表示“正面朝上”， 用0和1构成的字符串表示样本点: 各样本点与变量X的值的对应关系如图所示. 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω , 都有唯一的实数 X(ω )与之对应，我们称X为随机变量. 有无限个取值，但可列举出随机变量X=0，1，2，3，…… 1 新知1－－离散型随机变量 离散型随机变量 随机变量： 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的 实数与之对应，我们称为随机变量；通常用大写字母表示。 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 称之为离散型随机变量；用小写字母表示随机变量的取值。 X ……… Ω ……… 作用：随机变量将随机事件的结果数量化. 特点：(1)取值依赖于样本点； (2)所有可能取值是明确的． 1 思考1：上面两个实验有什么共同点？ 思考2：你还记得这个对应与哪个概念相似吗？ 在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应． 变量有如下共同点： (1)取值依赖于样本点； (2)所有可能取值是明确的． 实数 实数 函数 两者都是映射，样本空间Ω相当于 函数的定义域，但Ω不一定是数集。 随机变量 随机试验结果 实数 新知1－－离散型随机变量 学以致用 例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由. (1)某单位办公室一天中接到电话的次数； (2)一瓶果汁的容量为500±2 mL； (3)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数。 解：某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的， 因此是随机变量，也是离散型随机变量. 解：由于果汁的容量在498 mL～502 mL之间波动，是随机变量， 但不是离散型随机变量. 解：从10个球中取3个球，所得白球的个数为0,1,2,3，可以一一列出， 是随机变量也是离散型随机变量. 学以致用 例2 下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)某林场的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； (3)抛掷两个骰子，所得点数之和。 解：只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出， 是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量. 解：林场树木的高度可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，是随机变量， 但不是离散型随机变量. 解：抛掷两个骰子，所得点数之和2,3,4......12，可以一一列出， 是随机变量也是离散型随机变量. 学以致用 例3 一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ. (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值； (2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分.求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型？ 解：　 ξ 0 1 2 3 结果 3个黑球 1个白球，2个黑球 2个白球，1个黑球 3个白球 (2)由题意可得η＝5ξ＋6， 而ξ可能的取值为0,1,2,3，所以η对应的各值是: 5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6；故η的可能取值为6,11,16,21， 显然η为离散型随机变量. 学以致用 例4 张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯． (1)写出随机试验的样本空间； (2)设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值及这些值所表示的随机事件？ 解：(1)设遇红灯记为1，遇到绿灯记为0，则随机样本空间可用数字串表示： Ω={0000，0001，0010，0011， 0100，0101，0110，0111， 1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111} X 0 1 2 3 4 随机事件 0000 0001，0010，0100，1000 0011，0110，0101，1100，1010 0111，1110，1101，1011 1111 思路点拨 (离散型)随机变量： 判断离散型随机变量的方法： (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出， 则该随机变量是离散型随机变量，否则不是. 随机变量与样本点建立联系： (1)根据问题设立一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值； (2)与样本点建立对应关系； 01 03 02 目录 学习过程 1 离散型随机变量 2 离散型随机变量的分布列 3 题型训练 1 新知探究 探究2 掷一枚骰子，如何用随机变量 表示掷出的点数和掷出点数不大于2？ 对于事件：掷出 点，可以表示为， 对于事件：掷出点数不大于2，表示为 根据问题引入对应的随机变量X＝?， 利于我们简洁的表示随机事件； 也可表示不同随机变量对应的概率P (X=?) 样本点 变量𝑿 概率P 点数为1 1 1/6 点数为2 2 1/6 点数为3 3 1/6 点数为4 4 1/6 点数为5 5 1/6 点数为6 6 1/6 表示掷出的点数为的事件；表示掷出的点数为时的概率。 1 新知探究 实验1 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示.从这200名学生中任意选取1人，所选同学的分数X，请确定X的可能取值及相应的概率，以及P(X≥4). 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 解：X的取值为1，2，3，4，5. 2 新知2－－离散型随机变量的分布列 离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量的可能取的不同值为，，…，， 称取每一个 的概率， =1，2，…，，为的概率 分布列，简称分布列。 … … 用表格表示为： ①； ② 性质： 1 新知探究 实验2 一批产品中的次品率为5%，随机抽取1件，定义， 求的分布列？ 解：X 的取值为0，1. 0.95 0.05 确定取值集合 1 求概率 2 列分布列表 3 像抽产品检测是否为次品，抽奖是否中奖，投篮是否命中等， 随机变量的取值只有两种结果，我们称为两点分布或0－1发布。 2 新知2－－两点分布或0－1分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示成功，表示失败， 定义 X＝ . 如果 P(A)＝p，则 P()＝1－p， 那么 X 的分布列如下表所示. 1－ 以上称服从两点分布或分布； 在有多个结果的随机试验中， 如果我们只关心一个随机事件是否发生，就可以利用两点分布来研究。 两点分布或0｜1分布 学以致用 例1 抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X 的分布列？ 解：由题意得，正面向上的次数X 的可能取值为0，1，2； 确定取值 1 求概率 2 分布列表格 3 P(X=0)= P(X=1)=； P(X=0)=； 分布列如下： X 0 1 2 P 学以致用 例2 篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分. 已知某运动员罚球命中的概率 为0.7，求他一次罚球得分的分布列？ 解：由题意，设罚球得分为X，X 的可能取值为0，1； 确定取值 1 求概率 2 分布列表格 3 P(X=0)=0.3； P(X=1)=0.7； 分布列如下： 0.3 0.7 思路点拨 求离散型随机变量的分布列： 求离散型随机变量分布列的步骤： (1)确定的所有可能取值以及每个取值的意义； (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率： ； (3)写出分布列(可用表格)； (4)根据分布列的性质对结果进行检验. 01 03 02 目录 学习过程 1 离散型随机变量 2 离散型随机变量的分布列 3 题型训练 3 例1 某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ， 则“ξ＝5”表示的试验结果是（ ） A.第5次击中目标 B.第5次未击中目标 C.前4次均未击中目标 D.第4次击中目标 解：ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C. 题型1－－随机变量及其分布列 C 3 例2 一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1,2,3,4,5,6,7,8，现从中随机取出 3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为( ) A.18 B.21 C.24 D.10 解：ξ＝8表示3个篮球中一个编号是8， B 题型1－－随机变量及其分布列 3 例3 设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S. (1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件； (2)设X=m2，求X 的分布列？ 解：(1)x2－x－6≤0得－2≤x≤3，S＝{x|－2≤x≤3}.由于m，n∈S且m＋n＝0， 所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)； 题型1－－随机变量及其分布列 (2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以X＝m2的取值为0,1,4,9， 分布列为： 3 例4 设随机变量X的分布列P(X=k/5)＝ak(k＝1,2,3,4,5)；求常数a的值? 解：由题意，所给分布列为: 题型2－－随机变量及其分布列的应用 由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 3 例5 若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2， 则P(Y＝－2)＝_____. 解：因为Y＝3X－2，所以当Y＝－2时，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8. 题型2－－随机变量及其分布列的应用 0.8 例6 设离散型随机变量X的分布列如表，若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于（ ） A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A 解：由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3；所以P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3. 课堂小结 离散型随机变量 随机变量： 一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的 实数与之对应，我们称为随机变量；通常用大写字母表示。 离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量， 称之为离散型随机变量；用小写字母表示随机变量的取值。 X ……… Ω ……… 作用：随机变量将随机事件的结果数量化. 特点：(1)取值依赖于样本点； (2)所有可能取值是明确的． 课堂小结 离散型随机变量的分布列： 一般地，设离散型随机变量的可能取的不同值为，，…，， 称取每一个 的概率， =1，2，…，，为的概率 分布列，简称分布列。 … … 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示成功，表示失败， 定义 X＝ . 如果 P(A)＝p，则 P()＝1－p， 那么 X 的分布列如下表所示. 1－ 以上称服从两点分布或分布； 两点分布或0－1分布： 另外两个从剩余7个号中选2个，有种方法，即21种. 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝9)＝. X 0 1 4 9 P 解得a＝. X 1 P a 2a 3a 4a 5a $$