第六章 平行四边形（9大题型83题）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第六章 平行四边形 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 题型一、利用平行四边形的性质求解………………………………………………3 题型二、平行四边形的折叠问题……………………………………………………38 题型三、平行四边形的旋转问题……………………………………………………53 题型四、三角形中位线的性质………………………………………………………67 题型五、平行四边形的构造与判定…………………………………………………99 题型六、平行四边形的性质与判定的综合………………………………………118 题型七、多边形的内外角度计算…………………………………………………162 题型八、正多边形的角度计算问题………………………………………………175 题型九、一次函数与平行四边形的综合问题……………………………………189 知识点1．平行四边形的概念 两组对边分别平行且相等的四边形叫平行四边形。 知识点2．平行四边形的性质 1）两组对边分别平行。 2）两组对边分别相等。 3）两组对角分别相等。 4）对角线互相平分。 知识点3．平行四边形的判定 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 知识点4．三角形的中位线定理 1、三角形中位线：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线。 三角形中位线定理: 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点5．多边形的内角和与外角和 1、边形的内角和=； 2、边形的外角和=。 3、一个边形的对角线有条，过边形一个顶点能作出条对角线，把边形分成了个三角形。 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质， 本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点F与点C重合时，， ∵， ∴线段的最小值为； 故③正确； ∵， ∴， ∴， 故④正确； ∵都是定值， ∴是定值， ∴是定值， 故①错误，②正确， 故选：D． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，对角线经过坐标原点O，边与x轴交于点E，对E点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质、一次函数的图象和性质等知识，过点D作轴于点M，过点B作轴于点F，求出点B的横坐标为，设点A的坐标为，其中，求出点B的坐标为，再求出直线的解析式为，得到点E的坐标为，根据得到，解得，即可得到点E的坐标. 【详解】解：过点D作轴于点M，过点B作轴于点F，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 设点B的横坐标为m， ∵顶点C坐标为，顶点D坐标为，顶点A在y轴正半轴上， ∴， ∴ 即点B的横坐标为， 设点A的坐标为，其中 ∵点A到点B的平移方式和点D到点C的平移方式相同，即为向下平移10个单位，向左边平移2个单位， ∴点B的纵坐标为， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为 解得， ∴直线的解析式为 当时，，解得， ∴点E的坐标为， ∵， ∴， ∴ 解得， ∴ ∴点E的坐标是， 故选：B 3．如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或5 【分析】由平移的性质得，过点作交于点，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，利用面积法求得，，分当时，当时，当时三种情况讨论，据此求解即可． 【详解】解：∵平行四边形，， ∴， ∵将沿方向向右平移得到， ∴， 如图，过点作交于点， ∴， ∴， 如图，过点作交于， ∵， ∴， ∴，， 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作交于， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，此时，则点与点重合，不符合题意，舍去； 综上所述：的长为2或5． 故答案为：2或5． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握三角形平移的性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，分类讨论是解题的关键． 4．如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质得，，而，则，在上截取，连接，，，则是等边三角形，由旋转得，，则是等边三角形，可证明，得，则，所以，取的中点L，连接交于点I，连接，，则，所以垂直平分，则，，求得，，进而求得，由，得，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， 在上截取，连接，，，则是等边三角形，， ∴，， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在经过点H且与直线所夹的锐角为的直线上运动，， ∴， 取的中点L，连接交于点I，连接，，则， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标为 ．（温馨提示：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】 【分析】如图作轴交轴于，作轴交轴于，交轴于．利用全等三角形的性质，平行四边形的性质求出、即可． 【详解】解：如图作轴交轴于，作轴交轴于．交轴于． ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ， ，， 在中，，， ， ∵， ， ， ， 故答案为 【点睛】本题考查坐标与图形变化，轴对称等知识，全等三角形的判定及性质，度直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】连接，在上截取，连接，由折叠性质可知垂直平分，则，，，，根据等腰三角形的性质和内角和定理得，由四边形是平行四边形，得，，，，证明是等边三角形，再证明，则，，根据线段和差可得，过作，交延长线于点，由勾股定理得：，设，则，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，在上截取，连接， 由折叠性质可知，垂直平分， ∴，，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 7．如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为边向下作等边，连接，易证得，于是可得，根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小，此时，利用勾股定理解直角三角形求出即可解决问题． 【详解】解：如图，以为边向下作等边，连接， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知：，， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， 此时， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，含度角的直角三角形，勾股定理等知识点，巧妙添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 8．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N．证明是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵F是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点F作于J，交的延长线于K．过点D作交的延长线于T，连接，设交于N． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 9．综合与探究 问题情境： 如图，在中，，连接，将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到，点的对应点分别为E，F．，分别与边交于点与边交于点． 数学思考： （1）当时，的度数为______． （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理； （1）由结合，，得，，当时，，再由旋转的性质得即，即可得； （2）由旋转可得，，，即可证明，得到，推出，再证明，即可得到； （3）当时，，，此时、、都是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，，最后根据，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于得到， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时，，， ∴， ∴，，，， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 10．平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）取的中点P，连接，证，得，再证，进而证，然后证是等边三角形，得，即可得出结论； （2）①依题意补全图形即可； ②过点A作于点G，过M作于点H，证和是等腰直角三角形，得，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）如图1， 取的中点P，连接， 则， ∵M是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即的度数为； （2） ①依题意补全图形如图2， ②，证明如下： 如图3， 如图 3，过点作于点，过作于点， 则， ∵， ∴和是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 11．如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由，可得，，，则，，由，可得，则，由平分，可得，则，进而可证；②由勾股定理得，，如图1，过G作于，证明，则，，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解然后作答即可； （2）由，可得，由，可求，，由，可得，则，，如图2，以为顶点作，交的延长线于，则，，，由，，可得，即，可得． 【详解】（1）①证明：∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②解：由勾股定理得，， 如图1，过G作于， 由①可知，平分， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图2，以为顶点作，交的延长线于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，平行线的判定，角平分线，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 12．如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图，连接，且． ①求证：； ②若，，求的长． (3)如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再根据角平分线得，进而得，，即可得证； （3）①由角平分线的性质得，进而证明（），即可得证；②先证明，得，由①得，即，求解即可； （3）连接，根据旋转的性质可得是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出，利用“边角边”证明和全等，得到，，然后求出，再求出，根据等边三角形的判定方法判断即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）①证明：∵平分，，， ∴， ∵， ∴（）， ∴； ②解：∵，，四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 由①得， ∴，即， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： 连接， ∵绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，作辅助线构造等边三角形及利用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 13．如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)折痕的长为； (3)的长为或． 【分析】（1）由，得，故，而沿着翻折得，有，即得； （2）设交于K，由，可得，而沿着翻折得，可证，即可得，故，，设设，则，知，解得，即，，设，则，有，据此求解即可； （3）分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∴； （2）解：设交于K，如图：    ∵， ∴， ∵沿着翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴折痕的长为； （3）解：当时，过B作于T，如图：    设， 由（1）知， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，如图：    设，则， ∴， ∵， ∴， 解得，即； ∵E在边上， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 14．已知在平行四边形中，点F在边上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)8 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，从而得到，推出，即可得结论； （2）过点作交于点，交于点，由等腰三角形的性质可得，，由同角的余角相等可得，从而即可得结论； （3）连接，过点作于点，于点，证明，推出，证明，推出，设，，则，在中，，即，再由，求出的值，最后由进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作交于点，交于点，       ， 由（1）可得：， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于点，于点，     ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， 在中，，即， ， 由解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一的性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题． 15．已知中，，点E是延长线上一点，连接，在的右侧作，射线交射线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交的延长线于点P，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3) 【分析】（1）由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可求，由外角的性质可求解； （2）通过证明和是等边三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可证，由线段垂直平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：如图，设与的交点为， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ， ， 即； （3）解：如图3，取的中点，连接，，过点作于， 是等边三角形，， ， ， ， 又，， ， ，， ，， ，，， ， 又点是的中点， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型二、平行四边形的折叠问题 16．如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、，由直角三角形的特征得 ，，，由勾股定理得，同理可求：，，，设，，，由勾股定理得，，可得，求出，由即可求解． 【详解】解：如图，过交于，过作交的延长线于，过作交的延长线于，延长交于，连接、、， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可求：， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 由折叠得：， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的特征，勾股定理等，掌握相关性质，根据题意作出恰当的辅助线，构建直角三角形并熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 17．在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，翻折的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 根据，不妨设，当在之间时，由翻折的性质知：，可得，，由三线合一得到，继而由可求解；当在的延长线上时，同理可求解． 【详解】解：当在之间时，作下图，    根据，不妨设， 由翻折的性质知：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 沿直线翻折至所在直线， ， ， ， ∵过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图，    根据，不妨设， 同理知：， ∵过作的垂线交于， ， 故答案为：或． 18．如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．如图，作于，过点作于．可得，可得点到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可，可得，最后根据求解即可． 【详解】如图，作于，过点作于． ，， ∴， ，， 到的距离和到的距离都是平行线、间的距离， 点到的距离是， 四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知，，，， ，，， ， 在和中， ， ∴； ， ，， ， ， 设，则， ， 由折叠可知，， ， ， ， ， 在中， 由勾股定理得， 解得， ， ． ∴ 故答案为：． 19．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明． 【独立思考】 （1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明． 【问题解决】 （3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积． 【答案】（1），证明见解析； （2）四边形是平行四边形，证明见解析； （3） 【分析】（1）F为的中点，，，，可得，由此可证明，结合，可得．所以为直角三角形，，. （2） 是由沿着翻折而成的，且F为的中点，可得，，由此得到，证得，，又，故可得到是平行四边形． （3）要求的面积，只需求的面积，根据已知角，，可求得长和边上的高，即可求出面积． 【详解】（1）如图所示， F为的中点， ，   ， 　，又， ， ，， ， ， 为直角三角形，． （2）如图所示， 是由沿着翻折而成的，且F为的中点， ，， ， ， ， ，又， 四边形是平行四边形． （3）如图所示，过点M作于， ，四边形为平行四边形， ，， 是由翻折形成，且， ，， ，在中 ，， 在， ， ， ． 20．综合与实践 【问题情境】 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，P为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当P，Q为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）等边三角形；（2），理由见解析过程；（3）． 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，再证明四边形是菱形，可知，即可求解； （2）利用四边形是平行四边形，可得，，再由，为边的三等分点，可得，由折叠可知：，，则，可得，再由三角形外角性质可得，则，可得，可证明四边形是平行四边形，则有，再证明可得结论； （3）延长交于，过点A作，先求得，由折叠可得，，得到，则为等腰直角三角形，从而得出，则，再由四边形是平行四边形，可得，得到，，即，得出，再由的面积为18，，即：，求出，再求解可得结果． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，，， 由折叠可知：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2），理由如下： 四边形是平行四边形， ，， 又，为边的三等分点， ， 由折叠可知：，， 则， ， 由三角形外角性质可知：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ； （3）延长交于，过点A作， 的面积为18，， ， ， 设则， ， ， （负值舍去）， ， ， ， ， ， 由折叠可知：，， ，则为等腰直角三角形， ， 则， 四边形是平行四边形， ， ，，即， ， 的面积为18，，即：， ， 则， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，菱形的判定，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 21．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）成立，证明见解析；（3）或 【分析】（1）根据折叠的性质得到，．由E为的中点，推出，根据三角形内角和定理及平角的定义得到，推出，由四边形是平行四边形，得到，继而证明四边形为平行四边形，即可得出结论． （2）同理（1）证明即可； （3）过点A作交CB的延长线于点M，分点F在平行四边形内和点F在平行四边形外；两种情况讨论即可． 【详解】解：（1），，理由如下： 证明：由折叠，可得，． ∵E为的中点， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． 又∵四边形是平行四边形， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论仍然成立． 同理（1）证明即可； （3）①当点F在平行四边形内时，过点A作交CB的延长线于点M，如解图1所示． 由（2）可知， ∵， ∴为等腰直角三角形． ∴． ∵，， ∴． ∴为等腰直角三角形． ∴． 设，则，． 由（2）可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． ②当点F在平行四边形外时，过点A作于点M，如解图2所示． 同理可得．设，则，， 可得， ∴． 在中， ，即， 解得（负值已舍去）． 由（2），可知， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了折叠性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上性质是解题的关键． 题型三、平行四边形的旋转问题 22．如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，． 将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长是 ，两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是 ． 【答案】 【分析】作，连接，根据旋转的性质可得即四边形是矩形可得,，进而可得；然后根据勾股定理可得、；再证可得，设可得，然后根据勾股定理列方程求得，最后根据平行四边形的面积公式解答即可． 【详解】解：作，连接 ∵将其中一张纸片绕它的中心旋转，点A和点C的对应点和分别落在边和上 ∴ ∴四边形是矩形 ∴, ∵， ∴, ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∵,即，解得： ∴阴影部分的面积为： 故答案为，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质等知识点，正确做辅助线是解答本题的关键． 23．如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据旋转可得，则，根据平行四边形的性质可得得出，等量代换得出，即平分； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②在上截取，连接，过点作于点，根据旋转的性质结合已知条件可得是等边三角形，则，证明，得出四边形是平行四边形，则，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到平行四边形， ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴，即平分； （2）解：①， 如图所示，过点作于点，    ∵平分，， ∴ ∵四边形，是长方形， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴； ②如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， 在上截取，连接，过点作于点，    ∵旋转，则， ∴是等边三角形，则， ∴，即旋转角为 ∴ 又平分； ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 又∵旋转，则 ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， ， ∴，则 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 24．问题情景 已知与中，，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索．     拼图思考： （1）希望小组的同学将与按照如图1所示摆放，其中点B与重合，点落在边上，点落在边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答： ①求证：平分； ②求点之间的距离． 操作探究： （2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接，他们又提出如下问题： ①当线段与交于点P时，如图2，求证：点B在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 【答案】（1）①见解答过程，②2 （2）①见解答过程，②20 【分析】（1）第一问借助三角形与全等求证，第二问连接，判断求解． （2）第一问连接，，判断为等腰三角形，利用三线合一求证，第二问画出满足条件的图形，利用等边三角形求解． 【详解】解：（1）①与中，，，， 四边形是菱形． 平分． ②连接，如图， 由①知四边形是菱形， ， ， ， ， 为等边三角形， ． （2）①连接，，如图， 与中，，，， ，，， ， ， 为等腰三角形， 在线段的垂直平分线上． ②如图， 与中，，，， ，，， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定与性质，等腰三角的性质定，等边三角形的判定与性质．关键是借助三角形全等和等腰三角形的三线合一进行解题． 25．【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为．    【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积的时，的值为______    【答案】（1）60；（2）；；（3），理由见解析；拓展应用：或 【分析】（1）由旋转的性质和平行四边形的性质，等角对等边，可得是等边三角形，即可求解； （2）过点F作交延长线于点，设交于点N，通过证明，进而得出，再证明，可得，仅为求解即可； （3）分别根据思路1和2进行推理证明即可； 拓展应用：先根据面积之间的关系得出，继而得出，分别在图3和图2中进行求解即可． 【详解】（1）由旋转可得，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：60； （2）如图，过点F作交延长线于点，设交于点N，    ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 思路1：如图，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴.    思路2：如图，过点作交延长线于点，过点作交延长线于点， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；    拓展应用： ∵， ∴当为面积的时，， 由（3）思路2得，， ∴， ∴，即， ∴， 如图3，； 如图2,， 综上，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 26．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，为坐标原点，，，，将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形，点在的延长线上，点F落在x轴正半轴上．    (1)证明：是等边三角形； (2)平行四边形绕点逆时针旋转度．的对应线段为，点的对应点为． ①直线与轴交于点，若为等腰三角形，求点的坐标： ②对角线在旋转过程中设点坐标为，当点到轴的距离大于或等于时，求的范围． 【答案】(1)见解析 (2)①或或或，；②或 【分析】（1）根据点坐标结合勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质得出，得到，故而可解； （2）①设，根据等腰三角形的性质分、和三种情况，分别求出点坐标即可； ②分旋转过程中在第三象限时到轴的距离等于、旋转到第四象限时到轴的距离等于、旋转到在第一象限时到轴的距离等于和旋转180度四种情况，分别求出m的值，即可得到的取值范围． 【详解】（1）如图过点作轴于点，   ，， ，， ， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， 是等边三角形； （2）①设， 是等腰三角形， 当时，， 解得：， ， 当时，， 或， 当时，根据等腰三角形的性质可得， ∴， 故为等腰三角形时，点的坐标为或或或，． ②旋转过程中点的对应点为，， 当点开始旋转，至在第三象限内到轴的距离等于时，如图，作轴于点H，轴于点G，交于点E， ∴， ∴，， ∴， ∴， 此时；   当点旋转到第四象限，到轴的距离等于时，如图，   同理可得：， ∴； ∴满足条件的的取值范围是； 当点旋转到第一象限，到轴的距离等于时，如图， 此时， ∴；   当点旋转时， ，关于点对称， ，解得：， ，， 故此时满足条件的的取值范围是； 综上所述，当点到轴的距离大于或等于时，的取值范围是或． 【点睛】此题考查了旋转的性质、坐标与图形、等边三角形的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、灵活应用数形结合思想是解题关键． 题型四、三角形中位线的性质 27．已知，将绕点逆时针旋转到，使点的对应点落在直线上． (1)①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； (2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)①图见解析② (2)，证明见解析 【分析】（1）①依题意作图即可；②先证明，得出即可求出结论； （2）在上截取，连接，在上截取，连接，先证，再证明，证明是中位线，即可证明结论． 【详解】（1）解：①依题意补全图1： ②将绕点逆时针旋转到， ， ， ， 垂直， ， ， ； （2）解：在上截取，连接，在上截取，连接， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， ， 是中点， ， ， 是中位线， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及添加适当的辅助线是解题关键． 28．已知，中，，点是斜边的中点，过点作，使得，，将绕点旋转一周，连接． (1)如图，当点在平分线上时，求证：； (2)如图，若，则在旋转过程中，的最大值是_______，最小值是_______； (3)到点P，使得，连接． ①如图，当，，三点共线时，是_______三角形； ②如图，当在上方且时，求证：是一个定值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)①等边；②见解析 【分析】（1）连接，证是等边三角形，得，进而证明（），即可得证； （2）连接，根据度直角三角形的性质可得，，由（）得，再根据三角形的三边关系即可得解； （3）①如图，连接，并延长到，使得，连接，，由中位线的性质得，，，进而证明（）得，是等边三角形，再证明，得，，即可得证； ②如图，连接，并延长到，使得，连接，，由中位线的性质得，，，进而证明（）得，是等边三角形，再证明，得，，于是有，，从而得是等边三角形，，可得，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵是的中点，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴（）， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，，， ∴，， 由（）得， ∴， 根据三角形的三边关系可得，， ∴，即； ∴的最大值是，最小值是， 故答案为：，； （3）解：①如图，连接，并延长到，使得，连接，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由（）得是等边三角形， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴（） ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴是等边三角形； ②证明：如图，连接，并延长到，使得，连接，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 由（）得是等边三角形， ∴， 又∵ ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴（） ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴， ∴ ∴是等边三角形； ∴， ∴， ∴是一个定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质及判定，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及三角形中位线的性质及判定是解题的关键． 29．【问题背景】 小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题： 证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． （1）请完成证明中的两个填空、处的内容； 参考小明同学思考的方法，继续解决问题： （2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）【联系拓展】如图3，的三条中线分别为，，．若的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）． 【答案】（1），；（2）10；（3） 【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质及等边三角形的性质求解即可； （2）作，，两线交于F，连接，证是直角三角形，得，再证是等边三角形，得，根据四边形是平行四边形可得答案； （3）连接，，过作交直线于点，连接，，交于点，由的三条中线分别为，，，得到和都是的中位线，再证明四边形、、是平行四边形，得到，，再根据三角形中线有关的面积规律求出以，，的长度为三边长的三角形的面积等于． 【详解】（1）证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． 故答案为：，； （2）解：过A作，过D作，两直线交于F，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：连接，，过作交直线于点，连接，，交于点， ∵的三条中线分别为，，， ∴和都是的中位线， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴以，，的长度为三边长的三角形的面积等于． 【点睛】本题是四边形综合问题，主要考查平移的基本性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、三角形中位线的性质，与三角形中线有关的面积问题等知识点． 30．如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 【答案】（1）5，3；（2）见解析；（3）见解析，11 【分析】（1）证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论； （3）如图3中，延长至G，使，连结，设，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：∵点点都是中点 ∴、都是中位线 （2）证明：如图1中，延长至，使，连结． , ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3中，延长至，使，连结．设． 易证 ∴ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理．利用倍长线段法，构造全等三角形，是解题的关键． 31．中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． (1)请你根据上边分析，完成证明过程． (2)如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． (3)如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】取的中点，连接，，利用中位线定理可证，根据直角三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可证结论成立； 延长到点，使，连接，，构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可知，从而可知，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用三角形中位线定理可证结论成立； 延长到点，使，连接、，构造等腰直角三角形，本题要分当点在线段上和点在线段的延长线上两种情况求解． 【详解】（1）证明：如下图所示，取的中点，连接，， 点为的中点， 是的中位线， 且， 于点， ， ， ， 又， ， ， ； （2）证明：如下图所示，延长到点，使，连接，， ，， ， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ； （3）解：如下图所示，当点在上时，延长到点，使，连接、， 是等腰直角三角形， ， 又，， ，， ， ， 在中，， 点为中点，点为的中点， ， ， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ； 如下图所示，当点在延长线上时，延长到点，使，连接、， 由可得：， ， 过点作， 是等腰直角三角形， ， ， 综上所述的面积为或． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作辅助线构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质找到边之间的关系． 32．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，在中，由勾股定理得，由等面积法得，则，再由等腰三角形的三线合一求得； （2）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，设，导角可得，显然，导角可得，则，继而，故； （3）取中点为点，链接，由三角形的中位线得到，在中，有，故的最大值为，最小值为，在中，由勾股定理得： ，即：，即可求解． 【详解】（1）解：如图：记，的交点为， ∵点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：取中点为点，链接， ∵点，点分别为与的中点， ∴， 在中，有， ∴的最大值为，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，三角形的三边关系求最值等知识点，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 33．在中，，，D为中点，，，在上取一点E，连接、、． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若，求证； (3)如图3，在（1）的条件下，P为内部一点，且，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接交延长线于点N，G为线段上一个动点，连接，将沿所在直线翻折得到，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点Q，根据题意求出，利用勾股定理求得，利用三角形内角和定理，证明为等腰直角三角形，求出，即可解答； （2）作于点N，设,则,，设,则，求出，根据勾股定理求出，表示出，即可得证； （3）证明，得出，，根据，得出点H在以点C为圆心，4为半径的圆上运动，根据，得出当C、M、H在同一直线上时，，此时最小，延长交于点，当点H在点时，最小，此时，根据勾股定理求出，即当最小时，，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，为中点，，，在上取一点，连接、，过点作于点，如图： 则， ，， ， ， 为的中点， ， ， 根据勾股定理得：， ，， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 1， ， ； （2）证明：作于点，如图： 则， ，， ， 设则，， 设，则， ， ， 解得：， ， 为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， 即； （3）解：为内部一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交延长线于点，为线段上一个动点，将沿所在直线翻折得到， 由（1）可知：， ，， ，， ， 根据旋转可知：1，， ， ， ， ， ， ，， 根据翻折可知：， 点在以点为圆心，2为半径的圆上运动， 根据三角形三边关系可知：，且当、、在同一直线上时，，此时最小， 延长交于点，如图： 当点在点时，最小，此时， ， ， 即当最小时，， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查了折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 34．【基础探究】 （1）如图1，中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系； 【变式探究】 （2）如图2，中，，，中，，，，点在内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图3，中，，，中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接， ①求证：； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质得，再根据得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系； （2）连接，，与的延长线交于点M，先证明和全等得，，进而得，则，再证明是的中位线，是的中位线，则 ，， ，进而得，，则是等腰直角三角形，然后由勾股定理可得出线段与的数量关系； （3）①先证明，进而可依据“”判定和全等，然后个根据全等三角形的性质可得出结论； ②连接，设与交于点N，先证和全等得，由此得，证明是的中位线，是的中位线，则，，进而得，则是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得出线段与的数量关系． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵在中，， ， ， ， ， ， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：． （2），理由如下： 连接，，与的延长线交于点M， ， ， ， ， ∴在和中， ， ，， ， ， 即， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， ，， ， ， ，即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得：． （3）①证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． ②，理由如下： 连接，设与交于点N， 在中，， ， ， ， $ 点是的中点，点是的中点，点是的中点， 是的中位线，是的中位， ， ，， ， ，， 是等边三角形， 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 35．如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ； (2)探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】(1)； (2)为等边三角形，理由解析 (3)面积的最大值为 【分析】（1）由，可得出，再根据三角形中位线得，，，，从而可证，最后利用平行线的性质可证得； （2）由旋转的性质可证明，得到，，再由（1）同理证得，再根据三角形外角定理和平行线的性质证明，即可判定为等边三角形； （3）由三角形三边关系，可得的最大值，再根据中位线定理可得的最大值，从而得到面积的最大值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， 在与中 ∴， ∴，， ∵点M，N，P分别为，，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∵ ∴ ∴是等边三角形． （3）由（2）可知，， ∴当最大时，，则等边的面积最大， ∵， ∴当时最大， ∴， ∴， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角定理、等边三角形的判定以及三角形三边关系等，熟练掌握相关知识点并灵活应用相关性质是解题的关键． 36．如图1，与都是等腰直角三角形，直角边在同一条直线上，点M、N分别是斜边的中点，点P为的中点，连接． (1)观察猜想： 图1中，与的数量关系是______，位置关系是______． (2)探究证明： 将图1中的绕着点C顺时针旋转，得到图2，与分别交于点G、H，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是等腰直角三角形；理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理的运用， （1）由等腰直角三角形的性质易证，由此可得，再根据三角形中位线定理即可得到，由平行线的性质可得； （2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明； 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：，，理由如下： 延长交于，如图1， 和是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ， ， ，，，， ， ，即； 点、分别是斜边、的中点，点为的中点， ，， ， ，，， ，，， ， ， 即， 故答案为：，； （2）是等腰直角三角形；理由如下： 如图②中，设交于， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， 又，， ， 点、、分别为、、的中点， ∴，，  ，， ， ， ∵ ∴ ∵ ， 是等腰直角三角形． 题型五、平行四边形的构造与判定 37．（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是_________ ． （2）如图2，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O．请找出图中面积相等的三角形：________________． （3）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案． 【答案】（1）等底同高；（2）△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC；（3）见解析 【分析】（1）由AD是△ABC中BC边的中线，可知BD=CD，再有△ADB和△ADC是同高，可得S△ABD=S△ACD； （2）过A作AM⊥CB于M，过D作DN⊥BC于N，延长DA、AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据平行线间的距离相等可得BF=AM=DN=CF，再利用三角形的面积公式表示出△ADC和△ADB的面积，观察发现这两个三角形是同底等高，面积相等；同理可得△ABC和△DBC的面积相等；再根据三角形的面积和差关系可得△AOB和△DOC； （3）连接AF两点，过E点作EG∥AF交AB于G点，连接FG，FG就是修水渠的路线． 【详解】解：（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是等底同高； （2）图中三对面积相等的三角形：△ADC和△ADB；△ABC和△DBC；△AOB和△DOC； 理由如下：过A作AM⊥CB于M，过D作DN⊥BC于N，延长DA、AD，过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F， ∵AD∥BC， ∴BF=AM=DN=CF（平行线间的距离相等）， ∵S△ADC=•AD•CF，S△ADB=•AD•BF， ∴S△ADC=S△ABD； ∴S△ADC-S△ADO=S△ABD-S△ADO， 即：S△ABO=S△DOC； ∵S△ABC=•CB•AM，S△DBC=•CB•DN， ∴S△ABC=S△DBC； （3）连接AF两点，过E点作EG∥AF交AB于G点，连接GF， 则直线GF就是所求作的直线． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积求法，以及应用与设计作图，关键是正确找到三角形的高线，利用三角形的面积公式表示出每个三角形的面积． 38．如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，取的中点M，连接． (1)求证：； (2)问与有何数量关系？写出你的结论并证明； (3)若点D在上运动，则四边形能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)能， 【分析】（1）由旋转的性质得出，．证明，由全等三角形的性质得出； （2）延长到，使，交于点，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）证出CM∥BE，若，则四边形是平行四边形，由全等三角形的性质及可列出关于的方程，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：证明：把绕点逆时针旋转得到线段， ，． 又， ， 在和中， ， ， ； （2）． 证明：延长到，使，交于点， ，， ， ， ，， ， 为的中点， ， 在的垂直平分线上， 又， 点在的垂直平分线上， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）四边形能形成平行四边形． ，， ， ， ∴CM∥BE， 若，则四边形是平行四边形， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 39．如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 【答案】(1)10 (2)当点P在线段上时，；点P在射线上时， (3)t的值为5或6或 (4)或 【分析】（1）过D点作于E，求出，中，利用勾股定理求解即可； （2）根据路程、速度、时间之间的关系即可求解； （3）分当， ， ，三种情况分别讨论，求出，再除以2即可求解； （4）当时，则，当时，则，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，D点作于E， ∴， 中，； （2）解：∵的长是10，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动， ∴点P从点A运动到点D需要5秒， ∴当点P在线段上时，； ∵点P再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动， ∴当点P在射线上时，； （3）解：∵点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动，当是等腰三角形时， 当时，， ∴； 当时，如图，则， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，则， 在中，，则， ∴， ∴， ∴； ∴t的值为5或6或； （4）如图，当时，则， ∴， 如图，当时，则， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定、勾股定理、一元一次方程、等腰三角形的判定等知识，解题关键是发现直角三角形，运用勾股定理以及分类讨论的思想． 40．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 【答案】(1) 存在点P的坐标，且P(0, )；(2)D运动2秒后四边形ABCD是平行四边形；(3) P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【分析】(1)过A点作关于y轴的对称点M，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P，求出BM解析式，再令y=0进而求出P点坐标； (2)只能是AC为一条对角线，BD为另一对角线，设D(m,0)，利用BD的中点与AC的中点为同一个点即可求解； (3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，再分成①AB为对角线；②AP为对角线；③AQ为对角线共三种情况分别求解即可． 【详解】解：(1)过A点作关于y轴的对称点M(-1，1)，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P， 如下图所示： 设直线BM的解析式为y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)， ，解之得， ∴直线BM解析式为， 令x=0，解得y=， ∴存在点P的坐标，且P(0, )， 故答案为：存在点P的坐标，使得PA+PB最小，此时P点坐标为(0, )； (2)当四边形ABCD是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD， 设D(m,0)，由中点坐标公式可知： 线段AC的中点坐标为，即， 线段BD的中点坐标为，即， 又线段AC与BD中点为同一个点， ∴，解得， 故四边形ABCD是平行四边形，D点的坐标为(2,0)，又速度为1个单位每秒， ∴经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：2秒； (3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)， 情况①：AB为对角线时，另一对角线为PQ， 线段AB的中点坐标为，线段PQ的中点坐标为， 又线段AB和线段PQ的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(4,0)，Q(0,3)； 情况②：AQ为对角线时，另一对角线为BP， 线段AQ的中点坐标为，线段BP的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(-2,0)，Q(0,1)； 情况③：AP为对角线时，另一对角线为BQ， 线段AP的中点坐标为，线段BQ的中点坐标为， 又线段AQ和线段BP的中点为同一个点， ∴，解得，故此时P(2,0)，Q(0,-1)； 综上所述，P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定、平行四边形的存在性问题等，熟练掌握判定法则及平行四边形的性质是解决本题的关键． 41．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，点E在射线DA上，在Rt△EFG中，∠EFG=90°，∠FEG=30°，EG=4，斜边EG始终经过点B，连接CF． （1）如图1，若点E与点A重合，请找出图中除矩形ABCD以外的平行四边形，并加以证明； （2）如图2，若点F在线段BC上，求BE的长； （3）如图3，连接CE，若点F在线段CE上，求DE的长．请写出求解的思路（可以不写出计算结果）． 【答案】（1）四边形CDBG是平行四边形 ，证明见解析；（2）BE=；（3）见解析 【分析】（1）证明△AGF≌△ACF，求得点C、F、G三点共线，因为CD∥BG，且CD=BG，即可证明四边形BGCD是平行四边形； （2）证明△EMF∽△FNP，得到求出PF，根据△GBF∽△GEP，得到即可算出BE长； （3）先求∠CDB=30°；证明△CBP∽△CEB，得出BC2=CP×CE，CP=；证明△BPC∽△DPE，得出，列出方程得出方程 即可求出DE的长． 【详解】 （1）四边形CDBG是平行四边形 如图1，连接AC 证明：在Rt△ABC中，tan∠CAB=， ∴∠CAB=60° 又∵∠GAF=30°， ∴∠GAF=∠CAF ∵AG=AC=4，∠GAF=∠CAF，AF=AF， ∴△AGF≌△ACF， ∴∠AFC=∠AFG=90°， ∴∠AFC+∠AFG=180°， ∴点C、F、G三点共线 ∵CD∥BG，且CD=BG， ∴四边形BGCD是平行四边形 （2）如图2，延长GF交AD于点P，过点P作PN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BC于点M 在Rt△EMF中，MF= ∵∠EFG=∠EFM+∠MFG=90°，∠EPN=∠EPF+∠FPN=90°， ∵ED∥BC ∴∠EPF=∠PFC=∠MFG ∴∠EFM=∠FPN ∴△EMF∽△FNP ∴， ∴PF= ∵ED∥BC ∴∠GBF=∠GEP，∠GFB=∠GPE ∴△GBF∽△GEP ∴， ∴BE= （3）如图3，连接BD与CE相交于点P 先求∠CDB=30°；再证明△CBP∽△CEB，得出BC2=CP×CE，CP=； 再证明△BPC∽△DPE，得出 得出方程 计算结果是 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质的综合应用，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解本题的关键． 42．在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是．    (1)如图1，当点恰好在上时，求的度数； (2)如图2，点是边中点． ①若时，求证：四边形是平行四边形； ②若，当三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②或 【分析】（1）由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求的度数； （2）①由旋转及点 斜边中点得，延长交于点，证明，从而得到四边形是平行四边形；②分两种情况：当在的延长线上时；当在的延长线上时，由直角三角形的性质及勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， 绕点顺时针旋转得到，点恰好在上， ，， ， ， ； （2）①证明：，点是边中点， ， ， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， 延长交于点，   ， 则， ， ， 四边形是平行四边形； ②当在的延长线上时，如图，过点作于，   ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当在的延长线上时，过点作，交的延长线于，   ， 同理可得， ， ， 综上所述，的面积为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质，斜边上的中线长度等于斜边长度的一半，角所对直角边长度为斜边长度的一半． 43．在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接． (1)如图，当点恰好在上时，求的大小； (2)如图，若，点是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图，若点为中点，求证：、、三点共线．求的最大值． 【答案】(1) (2)四边形是平行四边形，详见解析 (3)①详见解析；②4 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，，由“”可证，可得，即可求解； （3）通过证明点、点、点、点四点共圆，点，点，点，点四点共圆，可得，，可得结论； 由直角三角形的性质可求，由圆中直径最大可求解． 【详解】（1）解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 点是边中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，，， ，为等边三角形， ， ，，， ， ， ， 而， 四边形是平行四边形； （3）证明：如图，连接，，， 将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ，， 为中点， ， ， 而， 点、点、点、点四点共圆， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点三点共线； 解：在中，，，， ， 点、点、点、点四点共圆，， 是直径， 最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，圆的有关知识，平行四边形的判定，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 44．如图，在等边中，点D在直线BC上，连接AD，作，直线DN交射线AB于点E，过点C作交直线DN于点F． (1)当点D在线段BC上，为说角时，如图1，求证：； (2)当点D在线段BC的延长线上，为锐角时，如图2，则（1）中的结论还成立吗？如果成立请说明理由；如果不成立，请写出正确结论并说明理由； (3)当点D在线段CB的延长线上时，如图3，若，，则_____，______．（直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论不成立；CF＋CD＝BE；理由见解析 (3)8；8 【分析】（1）根据等边三角形的性质∠ABC＝∠ACB＝60°，根据已知条件得到∠1＋∠ADC＝120°，∠ADC＋∠2＝120°，根据等式的性质即可得到∠1＝∠2，证明△MEF≌△CDA，即可求得ME＝CD，通过证四边形BCFM是平行四边形可以得出BM＝CF，从而证得CF＋BE＝CD； （2）作，得出四边形BCFM是平行四边形，然后通过证得△MEF≌△CDA即可求得； （3）根据△ABC的面积可求得AB＝BC＝AC＝4，同时BD＝2AB＝8，求得BE＝8，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，过点F作交射线AB于点M， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∵∠ADN＝60°， ∴∠1＋∠ADC＝120°，∠ADC＋∠2＝120°， ∴∠1＝∠2， ∵， ∴四边形BMFC是平行四边形， ∴BC＝MF，CF＝BM， ∴∠ABC＝∠EMF，∠BDE＝∠MFE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BC＝AC， ∴∠EMF＝∠ACB，AC＝MF， ∴∠MFE＝∠DAC， 在△MEF与△CDA中 ， ∴△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD＝ME＝EB＋BM， ∴CD＝BE＋CF； （2）解：（1）中的结论不成立，CF＋CD＝BE， 如图2，过点F作交射线AB于点M， 由（1）证得四边形BMFC是平行四边形， ∴BC＝MF，CF＝BM， 由（1）证得△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD＝ME＝EB−BM， ∴CF＋CD＝BE； （3）解：如图所示， ∵△ABC是等边三角形，， ∴AB＝BC＝AC＝4， ∵∠ADC＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠BAD＝∠ADC＝30°， ∴BD＝AB＝4， ∴CD＝BD＋BC＝4＋4＝8， ∵∠ADN＝60°，∠ADC＝30°， ∴∠BDE＝90°， ∵∠DBE＝∠ABC＝60°， ∴∠DEB＝30°， 在Rt△BDE中，∠DEB＝30°，BD＝4， ∴BE＝2BD＝8， 综上，BE＝8，CD＝8， 故答案为：8；8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型六、平行四边形的性质与判定的综合 45．综合与实践 (1)【独立思考】如图1，点 D 是等边内一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接，试猜想线段与的数量关系，并说明理由： (2)【实践探究】如图2，将绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由： (3)【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）． 【答案】(1)；理由见解析 (2)平行四边形；理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转得出，，进而证明，，即可得出； （2）同（1）证出，推出，，结合（1）中得出的，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形； （3）将绕点B逆时针旋转至，连接交于R，可转化为，因此求出的长度即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， 绕点B逆时针旋转得到线段， ，， ， ， ， 又，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 同理（1）可得：是等边三角形，， ，， 由（1）知：，， ，， 四边形是平行四边形； （3）解：如图，将绕点B逆时针旋转至，连接交于R， 同（1）可证， ， ， ，， ，， ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，第三问难度较大，作出正确的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 46．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证可得，再证可得，然后再线段的和差和等量代换即可解答； （3）先求得,,再连接,则，当，即有最小值，再根据勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解：， ， 在和， ， ， ， （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∵ ． （3）解：如图：∵， ∴，, 连接， 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点E顺时针旋转得到线段， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点的轨迹为过点H且平行的直线， 过H作，其延长线角于M，过C作于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，即有最小值 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 47．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，过点A作于点F，根据直角三角形的性质得出，根据为等边三角形，得出，，证明，为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，根据中位线性质得出，即可得出结论； （3）根据等边三角形性质得出，，根据，利用三角形三边关系得出，且当、B、E三点共线时，等号成立，画出图形，先根据等边三角形性质求出，根据勾股定理得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：连接，过点A作于点F，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：；理由如下： 延长，取，连接，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点M为的中点， ∴， ∴； （3）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，绕点A逆时针旋转， ∴，且当、B、E三点共线时，等号成立， ∴当点E在线段上时，最小，如图所示： 过点D作于点N， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 此时， ∵点M为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，中位线的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 48．中，平分交于点E．已知，，．动点P从点E出发，沿方向匀速向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向匀速向点E运动，已点P，Q的运动速度都是，运动时间为，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. (1)求的长； (2)如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得．若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；     (3)如图2在运动过程中，以为边向下作等边三角形．通过操作发现点M的位置是固定的．请求出此时线段的长； (4)如图3，在运动过程中，以为边向下作等腰直角三角形，使得，．请先判断运动过程中，点M的位置是否发生变化.若M的位置不发生变化，请直接写出的长；若点M的位置发生变化，请直接写出点M的运动路经长． 【答案】(1) (2)存在； (3) (4)点M的位置发生变化；理由见解析；点M的运动路经长 【分析】（1）根据含30度直角三角形的性质进行求解即可； （2）根据题意得出，根据等腰三角形的判定得出，根据，得出； （3）连接，，证明，得出，，证明为等边三角形，得出点M为一个定点，，，过点M作于点F，根据含30度直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可； （4）过点M作，过点P作于点D，过点Q作于点G，过点C作于点H，过点M作于点F，证明，得出，，设，则，求出，得出，根据得出，说明随t的变化而变化，说明点M是变化的，且点M在平行于的直线上运动；根据t的取值范围求出点M运动的路径长即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：存在；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接，，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴点M为一个定点，，， ∴， 过点M作于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴． （4）解：点M的位置发生变化；理由如下： 过点M作，过点P作于点D，过点Q作于点G，过点C作于点H，过点M作于点F，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理得：，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 同理得：四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点M到的距离为定值， ∵， ∴， ∴ ， ∴随t的变化而变化， ∴点M是变化的，且点M在平行于的直线上运动； ∵， ∴， ∴的最小值为， 的最大值为， ∴点M运动的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 49．如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)______，______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 【答案】(1)10， (2)当点在上时，； 当点在上时， (3)的值为7或13 (4)或 【分析】本题考查图形的旋转，平行四边形的性质． （1）将绕着的中点旋转得到得，得四边形是平行四边形即可求解； （2）先表示出，再表示即可； （3）先表示出，再根据题意可得或，求解即可； （4）分两种情况，当时和当时，分别画出图形求解即可． 【详解】（1）解：将绕着的中点旋转得到 四边形是平行四边形 故答案为：10，； （2） ； （3） 当将四边形的周长分成两部分时 或 解得或 经检验，或是原方程的解 当将四边形的周长分成两部分时，或； （4）如图， 当时， 点与点关于对称 ； 如图， 当时， 点与点关于对称 ． 综上，的度数为或． 50．【问题背景】 （1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程． 【迁移应用】 （2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）见解析；（2），且，证明见解析；（3）． 【分析】（1）先证明得到，，然后利用勾股定理的逆定理证得，再利用勾股定理求得即可； （2）延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T．证明四边形是平行四边形得到，，然后证明得到，，进而证明是等边三角形．利用等边三角形的三线合一性质和含30度角的直角三角形的性质求解即可； （3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S．先证明得到且，进而可证明为等腰直角三角形，，则当时，最小值为的长，则最小值为，根据含30度角的直角三角形的性质求得，，，利用等面积法求得即可求解． 【详解】（1）解：延长至E，使，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴（勾股定理逆定理） ∴， ∴． （2），且． 证明： 延长到G，令，连接、、、，延长与相交于点H，与交于点T． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，（也可证得，）， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴（三线合一）且， ∴， ∴． （3）延长到Q，令，连接，延长与相交于点R，过点D作于点S． ∵，，， ∴， ∴且， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，． ∴当时，最小值为的长，则最小值为， ∵，，， ∴，，， 根据得， ∴最小值为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，在（3）中得到当时，最小值为的长，则最小值为是解答的关键． 51．【模型建构】 如图1，已知线段所在直线交于点，其所夹锐角为． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，点D，E分别在、延长线上，且，求证：． 方法一：过点作，且，连接将证明，转化为证明； 方法二：过点作，且，连接将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在中，为上一点，为延长线上一点，且，连接交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图6，在中，分别是边上的点，且于点，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到；方法一：如图1，过点作，且，连接证明四边形是平行四边形．得到，，再证明，，进而证明是等边三角形，利用等边三角形的性质得到即可． 方法二：如图2，过点作，且，四边形是平行四边形．证明得到再证明是等边三角形得到即可． （2）方法一：如答图3，过点作，且，连接证明四边形是平行四边形，得到，，再证明得到即可得结论； 方法二：如答图4，过点作，且，连接，证明四边形是平行四边形得到，，再证明 得到，进而求得即可； （3）如答图5，过点B作，且，连接作于点，证明四边形是平行四边得到，，进而，则，在中，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：（1）证明：， 方法一：如图1，过点作，且，连接 四边形是平行四边形． ，， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． ． 方法二：如图2，过点作，且， 连接 四边形是平行四边形． ． ，即． ． 是等边三角形． ． （2）方法一：如图3，过点作，且，连接 四边形是平行四边形． ，， 方法二：如图4，过点作，且，连接， 四边形是平行四边形． ，， （3）如图5，过点B作，且． 连接作于点， 四边形是平行四边形． ，， 在中，由勾股定理，得． 于点， ． 中，有． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质应用和全等三角形的性质，“一题多解”的方法运用是解答的关键． 52．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 【答案】(1) (2)4 (3)或或 【分析】（1）过点C作于点H，然后根据题意可得点，进而问题可求解； （2）由题意得，则有，当点D、E、P三点共线时，可知，然后问题可求解； （3）由题意可知当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分①当为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：过点C作于点H，如图所示：    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴； （2）解：如图所示， 由题意得：，是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 当点D、E、P三点共线时，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴当时，D、E、P三点在一条直线上； （3）解：由（2）及题意可知：， 当点P运动到的中点时，则有， 解得：， ∴， 当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则可分： ①当为对角线时，则根据平行四边形的性质可得，， ∴， ②当以为对角线时，即， ∴， ∴； ③当以为对角线时，即，，如图所示，过点M作于点N， ∴， ∴， ∴ ∴综上所述：当以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形时，则点或或． 【点睛】本题主要考查图形与坐标、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 53．已知是等边三角形。 (1)如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，交线段BC于点E，若，求线段的长； (2)如图2，将线段绕点A顺时针旋转α（）得到线段，连接，若的角平分线交线段的延长线于点M，连接，求证：； (3)如图3，以线段为斜边向线段右侧作等腰直角，若点P为内部一点，连接，并将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）过点E作于点F，则，，，则，在中，由勾股定理得，则，故由即可求解； （2）在延长线上截取，连接， 可得，，再证明， 得到，，故由三角形内角和定理可得，则，再证明，则，故是等边三角形，那么，由于，故； （3）以为斜边作等腰，连接，以为邻边构造平行四边形，连接，先证明，则，，，根据角度推导可得为等腰直角三角形，而，由勾股定理求得，同上可求，，由，当点P、D、G三点共线时，取得最大值，则点M在上，由题意得，，，故，在中，由勾股定理得，． 【详解】（1）解：过点E作于点F， ∵时等边三角形， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ （2）证明：在延长线上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为斜边作等腰，连接，以为邻边构造平行四边形，连接， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，而， ∴由勾股定理得，， 解得，， ∴， 在等腰中，， 同上可求，， ∵， 当点P、D、G三点共线时，取得最大值，则点M在上，如图， 由题意得，，而， ∴， ∴在中，由勾股定理得，． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，勾股定理解三角形，熟练掌握知识点，构造全等，平行四边形是解题的关键． 54．如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，，即可证明； （2）①如图，记的交点为，先求解，证明，再结合平行线的判定与平行四边形的判定可得结论；②设，求解，如图，过作于，求解，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，， ∴，， 在和中， ， ∴． （2）证明：如图，记的交点为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由对折可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形四边形是平行四边形； ②，理由见解析： ∵为等边三角形； ∴设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由对折可得：， ∵四边形四边形是平行四边形； ∴， ∴， 如图，过作于，而， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 55．等边 中，平分，为边上一点，且，连接． (1)如图1，取中点，连接，猜想：、数量关系_________；位置关系________； (2)如图3，把图2中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为中点，连接，问第（1）问中的结论还成立吗？若成立，请选一种情况证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质． （1）如图，延长至，使，由，推出是等边三角形，即可解决问题； （2）由“”可证，推出是等边三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，延长至，使，连接、、． ∵等边 ， ∴，， ∵平分， ， ， ， ∴， ∵中点， ∴， ，， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴是等边三角形， ，， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论成立． 证明：如图，延长至，使，连接、、、． 由（2）可知，， ， ， 即， ，， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴是等边三角形， ，， ∴， 故答案为：，；． 56．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质及判定，勾股定理，运用反证法是解题的关键． （1）连接，，当时，可推出，得到，从而四边形是平行四边形，根据，，代入，即可求解； （2）根据已知条件得出，由四边形是平行四边形得到，假设四边形是平行四边形，则，得到四边形是平行四边形，从而得到，，根据得到得．另外若四边形是平行四边形，平行且等于，从而四边形是平行四边形，由（1）可得此时，与当时，四边形是平行四边形相矛盾，即四边形不是平行四边形． 【详解】（1）解：连接，， ∵在中，， ∴， ∵ ∴当时，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 假设四边形是平行四边形，则，， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴ 又∵ ∴， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形， 若四边形是平行四边形，则，， ∵ ∴平行且等于 ∴四边形是平行四边形， 由（1）可得此时， 与当时，四边形是平行四边形相矛盾， ∴四边形不是平行四边形． 57．如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，延长交于点H，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)成立，理由见解析； (3)． 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交于G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）取线段的中点I，连接，先判断出，，延长至点N，使，连接，利用证明，可得出，，则是等边三角形，进而得出，． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：结论成立， 理由如下： 如图2，过点M作交于G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，    ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， 延长至点N，使，连接，    又，， ∴， ∴，， 又，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中线，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 58．如图，是的中线，，交于点，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线、交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证出，由，即可得出四边形是平行四边形； （2）过点作于点，作于点，连接，，由角平分线的性质得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，进而得出结论； （3）由平行四边形的性质得出，由（2）得出，过作于，连接，由直角三角形的性质得出，，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由勾股定理得出即，解方程即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ， 是的中线， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）如图，过点作于点，作于点，连接，， 平分，， ，， ， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即； （3）四边形是平行四边形， ， 由（2）得：， ， 如下图，过点作于，连接，   ， ， ， ，， ， ，， ， 在中， 由勾股定理得：即， 解得：， 的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含角的直角三角形的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型七、多边形的内外角度计算 59．如图，分别在四边形的各边上取中点，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ① ② ③ ④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质． 顺次连接，连接交于点，得，于是，证明，即可判断①；由对称性可得：，则，由，即可判定四边形是平行四边形，即可判断④；四边形是平行四边形，则，无法证明，即可判断②；四边形 四边形，四边形四边形，四边形四边形，得到，则，即可判断③． 【详解】解：如图，     顺次连接，连接，连接交于点， ∵分别在四边形的各边上取中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 由对称性可得：， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， 故④正确； 四边形是平行四边形， ∴， 无法证明， 故②不正确； 依题意，四边形四边形，四边形四边形， 由题意得，四边形是由移动得到的， ∵， ∴四边形可以看成是四边形以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转得到的， ∴， 即在同一条直线上，， ∴， 又∵四边形是由四边形移动后得到的， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∵， ∴四边形四边形， ∴， ∴， 故③正确； 故答案为：B． 60．如图，的度数为 ．    【答案】/360度 【分析】本题考查多边形的内角和及三角形内角和，连接，可得，，然后利用多边形的内角和即可求得答案，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ，， ， ． ， ． 答案为：．    61．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) (4)540； 【分析】（1）根据“三角形内角和是“，进行等量代换即可求解； （2）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （3）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （4）连接，构造三角形、四边形和“8”字模型即可求出七角星内角和，再根据五角星内角和，找出规律即可求出n角星内角和． 【详解】（1）解：，，， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴ ； （3）解：连接， 由（1）得：， 在中，， 即， 即五角星的五个内角之和为． （4）解：连接，如图所示， 由（1）可得，， ∴ ； ∵五角星内角和，七角星内角和， ∴“n角星”的n个内角的和为， 故答案为：540；． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和多边形内角和，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． 62．【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；② 【分析】（1）根据高线的定义可得，，证明即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理和平角的概念可得，，等量代换可得结论； （3）①延长交于，然后作等于，与的交点为即可；②如图④，连接并延长至F，根据三角形外角的性质求出，再根据对顶角相等和角平分线的定义证明，，进而求出，然后根据四边形的内角和定理列式整理即可． 【详解】解：（1）∵是边上的高，是中边上的高， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴点是的“一线三等角点” （2）∵在中，， 又∵，， ∴； （3）①如图所示：    ②如图④，连接并延长至F，      ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与的角平分线分别是，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形高线的定义，三角形内角和定理，尺规作一个角等于已知角，角平分线的定义，三角形外角的性质，四边形的内角和定理等知识，正确理解新定义，准确识别各角之间的关系是解题的关键． 63．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 64．在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 【答案】(1) (2)①见解析②或 【分析】本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是是解题的关键． （1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①首先由已知求出，，根据平角的定义得出，同理，根据四边形的内角和定理即可求解；②在中，由①得，根据题意分二种情况进行讨论：，，分别求解即可． 【详解】（1）解：，， 当时，，， ，， ，， ， ， ； 故答案为：； （2）①． 证明：，， 当时，，， ，， ，， ， 同理， ， ． ②由①得：，， 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： 当， ， ，则， ， ， ，， ， ； 当， ， ，则， ， ， ，， ， ． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 65．在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可； （2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可； （3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可． 【详解】（1）解：如图即为所求． （2）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵， ∴． （3）解：五边形ABCDE的内角和为， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∵CP平分，DP平分， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键． 题型八、正多边形的角度计算问题 66．如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【分析】正六边形的一个内角为，根据外角的定义有，，得，再讨论即可得的值． 【详解】解：∵正六边形的一个内角为， ∴， ∵为正边形的一个内角为度数， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则的值为3或4或5或6． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得． 67．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【答案】D 【分析】首先根据题意表示出外面正多边形的内角，然后得到圆环里面是以为边的正多边形，然后表示出里面正多边形的边数，根据边数是正整数求解即可． 【详解】如图所示，    ∵正n边形也能围成环状， ∴， ∴， ∴由题意可得，圆环里面是以为边的正多边形， ∴这个正多边形的外角为， ∴这个正多边形的边数为， ∴是正整数， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意． 综上所述，其他所有n的可能的值为6，8，12． 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的内角和外角，解题的关键是熟练掌握多边形的外角和等于360°． 68．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC=30°，∠B=∠BCD=120°，AB=BC， ∴∠BAC=∠BCA=30°， ∴∠ACD=90°， ∵CD=3， ∴AD=2CD=6， ∴图中阴影部分的面积=S四边形ADEF+S扇形DAD′-S四边形AF′E′D′， ∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处， ∴S四边形ADEF=S四边形AD′E′F′ ∴图中阴影部分的面积=S扇形DAD′= 故答案为：3π． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 69．（1）如图①，在中，分别以，为边向外作等边和等边，与交于点，求的度数； （2）如图②，在中，分别以，为边向外作正边形和正边形，与交于点，直接写出的度数：______．    【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等边三角形性质，推导得，通过证明，得；根据三角形内角和的性质计算，得，从而得到答案； （2）结合（1）的结论，得正多边形内角；根据正多边形的内角和性质计算，即可得到，再根据补角性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵等边和等边 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）根据（1）的结论：等边三角形内角，得正多边形内角 ∵正多边形内角和 ∴正多边形内角 ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、三角形内角和、多边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形内角和、多边形内角和、补角的性质，从而完成求解． 70．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 【答案】(1)72，36 (2)正三角形、正方形、正六边形 (3)，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形 【分析】本题考查平面镶嵌，涉及等边三角形的性质、正多边形的性质、图形类规律探究，理解平面镶嵌是解答的关键． （1）从图1中找到图2、图3菱形组成的部分，进而可求解； （2）只要正多边形的一个内角能整除即可； （3）先用边数表示出每个正多边形的内角，再根据一个顶点处的m个内角和为求解即可． 【详解】（1）解：由图1可知，，， ∴，， 故答案为：72，36； （2）解：∵正三角形的每个内角是，能整除， ∴全等的等边三角形能镶嵌成一个平面图案； 设正多边形的边数为n，则正多边形的每个内角为， ∵单独使用全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴能整除，又n为正整数， ∴或4或6， 故单独使用全等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面图案； （3）解：∵正n多边形的每个内角为， ∴正边形内角为，正边形内角为，…，正边形内角为， 由镶嵌条件，得， 则， ∴ 当时，， 若这4个正多边形都是正方形时，满足； 若这4个正多边形中，2个正方形，1个正三角形，1个正六边形，满足； 若这4个正多边形中，2个正三角形、2个正六边形时，满足， 综上，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形． 71．已知，正六边形，边长为6，G点以每秒为1的速度从上运动，不与E点重合，同时，点H以同样的速度从上运动，不与F点重合，连接交于点I； (1)求的度数． (2)如图1，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为J，当是的角平分线时，求证． (3)如图2，过B点作的平行线，交直线于点L，当G在运动的过程中，写出之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，见解析 【分析】（1）利用多边形内角和公式和正多边形性质进行计算即可； （2）由正六边形性质可得，根据点的运动路径和速度可得，可证，再根据是的角平分线，和是的角平分线，可得，可证，运用全等三角形性质可得结论； （3）分两种情况进行讨论：当点在上运动时，可得当点在上运动时，可得，综合可得结论． 【详解】（1）由多边形内角和公式得：， （2）如图1，∵正六边形，    ∵点均以每秒为1的速度同时分别沿着和上运动， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ， ； （3）①当点在上运动时， 始终有， ， ， ∴， 如图2，在上截取，使，    是等边三角形， 在和中， ， ②当点在上运动时，同样， ∴， 如图3，在射线上截取，使，    故是等边三角形， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理“三角形内角和为”，正多边形性质，角平分线定义，等边三角形判定“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”和性质全等三角形判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形． 72．阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA，PB，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1)如图2，猜想△APP′是否为直角三角形．并说明理由．并求出∠BPC的度数 (2)如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA，PB＝4，PC＝2，则求： ①∠BPC的度数； ②直接写出正六边形ABCDEF的边长． 【答案】(1)△APP′是直角三角形，理由见解析，135° (2)①120°；② 【分析】(1)由旋转的性质得出∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC，则得出△BPP′为等腰直角三角形，∠BP′P=45°，证出，可得出△APP′为直角三角形，据此即可求得∠BPC的度数； (2)①把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，根据旋转的性质得到∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC，则∠BP′P=∠BPP′=30°，得到P′H=PH，利用含30°的直角三角形三边的关系得到BH=BP′=2，，得到，再利用勾股定理的逆定理可得到△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°，即可求得∠BPC的度数；②过A作AG⊥BP′于G点，利用含30°的直角三角形三边的关系得到GP′=1，，然后在Rt△AGB中利用勾股定理计算出AB的长即可． 【详解】（1）解：猜想△APP′是直角三角形． 理由如下： 如图2，∵△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A， ∴∠P′BP=90°，BP′=BP=，P′A=PC=1，∠BP′A=∠BPC， ∴△BPP′为等腰直角三角形， ∴PP′=PB=2，∠BP′P=45°， 在△APP′中，，PP′=2，AP′=1， ∵， ∴， ∴△APP′为直角三角形，∠AP′P=90°， ∴∠BP′A=∠BPC=45°+90°=135°； （2）解：①.∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC=120°， ∵把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A， ∴∠P′BP=120°，BP′=BP=4，P′A=PC=2，∠BP′A=∠BPC， ∴∠BP′P=∠BPP′=30°， 如图3：过B作BH⊥PP′于H， ∵BP′=BP， ∴P′H=PH， 在Rt△BP′H中，∠BP′H=30°，BP′=4， ∴，， ∴， 在△APP′中，，，AP′=2， ∵， ∴， ∴△APP′为直角三角形，且∠AP′P=90°， ∴∠BP′A=30°+90°=120°， ∴∠BPC=120°， ②过A作AG⊥BP′于G点， ∴∠AP′G=60°，∠GAP′=30°， 在Rt△AGP′中，AP′=2， ∴，， 在Rt△AGB中，GB=GP′+P′B=1+4=5， ∴， 即正六边形ABCDEF的边长为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理与逆定理以及含30°的直角三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 73．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 【答案】（1）B；（2）正六边形；（3）；（4）①②或①④或②⑤（答案不唯一）；①②④或②④⑦；（5） 【分析】本题考查了平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，即得答案； （2）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （3）根据五边形的内角和等于，即可列方程，计算即得答案； （4）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （5）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）由题意，将n边形的内角和转化为三角形的内角和来计算，这种做法体现的一种数学思想是转化思想； 故选B． （2）当一个内角度数能整除时，这样的正n边形就可以进行平面密铺， 为整数， 当时，， 除“正三角形”“正方形”外，正六边形可以进行平面密铺； 故答案为：正六边形． （3）根据五边形的内角和可知， ，， ， 解得； （4）若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺； 正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ， 正三角形和正六边形能密铺； 正方形的每个内角是，正八边形的每个内角是， ， 正方形和正八边形能密铺； 故答案为：①②或①④或②⑤．（答案不唯一） 若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，只有两种情形： ， 正三角形，正方形和正六边形能密铺； ， 正方形，正六边形和正十二边形能密铺； 故答案为：①②④或②④⑦． （5）由题意可得， ． 故答案为：． 题型九、一次函数与平行四边形的综合问题 74．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)为延长线上一动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）由完全平方数的非负性和绝对值的非负性可得，解方程组即可求出与的值，进而求得点和点的坐标，然后求出，的长，最后利用三角形的面积公式即可求出的面积； （2）过点作轴于点，由垂线的性质可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等式的性质可得，利用可证得，于是可得，，设，则可用含的式子将和表示出来，于是得到点坐标为，设直线的解析式为，将，代入，可得，解方程组即可求出与的值，进而得到直线的解析式，令，即可求得直线与轴交点的坐标； （3）由及点坐标可得，设，然后分三种情况讨论：当是平行四边形的对角线时；当是平行四边形的对角线时；当是平行四边形的对角线时；分别利用平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标列出二元一次方程组，解方程组即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：，，， ， 解得：， ，， ， ， ， 的面积为； （2）解：如图，过点作轴于点， ， ， 将点绕点逆时针旋转得到点， ，， ， ， 由题意可知：， ， 在和中， ， ， ，， 设， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴交点的坐标为； （3）解：存在，点的坐标为：或或， ，点的坐标为， ， 又，，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， 设，然后分三种情况讨论： 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 当是平行四边形的对角线时， 由平行四边形的性质（对角线互相平分）及各顶点坐标可得： ， 解得：， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，解二元一次方程组，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，旋转的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，求一次函数的函数值，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 75．如图，在平面直角坐标系中，点在的负半轴上，点在的正半轴上，点在的正半轴上，，，，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为． (1)当点在边上，直接写出的长为______（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时， ①求的值； ②直接写出此时点，点的坐标； ③点在轴上，点在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)①1；②，；③，，． 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练利用参数构建方程，学会分类讨论是解题的关键． （1）证明可得结论； （2）①证明，构建方程求解； ②过点作于点，解直角三角形求出可得结论； ③分三种情况： 当点在下方时，在上方时，的对角线时分别求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ； ②在中，， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， 是等边三角形， ， ， ； ③当点在下方时， 过点做直线的平行线，与轴交于点，过点作的平行线，交于点，故四边形是平行四边形，， 由得， ， ， 过点作，则， ， ； 当点在上方时， 构成平行四边形，则， ，，点横坐标差，作垂直于轴， 可平移到，故， 点横坐标为， 在，， ， ， 在， ， ， 点纵坐标为， 故点坐标为； 当为对角线时，与重合，此时． 综上所述，，，． 76．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点到轴的距离为，直线交轴于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在边上，求点坐标； (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应，将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）由题意求得点的坐标，由直角三角形的性质可求得点 的坐标，由待定系数法即可求得直线的解析式； （2）由直线的表达式可求得点的坐标，则由勾股定理逆定理可判定，易得，由折叠的性质及即可求得点的坐标； （3）先求点的坐标，得点所在直线解析式，设点、点的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分性质、中点坐标公式及分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，点的纵坐标为，点在直线 上， 把代入得，， 解得， ∴，， ∵轴，，， ∴， ， 由勾股定理得, ∴， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴直线 的函数表达式为； （2）解：直线 的表达式为: ， 当 时，，则点 ， ， ，， ， ， ， 沿 折叠后,点 恰好落在 边上， ， ， ； 令 ，则 ， 根据 得：， 解得：， 故点 的坐标为 ； （3）解：由旋转性质知，，则， ∴关于轴对称，且与关于轴对称， ∴； ∵沿着直线平移， ∴点在平行于直线的直线（记为）上运动； 设解析式为，把点坐标代入得：， 得：， 即：； 当点在上运动时，设其坐标为；设； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 当为平行四边形的对角线时， 则， 解得：， ∴， 则； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，平行四边形的性质，平移、旋转及轴对称三大变换的性质，等腰三角形的判定，含30度直角三角形性质，勾股定理及逆定理等知识，涉及的知识点较多，综合性强，分类讨论． 77．如图，在平面直角坐标系中直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，过中点作直线轴． (1)求直线的解析式和的值； (2)点在直线上，当时，求点坐标； (3)点是直线上一动点，点是直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标． 【答案】(1)， (2)P点坐标为或 (3)Q点坐标为或或 【分析】（1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）先求出，设直线与x轴交于H，则，，利用勾股定理得到，则，即可得到，则，再由，可得当点P在下方时，点P一定在线段上，根据，得到，则，在中，当时，，则点P的坐标为；当点P在上方处时，同理可得，则，可得，同理可得点的坐标为；综上所述，点P的坐标为或； （3）设，，再分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形对角线时；③当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形的两条对角线的中点为同一点建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可得， 在中，当时，，在中，当时，， ∴， 如图所示，设直线与x轴交于H，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点P在下方时，点P一定在线段上， ∴此时有， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点P的坐标为； 当点P在上方处时，同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴点的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：∵，E为的中点， ∴ ∵，且直线经过点E， ∴直线即为直线； 设，， ①当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知： ， 解得， ； ②当为平行四边形对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知： ， 解得， ； ③当为平行四边形的对角线时，由平行四边形两点对角线的中点为同一点可知： ， 解得， ； 综上所述：Q点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 78．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28． (1)分别求点A、B、C的坐标． (2)若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，或或 【分析】（1），分别代入即可求得点B、A的坐标，再根据，即可求得，从而可求点C坐标； （2）先根据中点坐标公式求出中点，然后用待定系数法求解即可； （3）①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的左边时，③当为平行四边形的右边时，分别 求出点D的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A与轴交于点B ∴把代入解析式得：， ∴， 把代入解析式得：， ∴， ∴ ∵ 即，而， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵当点刚好运动到的中点时， ∴，， ∴ 设直线解析式为， 把，分别代入解析式得： ，解得：， ∴直线解析式为． （3）解：存在． ①如图，当为平行四边形的对角线时， ∵平行四边形， ∴，即， ∴， 把代入直线解析式，得， ∴， 又∵，且， ∴． ②如图，当为平行四边形的左边时， 同理， 把代入直线解析式，得， ∴ 又∵，且， ∴， ③如图，当为平行四边形的右边时，作轴于点， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴在和中，， ∴ ∴，即的纵坐标为 把代入直线解析式，得， ∴， 又∵， ∴ 综上，在x轴上存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形． 此时，点D的坐标为或或． 【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的三角形面积，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 79．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与x轴交于点，点是直线上的一个动点．    (1)直线的表达式为___________，并直接写出点的坐标___________； (2)若的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，当在轴上方时，过点作轴的垂线，交直线于点．是轴上一点，在直线找到，使以、、，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征求点和点坐标,再将点坐标代入一次函数即可求解； （2）过点作轴于，设点，则，根据可得的值，即可求解． （3） 【详解】（1）当时，，解得，则点坐标为； 当时，，则点坐标为； 将点坐标代入一次函数得：， 直线的表达式为， 当时，，解得，则点坐标为； 故答案为：，； （2）过点作轴于，    设点， ， 点坐标为，点坐标， ， ， ， ， 当时，；当时，， 存在，点的坐标为或； （3）在轴上方， ， 当时，， ， ， 设点，则， ， 当时，以、、，为顶点的四边形是以为边的平行四边形， ，解得：或， 当时，， 当时，，， ∴点的坐标为或. 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积，勾股定理，待定系数法，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 80．定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①或；②或； 【分析】（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“亮点”为，代入求得，进而代入求得即可； （3）①根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．②由点Q与边上的三点能构成平行四边形，如图，的临界位置为：，，再由直线（）过临界点求解的值即可得到答案； 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，即 解得， 一次函数的“亮点”为； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， 点又在上， ， 又， ， 解得， ； （3）①直线上没有“亮点”， 直线与平行， ， ，令，， 令，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即或， 解得或， 或； ②由①得：， 而点Q与边上的三点能构成平行四边形， 如图，的临界位置为：，， ∵点Q在直线（）上， ∴当过时， ∴， 解得：； 当过时， ∴， 解得：， ∴的取值范围为：或； 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，平行四边形的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 81．如图1，中，，，，交轴于点． (1)请直接写出的面积为 ； (2)如图2，点在轴上，连接，求证：； (3)如图3，点是轴正半轴上一个动点，是线段的中点，连接，点在轴正半轴上运动，当时，求此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】（1）求出，根据三角形的面积公式计算即可． （2）如图2中，作轴于，轴于，连接．利用全等三角形的性质求出点的坐标，再利用两点间距离公式求出，，，利用勾股定理的逆定理证明即可． （3）如图，延长到，使得，连接，．证明即可解决问题． 【详解】（1）解：， ， ，， ． 故答案为：； （2）证明：如图2中，作轴于，轴于，连接． ， ， ，， ， ，， ， ，，， ，，， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到，使得，连接，． ，， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 82．如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，坐标与图形变化—轴对称等等，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质对边平行且相等进行求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点D的坐标即可； （3）设出点P的坐标，然后分P、Q关于x轴对称和关于y轴对称两种情况，分别求出点Q的坐标，再根据点Q在直线进行求解即可； （4）分两种情况讨论：当点P在上时，由折叠的性质可得，，证明是等腰直角三角形，进而证明四边形是正方形，从而得到三点共线，则，即可求出．当点P在上时，证明，再利用两点距离公式求出点M坐标即可解题． 【详解】（1）解：∵轴，，点A的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵D的坐标为， ∴， 故答案为：，； （2）解：设直线的解析式为， 把，带入中得， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点G的坐标为； （3）解：设，且， 若点P关于x轴的对称点在直线上， ∴， 解得， 此时． 若点P关于y轴的对称点在直线上时， ∴，解得， 此时 综上所述，点P的坐标为或． （4）解：当点P在AB上时，如解图1 由折叠的性质可得，， ∵轴，轴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，即轴， ∴三点共线， ∴， ∴． 当点在上时，设直线的解析式为与x轴交点为，则， 如解图2，点落在轴上， 由折叠的性质可得，， ∵轴， ∴ ∴， ∴， 设点且，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴点 综上所述：点的坐标或 83．定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围． 【答案】(1)1或 (2) (3)①过定点，；②或且 【分析】（1）根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为．再分类讨论：当时和当时，求解即可； （2）根据题意可求出一次函数的衍生函数图象过点，即得出，从而得出一次函数的衍生函数为．由题意可知，，即可求出点、、的坐标分别为、、，进而可求出，，，结合三角形和梯形的面积公式可列出关于k的方程，解出k的值，即可求解； （3）①根据题意可得，代入并整理，得：，即说明过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和， 其解析式为：，且点在内．设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，结合图象可知时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意；点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，结合图象可知且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 【详解】（1）解：根据衍生函数的定义可知一次函数的衍生函数为． 分类讨论：当时，则，解得：； 当时，则，解得：． ∴或． 故答案为：1或； （2）解：根据题意得，当时，一次函数的衍生函数图象过点 代入得：，即， ∴一次函数的衍生函数为． ∵，， ∴，，， 解得：，，， ∴点、、的坐标分别为、、， ∴，， ∴， ． ∵， ∴， 解得：， 代入检验是方程的解， 将代入，解得， ∴该一次函数的解析式为； （3）解：①∵， ∴， 代入，得：， ∵当时，， ∴过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的衍生函数图象经过定点和， 其解析式为：，且点在内． 设衍生函数图象与轴的交点为，点沿轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，如图， 将代入， 解得：，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意； 点沿轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点，如图， ∴且时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． ∴当或且时，衍生函数图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，分式方程的实际应用等知识．理解衍生函数的定义，并利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． 试卷第2页，共225页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 平行四边形 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 题型一、利用平行四边形的性质求解………………………………………………3 题型二、平行四边形的折叠问题……………………………………………………38 题型三、平行四边形的旋转问题……………………………………………………53 题型四、三角形中位线的性质………………………………………………………67 题型五、平行四边形的构造与判定…………………………………………………99 题型六、平行四边形的性质与判定的综合………………………………………118 题型七、多边形的内外角度计算…………………………………………………162 题型八、正多边形的角度计算问题………………………………………………175 题型九、一次函数与平行四边形的综合问题……………………………………189 知识点1．平行四边形的概念 两组对边分别平行且相等的四边形叫平行四边形。 知识点2．平行四边形的性质 1）两组对边分别平行。 2）两组对边分别相等。 3）两组对角分别相等。 4）对角线互相平分。 知识点3．平行四边形的判定 1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 4）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 知识点4．三角形的中位线定理 1、三角形中位线：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线。 三角形中位线定理: 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。 知识点5．多边形的内角和与外角和 1、边形的内角和=； 2、边形的外角和=。 3、一个边形的对角线有条，过边形一个顶点能作出条对角线，把边形分成了个三角形。 题型一、利用平行四边形的性质求解 1．如图，在中，，，点F是上一个动点，以，为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下面给出四个结论： ①的面积先由小变大，再由大变小； ②的面积始终不变； ③线段的最小值为； ④． 其中说法正确的选项是（    ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④ 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，对角线经过坐标原点O，边与x轴交于点E，对E点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，是对角线，且，将沿方向向右平移得到，D、B对应点分别是A、E．点F是线段上（不含端点）的一个动点，连接，将线段绕点A 逆时针旋转至线段，使得旋转角，连接．当是等腰三角形时，的长为 ． 4．如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为 ． 5．如图，把平面内一条数轴绕原点逆时针旋转角得到另一条数轴，轴和轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，若点在轴上对应的实数为，点在轴上对应的实数为，则称有序实数对为点的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知，点的斜坐标为，点与点关于轴对称，则点的斜坐标为 ．（温馨提示：直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半） 6．如图，在平行四边形中，分别是边上动点．将四边形沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上，的对应点为，连接、，其中交于点．若，，，则的长度为 ． 7．如图，在平行四边形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为 ． 8．如图，在中，，F是中点，，垂足为G，延长线交于点H，，连接． (1)若，求的值； (2)求证：． 9．综合与探究 问题情境： 如图，在中，，连接，将绕点顺时针旋转一定角度（旋转角小于）得到，点的对应点分别为E，F．，分别与边交于点与边交于点． 数学思考： （1）当时，的度数为______． （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 深入探究： （3）当时，请直接写出四边形的面积． 10．平行四边形中，与交于点O．M为线段上一动点（不与点C重合），点N在射线上，连接． (1)如图1，若，当M是中点时，求的度数； (2)如图2，若． ①依题意补全图形； ②请用等式表示线段之间的数量关系并证明． 11．如图，为的对角线，，平分，点F为射线上一点． (1)如图1，当点F在的延长线上，且，连接与交于点G． ①求证：； ②若，求的长； (2)如图2，当点F在线段上，连接与交于点H，若，，试探究三条线段之间的数量关系． 12．如图，已知四边形为平行四边形，的平分线与相交于，与延长线相交于，过点分别作，的垂线，垂足为，． (1)求证：为等腰三角形； (2)如图，连接，且． ①求证：； ②若，，求的长． (3)如图，若，将线段绕点顺时针旋转至，连接、，请判断的形状，并说明理由． 13．如图1，中，，，，E为边上的一个动点，连接，过点E作交于点F，把沿着翻折得，连接． (1)证明：； (2)当时，求折痕的长； (3)当为等腰三角形时，求的长．    14．已知在平行四边形中，点F在边上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长． 15．已知中，，点E是延长线上一点，连接，在的右侧作，射线交射线于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交的延长线于点P，连接，若，，求的长． 题型二、平行四边形的折叠问题 16．如图，在中，，，，P为边上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B，C的对应点分别为，，过的中点E作交于点F，连接，若，则的面积是 ． 17．在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，过F作的垂线交于E，则 ．    18．如图，在平行四边形中，，，，点，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为 ． 19．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图（1），在中，F为的中点，E为边上一点，连接、，连接并延长交的延长线于G，若，试猜想与的位置关系，并加以证明． 【独立思考】 （1）请解答老师提出的问题． 【实践探究】 （2）希望小组受此问题的启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图（2），点C的对应点为，连接并延长交于点G，判断四边形的形状，并加以证明． 【问题解决】 （3）如图3，智慧小组突发奇想，将沿过点B的直线折叠，点A的对应点为，使于点H，交于点N，折痕交边于点M．该小组提出一个问题：若，，直接写出的面积． 20．综合与实践 【问题情境】 在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，P为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． 【分析探究】 （1）如图1，当，当点恰好落在边上时，的形状为______． 【问题解决】 （2）如图2，当P，Q为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点E．若的面积为18，，请直接写出线段的长． 21．综合与实践 综合与实践课上，王老师以“发现—探究—应用”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是王老师的课堂主题展示： 【问题情境】在平行四边形中，，，，E是的中点，连接，将沿折叠得到（点F不与点A重合），作直线交于点P． 【观察发现】 （1）如图1，若，则线段与的数量关系是______，位置关系是______． 【类比探究】 （2）在的值发生变化的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，请直接写出线段的长． 题型三、平行四边形的旋转问题 22．如图，为验证平行四边形的中心对称性，小明将两张全等的平行四边形纸片重叠在一起，． 将其中一张纸片绕它的中心旋转，当点A和点C的对应点和分别落在边和上时，，则的长是 ，两张纸片重合部分（阴影部分）的面积是 ． 23．如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 24．问题情景 已知与中，，同学们利用这样的两张平行四边形纸片开展操作实验，从中发现；许多有趣的数学问题，请你们和他一起探索．     拼图思考： （1）希望小组的同学将与按照如图1所示摆放，其中点B与重合，点落在边上，点落在边的延长线上，他们提出了如下问题，请你解答： ①求证：平分； ②求点之间的距离． 操作探究： （2）创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将绕点B沿顺时针方向旋转，连接，他们又提出如下问题： ①当线段与交于点P时，如图2，求证：点B在的垂直平分线上； ②在旋转的过程中，当点恰好落在线段的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写出此时点之间的距离． 25．【问题背景】如图1，在中，．将绕点逆时针旋转至，记旋转角，当线段与不共线时，记的面积为，的面积为．    【特例分析】如图2，当恰好过点，且点，，在同一条直线上时． （1）______°； （2）若，则______，______； 【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中，与之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路： 思路1：如图1，过点，分别作直线平行于，，两直线交于点，连接，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题； 思路2：如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题； …… （3）如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究与之间的等量关系为______，并说明理由． 【拓展应用】在旋转过程中，当为面积的时，的值为______    26．如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，为坐标原点，，，，将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形，点在的延长线上，点F落在x轴正半轴上．    (1)证明：是等边三角形； (2)平行四边形绕点逆时针旋转度．的对应线段为，点的对应点为． ①直线与轴交于点，若为等腰三角形，求点的坐标： ②对角线在旋转过程中设点坐标为，当点到轴的距离大于或等于时，求的范围． 题型四、三角形中位线的性质 27．已知，将绕点逆时针旋转到，使点的对应点落在直线上． (1)①依题意补全图1； ②若垂直，直接写出的值； (2)如图2，过作的平行线，与的延长线交于点，交于点，取的中点和的中点，写出线段与的数量关系，并证明． 28．已知，中，，点是斜边的中点，过点作，使得，，将绕点旋转一周，连接． (1)如图，当点在平分线上时，求证：； (2)如图，若，则在旋转过程中，的最大值是_______，最小值是_______； (3)到点P，使得，连接． ①如图，当，，三点共线时，是_______三角形； ②如图，当在上方且时，求证：是一个定值． 29．【问题背景】 小明遇到一个这样问题：如图1，两条相等的线段，交于点O，，连接，，求证：．通过尝试，他发现通过平移可以解决这个问题： 证明：过点C作，且使，连接． ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，即． （1）请完成证明中的两个填空、处的内容； 参考小明同学思考的方法，继续解决问题： （2）【类比运用】如图2，与相交于点，，，，，，求线段的长； （3）【联系拓展】如图3，的三条中线分别为，，．若的面积为10，则以，，的长为三边长的三角形的面积等于多少？ （请直接写出答案）． 30．如图1，在中，是的中点，点E在线段上，连结，作交直线于点，连结． 【初步尝试】 （1）如图2，当时，线段的长度是______，线段的长度是______． 【结论探究】 （2）如图3，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明． 如图，延长至G，使，连结． 【拓展应用】 （3）如图4，当点E在线段的延长线上时，连结，作交直线于点F，连结．请补全图形，并求出当时，线段的长． 31．中位线是三角形中的重要线段之一，在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以联想到构造三角形的中位线的方法求解决问题． 如图1，中，为的中点，于点，．求证：． 分析：由为的中点联想到构造三角形的中位线．如图，取的中点，连接，则是的中位线，则且，从而可得．要证，只需证即可． (1)请你根据上边分析，完成证明过程． (2)如图，在凸五边形中，，连接，，，点为的中点，连接，求证：． (3)如图，在等腰直角三角形中，，点为平面内任意一点，且，连接，点为中点，连接，当线段时，直接写出的面积． 32．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 33．在中，，，D为中点，，，在上取一点E，连接、、． (1)如图1，若，，求的面积； (2)如图2，若，求证； (3)如图3，在（1）的条件下，P为内部一点，且，．将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接交延长线于点N，G为线段上一个动点，连接，将沿所在直线翻折得到，连接，，当取最小值时，直接写出的值． 34．【基础探究】 （1）如图1，中，，，点在边上，点在边上，且，，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，，请直接写出线段与的数量关系； 【变式探究】 （2）如图2，中，，，中，，，，点在内部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）如图3，中，，，中，，，，点在外部，且，连接，点是的中点，点是的中点，点是的中点，连接， ①求证：； ②猜想线段与的数量关系，并说明理由． 35．如图1，在等腰三角形中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，N，P分别为，，的中点． (1)观察猜想 图1中，线段，的数量关系是 ，的大小为 ； (2)探究证明 把绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 36．如图1，与都是等腰直角三角形，直角边在同一条直线上，点M、N分别是斜边的中点，点P为的中点，连接． (1)观察猜想： 图1中，与的数量关系是______，位置关系是______． (2)探究证明： 将图1中的绕着点C顺时针旋转，得到图2，与分别交于点G、H，判断的形状，并说明理由． 题型五、平行四边形的构造与判定 37．（1）已知：如图（1）AD是△ABC中BC边的中线，则S△ABD=S△ACD，依据是_________ ． （2）如图2，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O．请找出图中面积相等的三角形：________________． （3）李明家有一块四边形田地，如图3所示．AE是一条小路，它把田地分成了面积相等的两部分（小路宽忽略不计）．在CD边上点F处有一口水井，为方便灌溉田地，李明打算过点F修一条笔直的水渠，且要求水渠也把整个田地分成面积相等的两部分（水渠宽忽略不计）．请你帮李明设计出修水渠的方案，作图并写出设计方案． 38．如图，在中，，点D是边上一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，取的中点M，连接． (1)求证：； (2)问与有何数量关系？写出你的结论并证明； (3)若点D在上运动，则四边形能否形成平行四边形？若能，请直接写出此时的长；若不能，说明理由． 39．如图，在四边形中，，点P先以每秒2个单位长度的速度由A向D运动，再以每秒4个单位长度的速度沿射线运动，点Q以每秒2个单位长度的速度由A向B运动．点P、点Q同时出发，当点Q到达终点时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)直接写出的长是________； (2)当点P在线段上时，________；当点P在射线上时，________；（用含t的代数式表示） (3)当是等腰三角形时，求t的值； (4)连结，以中两个顶点和点P、点Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t值． 40．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，2)． （1）如图1，在y轴上是否存在－点P，使PA＋PB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形； （3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标． 41．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=，点E在射线DA上，在Rt△EFG中，∠EFG=90°，∠FEG=30°，EG=4，斜边EG始终经过点B，连接CF． （1）如图1，若点E与点A重合，请找出图中除矩形ABCD以外的平行四边形，并加以证明； （2）如图2，若点F在线段BC上，求BE的长； （3）如图3，连接CE，若点F在线段CE上，求DE的长．请写出求解的思路（可以不写出计算结果）． 42．在中，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点分别是．    (1)如图1，当点恰好在上时，求的度数； (2)如图2，点是边中点． ①若时，求证：四边形是平行四边形； ②若，当三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 43．在中，，，，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点，的对应点分别是，，连接． (1)如图，当点恰好在上时，求的大小； (2)如图，若，点是的中点，判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)如图，若点为中点，求证：、、三点共线．求的最大值． 44．如图，在等边中，点D在直线BC上，连接AD，作，直线DN交射线AB于点E，过点C作交直线DN于点F． (1)当点D在线段BC上，为说角时，如图1，求证：； (2)当点D在线段BC的延长线上，为锐角时，如图2，则（1）中的结论还成立吗？如果成立请说明理由；如果不成立，请写出正确结论并说明理由； (3)当点D在线段CB的延长线上时，如图3，若，，则_____，______．（直接写出答案，不需要证明） 题型六、平行四边形的性质与判定的综合 45．综合与实践 (1)【独立思考】如图1，点 D 是等边内一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接，试猜想线段与的数量关系，并说明理由： (2)【实践探究】如图2，将绕点C顺时针旋转，得到线段，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由： (3)【拓展延伸】如图3，设，连接，求的最小值（直接写出答案）． 46．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 47．为等腰三角形，，，为等边三角形，连接，点M为的中点，将绕点A逆时针旋转． (1)如图1，当点E在上且时，连接，求线段的长； (2)如图2，连接，，在绕点A旋转的过程中，猜想与的数量关系，并证明你的结论； (3)连接，，在绕点A逆时针旋转过程中，当线段的长度最小时，请直接写出的面积． 48．中，平分交于点E．已知，，．动点P从点E出发，沿方向匀速向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿方向匀速向点E运动，已点P，Q的运动速度都是，运动时间为，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动. (1)求的长； (2)如图1，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得．若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由；     (3)如图2在运动过程中，以为边向下作等边三角形．通过操作发现点M的位置是固定的．请求出此时线段的长； (4)如图3，在运动过程中，以为边向下作等腰直角三角形，使得，．请先判断运动过程中，点M的位置是否发生变化.若M的位置不发生变化，请直接写出的长；若点M的位置发生变化，请直接写出点M的运动路经长． 49．如图1，在中，，将绕着的中点旋转得到，点为的中点．点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)______，______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值． (4)如图2，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数． 50．【问题背景】 （1）在数学课上，老师出示了这样一个问题：“如图1，在中，是边上的中线，，，，求的长．”经过小组合作交流，有同学提出以下思路：延长至E，使，连接，请在此基础上完成求解过程． 【迁移应用】 （2）如图2，是等边三角形，点D是平面上一点，连接，将绕点D沿逆时针方向旋转得到，连接，点E是中点，连接．判断与的数量关系与位置关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，若，点M、N分别是上的动点，且满足，连接，点P为中点，连接，求线段的最小值． 51．【模型建构】 如图1，已知线段所在直线交于点，其所夹锐角为． 小明在学习了平移之后，将图1中的线段其中的一条线段经过不同的平移变换后，得到以点其中三个点为顶点（另一个顶点在平面内）的多个平行四边形．例如：图2是将线段沿方向平移线段的长度得到，图3是将线段沿方向平移线段的长度得到． 【模型应用】 （1）小明受到上述模型建构的启发，运用两种方法构造出平行四边形解决下面问题： 如图4，在中，，点D，E分别在、延长线上，且，求证：． 方法一：过点作，且，连接将证明，转化为证明； 方法二：过点作，且，连接将证明，转化为证明． 请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程； （2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用【模型建构】构造平行四边形的方法或者按照自己放思路解答下面问题： 如图5，在中，为上一点，为延长线上一点，且，连接交于点，求的度数； 【学以致用】 （3）如图6，在中，分别是边上的点，且于点，若，求的长． 52．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边边，，，P、Q分别是边、上的动点，点P以每秒2个单位的速度从点C向点B运动，同时点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动，当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点B的坐标为___________； (2)连接、交于点E，过Q点作于D，当___________时，D、E、P三点在一条直线上； (3)当点P运动到的中点时，在平面内找一点M，使得以C、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为___________. 53．已知是等边三角形。 (1)如图1，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，交线段BC于点E，若，求线段的长； (2)如图2，将线段绕点A顺时针旋转α（）得到线段，连接，若的角平分线交线段的延长线于点M，连接，求证：； (3)如图3，以线段为斜边向线段右侧作等腰直角，若点P为内部一点，连接，并将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，若，当最大时，请直接写出的值． 54．如图，在等边中，点D、E分别是、边上的一点（点D不与端点重合），且，，连接、． (1)求证：； (2)将沿翻折，得到．在上取一点O，使，延长交于点P． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，试求线段和之间的数量关系，并证明． 55．等边 中，平分，为边上一点，且，连接． (1)如图1，取中点，连接，猜想：、数量关系_________；位置关系________； (2)如图3，把图2中的绕点顺时针旋转任意角度，然后连接，点为中点，连接，问第（1）问中的结论还成立吗？若成立，请选一种情况证明；若不成立，请说明理由． 56．如图四边形是平行四边形，点P为边上一动点，连接并延长交的延长线于点M，过M作，垂足是 N，连接，，设点 P 运动时间为t（s）解答下列问题： (1)若，，，点 P 从点A 出发沿方向运动速度为．当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在（1）的条件下是否存在某一时刻t，使四边形是平行四边形？若存在求出相应的t的值；若不存在请说明理由． 57．如图，是的中线，是线段上一点(不与点A重合)．交于点，，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (3)如图3，延长交于点H，若，且，求的度数． 58．如图，是的中线，，交于点，且． (1)如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，在（1）的条件下，，设对角线、交于点O，过点O作交的角平分线于点Q．与交于P点．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 题型七、多边形的内外角度计算 59．如图，分别在四边形的各边上取中点，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ① ② ③ ④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 60．如图，的度数为 ．    61．“8”字模型是初中数学中常见模型之一，掌握了这种模型，给同学们解答几何题带来很大的便捷． (1)初识模型：如图1，是我们常见的“8”字模型图，它的结论是，请你给予证明． (2)模型求解：如图2，线段在四边形内部，连接、，相交于点O，请借助“8”字模型的结论求：的度数． (3)构造模型：如图3，是我们常见的“五角星”，请你添加辅助线，借助于“8”字模型求出的度数． (4)模型应用：我们可以利用连接多边形的某些对角线画出类似于“五角星”的“六角星”、“七角星”、“八角星”等，如图4“七角星”的七个内角和：________；猜测“n角星”的n个内角的和为_________（用含n的式子表示）． 62．【新知情境】如图1，在中，，点分别在上．若边上存在一点，满足，则称点是的“一线三等角点”．    【理解新知】 （1）如图2，在中，，是边上的高，是中边上的高．求证：点是的“一线三等角点”； （2）如图1，在“新知情境”的条件和结论下，求证：； 【操作探究】 （3）如图3，在中，，点分别在上．点在内，且．    ①由于点不在上，所以点不是的一个“一线三等角点”．小明想沿着方向，将平移到上，使得点的对应点为点，平移后的的边与的交点为点．请用无刻度的直尺和圆规作出；（不写作法，保留清晰的作图痕迹，标明字母） ②如图4，若，与的角平分线所在直线交于点．直接写出与之间的数量关系． 63．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 64．在四边形中，O在其内部，满足，． (1)如图1，当时，如果，直接写出的度数______； (2)当时，M、N分别在、的延长线上，下方一点P，满足，， ①如图2，判断与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段、交于点Q，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出的度数为______． 65．在五边形ABCDE中，，，． (1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线； (2)如图②，若比小，求出的度数； (3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数． 题型八、正多边形的角度计算问题 66．如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 67．题目：“如图，用10个全等的正五边形依次排列可以围成环状．若改为正n边形若干个也能围成环状，除了外，请求出其他所有n的可能的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（    ）    A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 68．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕点A顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是 ． 69．（1）如图①，在中，分别以，为边向外作等边和等边，与交于点，求的度数； （2）如图②，在中，分别以，为边向外作正边形和正边形，与交于点，直接写出的度数：______．    70．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 71．已知，正六边形，边长为6，G点以每秒为1的速度从上运动，不与E点重合，同时，点H以同样的速度从上运动，不与F点重合，连接交于点I； (1)求的度数． (2)如图1，是的角平分线，过点作的垂线，垂足为J，当是的角平分线时，求证． (3)如图2，过B点作的平行线，交直线于点L，当G在运动的过程中，写出之间的数量关系，并给出证明． 72．阅读下列材料：问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA，PB，PC＝1，求∠BPC的度数．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连接PP′．请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1)如图2，猜想△APP′是否为直角三角形．并说明理由．并求出∠BPC的度数 (2)如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA，PB＝4，PC＝2，则求： ①∠BPC的度数； ②直接写出正六边形ABCDEF的边长． 73．阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： （1）上文中“对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，这种做法体现的一种数学思想是________；（填字母代号即可） A．数形结合思想；B．转化思想；C．方程思想 （2）除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形________； （3）图5是图4中的一个基本图形，若，，求的度数． 拓展延伸： （4）现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是_____________；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是______________．（填数字序号即可） （5）用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是________． 题型九、一次函数与平行四边形的综合问题 74．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且，满足：． (1)求的面积； (2)为延长线上一动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接、、，求直线与轴交点的坐标； (3)在（2）的条件下，当时，在坐标平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 75．如图，在平面直角坐标系中，点在的负半轴上，点在的正半轴上，点在的正半轴上，，，，动点从点出发，以2个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，另一边与折线相交于点，以为边作菱形，点在线段上．设点的运动时间为． (1)当点在边上，直接写出的长为______（用含的代数式表示）； (2)当点落在边上时， ①求的值； ②直接写出此时点，点的坐标； ③点在轴上，点在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 76．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点到轴的距离为，直线交轴于点，． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点为线段上一点，将沿折叠后，点恰好落在边上，求点坐标； (3)如图3，将绕点逆时针方向旋转，得到，使点与点对应，点与点对应，将沿着直线平移，点为直线上的动点，是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 77．如图，在平面直角坐标系中直线与直线交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，过中点作直线轴． (1)求直线的解析式和的值； (2)点在直线上，当时，求点坐标； (3)点是直线上一动点，点是直线上一动点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标． 78．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于C，且面积为28． (1)分别求点A、B、C的坐标． (2)若点M是线段上的一个动点，当M刚好运动到的中点时，求直线的解析式． (3)在（2）的条件下，点E为直线上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 79．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与x轴交于点，点是直线上的一个动点．    (1)直线的表达式为___________，并直接写出点的坐标___________； (2)若的面积为18，求点坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，当在轴上方时，过点作轴的垂线，交直线于点．是轴上一点，在直线找到，使以、、，为顶点的四边形是以为边的平行四边形，请直接写出点的坐标． 80．定义：我们把一次函数（）与正比例函数的交点称为一次函数（）的“亮点”．例如求的“亮点”，联立方程：，解得，则的“亮点”为（，1）． (1)由定义可知，一次函数的“亮点”为________． (2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值． (3)若直线（）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“亮点”． ①点P在x轴上，使，求满足条件的点P的坐标． ②点Q在直线（）上，若点Q与边上的三点能构成平行四边形，请直接写出n的取值范围． 81．如图1，中，，，，交轴于点． (1)请直接写出的面积为 ； (2)如图2，点在轴上，连接，求证：； (3)如图3，点是轴正半轴上一个动点，是线段的中点，连接，点在轴正半轴上运动，当时，求此时的值． 82．如图，已知平行四边形，轴，，点A的坐标为，点D的坐标为，点B在第四象限，点P是平行四边形边上的一个动点．    (1)点B的坐标为_________；点C的坐标为________； (2)点G是与y轴的交点，求点G的坐标； (3)若点P在上，点P关于坐标轴对称的点Q落在直线上，求点P的坐标； (4)若点在折线上，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，它们交于点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在坐标轴上，直接写出此时点的坐标． 83．定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则 ； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式． (3)一次函数（，k、b为常数），其中k、b满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与恰好有两个交点，求b的取值范围． 试卷第2页，共225页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$