1.4.2 角平分线的性质与判定（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

4.2 角平分线的性质与判定 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.证明三角形的三条角平分线交于一点. 2.应用角平分线定理解决数学问题. 情境&导入 角平分线的性质与判定的内容是什么？ 定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3 情境&导入 作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？ 发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． 4 探索&交流 角平分线的性质 1— 例1.求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. A B C P E F M D N 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD=PE=PF. 探索&交流 ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. 证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). A B C P E F M D N 探索&交流 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. A C B E D 例题&解析 ∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）. ∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°. ∴∠BDE=90°– 45°= 45° ∴BE = DE（等角对等边）. 1 2 在等腰直角三角形 BDE 中， cm（勾股定理）， ∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E， ∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. A C B E D 例题&解析 （2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL） ∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）. ∵BE = DE = CD， ∴AB = AE + BE = AC + CD. A C B E D 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例4.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：DE＝BD＋CE. 例题&解析 证明：∵BO平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO. ∵DE∥BC， ∴∠CBO＝∠DOB. ∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD. 同理可证OE＝CE， ∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE. 练习&巩固 B 1 在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的(　　) A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对 练习&巩固 2.已知：如图，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF. 求证：CF = EB. 证明：∵ AD 平分∠CAB， DE⊥AB，∠C = 90° (已知)， ∴CD＝DE (角平分线的性质). 在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中， CD = ED (已证)， DF = DB (已知)， ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF = EB (全等三角形的对应边相等). C F A E D B 练习&巩固 3. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，且∠B +∠D = 180°，求证：AE = AD + BE. A C B E D 练习&巩固 A C B E D F 证明：过点 C 作 CF⊥AD，交 AD 的延长线于点 F. ∵AC 平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD， ∴CE ＝ CF，AE ＝ AF （角平分线性质）， ∠CEB ＝∠CFD ＝ 90°. ∵∠B +∠ADC ＝ 180°，∠CDF +∠ADC ＝ 180°， ∴∠B ＝ ∠CDF， ∴△CBE ≌△CDF （AAS）， ∴DF ＝ BE. ∵AF ＝ AD + DF， ∴AF ＝ AD + BE，∴AE ＝ AD + BE . 小结&反思 　　三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等． $$