第五章 分式与分式方程（6大题型78题）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第五章 分式与分式方程 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、分式的意义……………………………………………………………………4 类型二、分式的求值问题………………………………………………………………10 类型三、分式的乘除法运算……………………………………………………………20 类型四、分式的加减运算的应用…………………………………………………………33 类型五、解分式方程背景下的综合问题…………………………………………………57 类型六、分式方程的实际应用问题………………………………………………………75 知识点1．分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 知识点2．与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（） ②分式无意义：分母为0（） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点3．分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即： 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点4．分式的约分 1)．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2)．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3)．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4)．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 知识点5．分式的通分 1)．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2)．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 知识点6．分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为： 2.分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 知识点7．分式的加减法则： 1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： 2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： 3）两种类型：一是分式间的加减；二是整式与分式的加减（整式的分母为1） 注意：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 知识点8．分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点9．分式方程 1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程 2.解分式方程的步骤： （1）能化简的先化简 （2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） （3）解整式方程，得到整式方程的解。 （4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 知识点10．列分式方程——基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样） 1. 审—仔细审题，找出等量关系。 1. 设—合理设未知数。 1. 列—根据等量关系列出方程（组）。 1. 解—解出方程（组）。注意检验 1. 答—答题。 类型一、分式的意义 1．已知，则的值 ． 2．设有三个互不相等的有理数，既可表示为-1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则的值为 ． 3．当x取 时，分式有意义． 4．下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0；③若分式的值为0，则x的值为±3；④分式的值为整数，则整数x的值有6个；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其中错误的有 ．（填序号） 5．下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是 6．已知 （1）求实数的值； （2）若的整数部分为，小数部分为 ①求的值； ②已知，其中是一个整数，且，求的值． 7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 类型二、分式的求值问题 8．已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为4048； ②当时，若，则x的取值范围是或； ③当时，若p、q为自然数，且整式所有项的系数和不超过10，则的值有9种可能． 以上说法正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（    ） A． B．2 C．4 D．12 12．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 13．已知，，则的值为 ． 14．当正整数 时，分式的值也是正整数． 15．已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 组． 16．阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 17．阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 类型三、分式的乘除法运算 18．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 19．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 21．如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则 （用含k的代数式表示）． 22．若，．则的值为 23．已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 24．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 25．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ． 26．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 27．化简，并判断当x满足不等式时该代数式的符号． 28．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 29．观察下列各式： ， (1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________； (2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，； (3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值． 类型四、分式的加减运算的应用 30．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 31．已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 32．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为以此类推，第n个数记为（为正整数）．已知，并规定：，以下结论中，正确的个数为（    ） ①；     ②若，则； ③若（为正整数）且，则的值为3； ④若的值为正整数，则满足条件的整数共有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 33．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 34．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作） 操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，） 操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）； 操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推） 将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论： ①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）· 以上说法中，正确的个数为（    ）· A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 35．有两块小麦试验田，其中甲试验田是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为的正方形．去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦．为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收1号”和“丰收2号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为． (1)去年的单位面积产量为 ；（用含的代数式表示） (2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多．根据上述信息，请判断杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由． 36．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 37．阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 38．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 39．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 40．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 41．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 42．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 类型五、解分式方程背景下的综合问题 43．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 44．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 45．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 46．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 47．若关于x的分式方程无解，则实数 ． 48．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 49．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ． 50．（1）解方程：             (2)关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 51．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 52．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 53．已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 54．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 55．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即． (1)点的“3之立信点”的坐标为________． (2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值； (3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值． 56．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 57．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 类型六、分式方程的实际应用问题 58．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．科幻题材《三体》首次影视化改编受到了观众的一致好评，其中大量的逼真特效镜头让网友大呼：科幻元年来了！所有的特效镜头全部由甲、乙、丙三家特效公司完成．三家公司共有8个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数之比为．为了更好的呈现特效效果，三家公司均增加渲染组组数，减少每组工作量．甲公司渲染组增加1倍，乙与丙公司共增加4个渲染组．增加组数后，甲公司每组每天渲染镜头数比原来的一半少2个，乙、丙两个公司每组每天渲染镜头数都减少了4个，这样三家公司每天渲染镜头数总数比原计划多18个，甲公司每天渲染镜头数与三家公司每天渲染总镜头数之比为，则原计划三家公司每天渲染镜头总数为 ． 60．二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ． 61．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为的面积为． (1)若点的横坐标为． 求的值； 当点在线段上时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)当，且时，线段的长为______． 62．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各．若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 63．如图，点在直线上，直线上有一点； (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； (2)过点P作轴，过点Q作轴，垂足分别是A、B．如果的面积是面积的，请求出k的值； (3)在（2）的条件下，线段与直线相交于点G，直线上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 64．已知直线交x轴于点，交y轴于点，点． (1)直接写出直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上第一象限内一点，且，求P点坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 65．已知点A在轴正半轴上，以为边作等边，，其中是方程的解． (1)求点A的坐标； (2)如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求的度数； (3)如图2，，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围． 66．某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 67．如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动． (1)求P、Q两点的运动速度； (2)当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）； (3)设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围． 68．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 69．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 70．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 71．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 72．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 73．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 74．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 75．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 76．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 77．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 78．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 试卷第132页，共134页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、分式的意义……………………………………………………………………4 类型二、分式的求值问题………………………………………………………………10 类型三、分式的乘除法运算……………………………………………………………20 类型四、分式的加减运算的应用…………………………………………………………33 类型五、解分式方程背景下的综合问题…………………………………………………57 类型六、分式方程的实际应用问题………………………………………………………75 知识点1．分式的定义： 一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母。 知识点2．与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（） ②分式无意义：分母为0（） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（或） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（或） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 知识点3．分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即： 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点4．分式的约分 1)．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2)．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3)．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4)．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 知识点5．分式的通分 1)．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2)．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 知识点6．分式的乘除法法则： 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为： 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为： 2.分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为： 知识点7．分式的加减法则： 1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为： 2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为： 3）两种类型：一是分式间的加减；二是整式与分式的加减（整式的分母为1） 注意：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。 知识点8．分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序 先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。 注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。 加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点9．分式方程 1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程 2.解分式方程的步骤： （1）能化简的先化简 （2）去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） （3）解整式方程，得到整式方程的解。 （4）检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 知识点10．列分式方程——基本步骤：审，设，列，解，答（跟一元一次不等式组的应用题解法一样） 1. 审—仔细审题，找出等量关系。 1. 设—合理设未知数。 1. 列—根据等量关系列出方程（组）。 1. 解—解出方程（组）。注意检验 1. 答—答题。 类型一、分式的意义 1．已知，则的值 ． 【答案】为-1或3 【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3． 【详解】∵， ∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0， ∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am， ∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)， ∴(a+b+c+d）(m-3)=0， 当a+b+c+d=0时， a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a， ∴m=-1； 当a+b+c+d≠0时， m-3=0，m=3， 综上，m=-1或m=3． 故答案为：为-1或3． 【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件． 2．设有三个互不相等的有理数，既可表示为-1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则的值为 ． 【答案】-1 【分析】由题意三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式，可知这两个三数组分别对应相等．从而判断出、的值．代入计算出结果． 【详解】解：三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式， 这两个三数组分别对应相等． 、中有一个是0，由于有意义，所以， 则，所以、互为相反数． ， ∴ ∴，． ∴． 故答案是：-1． 【点睛】本题考查了有理数的概念，分式有意义的条件，有理数的运算等相关知识，理解题意是关键． 3．当x取 时，分式有意义． 【答案】x≠0且x≠±1 【分析】要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x的不等式组，解不等式组即可求得x的取值范围． 【详解】由题意可知，只有当：时，原分式才有意义，解得：，即当x≠0且x≠±1时，原分式有意义．     故答案为x≠0且x≠±1． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可．本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x是的分母，所以x≠0；  x﹣是的分母，所以x﹣≠0；1﹣又是整个分式的分母，因此1﹣≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现． 4．下列结论：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第四象限；②若÷有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0；③若分式的值为0，则x的值为±3；④分式的值为整数，则整数x的值有6个；⑤若已知（x﹣2）x-5＝1，则整数x的值是3或1或﹣5，其中错误的有 ．（填序号） 【答案】①②③④⑤ 【分析】①根据象限点的坐标特征判断即可； ②根据分母不为0，除式不为0，确定出所求即可； ③根据分式值为0的条件：分母不为0，分子为0，判断即可； ④分式变形后，根据分式值为整数，确定出整数x的值，判断即可； ⑤根据底数为1或﹣1，指数为0三种情况判断即可． 【详解】解：①在平面直角坐标系中，点（﹣1，5）在第二象限，符合题意； ②若÷有意义，则x的取值范围是x≠3且x≠0且x≠﹣5，符合题意； ③若分式的值为0，则x的值为3，符合题意； ④分式＝＝3+的值为整数，则整数x的值有2个，符合题意； ⑤若已知＝1，则整数x的值为3或1或5，符合题意， 则错误的有①②③④⑤． 故答案为：①②③④⑤． 【点睛】本题考查分式的取值以及幂的性质，掌握分式的基本性质以及负整数指数幂和零指数幂是解决问题的关键，注意1的任何次方、任何一个不为0的数的零指数幂、-1的偶数次方都是1． 5．下列结论：①不论为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是x≠﹣2且x≠0．其中正确的是 【答案】①③ 【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可． 【详解】①正确．∵a不论为何值不论a2+2＞0，∴不论a为何值都有意义； ②错误．∵当a=﹣1时，a2﹣1=1﹣1=0，此时分式无意义，∴此结论错误； ③正确．∵若的值为负，即x﹣1＜0，即x＜1，∴此结论正确； ④错误，根据分式成立的意义及除数不能为0的条件可知，若有意义，则x的取值范围是即，x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此结论错误． 故答案为①③． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，解答此题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解． 6．已知 （1）求实数的值； （2）若的整数部分为，小数部分为 ①求的值； ②已知，其中是一个整数，且，求的值． 【答案】（1）；；（2）①；② 【分析】（1）根据分式的值为0，分子为0且分母不能为0，可得和，再依据“0+0”型可求得a和b的值； （2）根据（1）中b的值，可得的整数部分和小数部分，①将x和y的值代入即可求值；②估算的大小，再根据是一个整数，且，可得k和m的值，由此可得的值． 【详解】解：（1）∵， ∴且， ∴，且， 即； （2）∵， ∴，即的整数部分为4，小数部分为， ①； ②∵， ∴， 又∵，是一个整数，且， ∴， ∴． 【点睛】本题考查分式为0的条件，算术平方根的整数部分和小数部分，不等式的性质，绝对值和算术平方根的非负性．（1）中掌握分式的值为0，分子为0且分母不为0是解题关键；（2）中理解一个数的整数部分+小数部分=这个数是解题关键． 7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式， 解：∵，∴可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2） 解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． 问题：（1）一元二次不等式的解集为______． （2）求分式不等式的解集． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）仿照例题进行解答即可； （2）先利用分式的基本性质将分式转换成整式，然后仿照例题解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴可化为， 根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得 ①或② 解不等式组①，得，解不等式组②，得， 故的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或； （2）∵ ∴（5x+1）（2x-3）＜0 根据有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，可得： ①或② 解不等式组①，得， 解不等式组②，发现无解， 故（5x+1）（2x-3）＜0的解集为， 即分式不等式的解集． 【点睛】本题考查了解一元二次不等式和解分式不等式，根据例题总结解答方法和掌握分类讨论思想是解答本题的关键． 类型二、分式的求值问题 8．已知多项式，多项式． ①当时，代数式的值为4048； ②当时，若，则x的取值范围是或； ③当时，若p、q为自然数，且整式所有项的系数和不超过10，则的值有9种可能． 以上说法正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，整式的加减运算，求一元一次不等式的解集：当时，得到，将变形后，整体代入法求值，判断①；将代入，得到，分两种情况讨论求解，判断②；把代入，求得整式所有项的系数和为，根据p、q为自然数，系数和不超过10，进行求解，判断③． 【详解】解：当时，， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ， ∵， ∴， 当，即：时，，解得：， ∴； 当，即：时，，解得：， ∴， 综上：x的取值范围是或；故②正确； 当时，， ∴ ∴， ∵p、q为自然数， ∴，，，，，，，，，，，， ∴，共7组，故③错误； 故选C． 9．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（为正整数）．已知，并规定：，如：，以下结论中，正确的个数为（   ） ①； ②若，则； ③若，则； ④若的值为整数，则满足条件的整数共有6个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了数学式子的规律，分式的整数解，因式分解，约分，分式的化简求值，熟练掌握规律的发现，分式的化简求值，求分式的整数解是解题的关键．根据，，得到，，，，，，发现是6个数为一个周期，循环出现，依次规律，计算解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴发现是6个数为一个周期，循环出现， ∵， ∴, 故①错误； ∵， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴，，，， ∴满足条件的整数共有8个． 故④错误， 故选：A． 11．如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数m的和是（    ） A． B．2 C．4 D．12 【答案】C 【分析】解不等式组，结合其解集得出m≤4；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案． 【详解】解：解不等式＞0，得：x＞m， 解不等式﹣x＜﹣4，得：x＞4， ∵不等式组的解集为x＞4， ∴m≤4， 解方程组得， ∵x，y均为整数， ∴m＝4或m＝8或m＝2或m＝﹣2， 又m≤4， ∴m＝4或m＝2或m＝﹣2， 则符合条件的所有整数m的和是4， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组以及求分式的整数值的能力，并据此得出m的最终取值． 12．若x为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的x的值有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】先化简分式，若的值为整数即的值为整数，故（x-2）为4的因数，由此确定整数x的值. 【详解】原式＝， 因为x为整数，分式的值也为整数，且x≠-2， 所以分式的值分别为﹣2、﹣4、4、2、1时，得 X=0、1、3、4、6， 所以所有符合条件的x的值有5个． 故选：B． 【点睛】此题考查分式的化简，分式有意义的条件，根据分式的值为0确定分母的值，由此得出x的值，注意分母中虽约去了（x+2），但是要考虑到x≠-2，避免错误. 13．已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设，，．可得，，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． 14．当正整数 时，分式的值也是正整数． 【答案】2或8 【分析】本题考查了分式的值，因式分解，将分式变形为，其值为正整数，由此求得或2或8，再代入验证即可求解． 【详解】解： ， ∵分式的值是正整数， ∴或， 解得：或2或或8， ∵为正整数， ∴或2或8， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，当或8时，分式的值也是正整数． 故答案为：2或8． 15．已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 组． 【答案】2 【分析】根据x，y均为正整数，可知、，据此建立不等式并求解可知，结合，可确定可知符合条件的x的值，然后根据确定与之对应的y的值，即可确定符合条件的x，y的值的组数． 【详解】解：∵x，y均为正整数， ∴，， ∴， ∴，解得， 结合，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9， 对应的y的值为：9、、、、、、、、， ∴符合条件的x、y的值为，， ∴符合条件的x，y的值有2组． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键． 16．阅读下面材料： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似地，假分式也可以化为“带分式”（即整式与真分式的和的形式）参考上面的方法解决下列问题： 将分式，化为带分式． 当x取什么整数值时，分式的值也为整数？ 【答案】（1），；（2），3，，时，分式的值也为整数． 【分析】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值． 【详解】解：（1）， ； （2）， 当，即； 当，即； 当，即； 当，即， 综上，，3，，时，分式的值也为整数． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 【答案】(1) (2)0或1 (3)-1 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，再根据分式的值为整数进行求解即可； （3）设，则，仿照题意得到原分式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴ ， ∴； （2）解：设，则， ∴ ， ∴， ∵的值为整数， ∴的值为±4或±2或±1， 又∵x为整数， ∴x的值为0或1； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，的最小值为2， ∴原分式的最大值为， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 类型三、分式的乘除法运算 18．一支部队排成a米长队行军，在队尾的战士要与最前面的团长联系，他用t1分钟追上了团长、为了回到队尾，他在追上团长的地方等待了t2分钟．如果他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是（　　　） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】根据题意得到队伍的速度为，队尾战士的速度为，可以得到他从最前头跑步回到队尾，那么他需要的时间是，化简即可求解 【详解】解：由题意得：分钟． 故选：C 【点睛】本题考查了根据题意列分式计算，理解题意正确列出分式是解题关键． 19．已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，， 第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x， 第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，， 第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1， 第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：， 第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误； 综上可知，正确的个数是1， 故选B． 20．已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ …… ， ， 由,即①正确； 由，则，即，故②错误； 由，，故③正确； 由当时，，故④正确； 由，可知不是定值，故⑤错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 21．如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则 （用含k的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，设，，求出，，之间的关系式，从而求得面积比． 【详解】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成， ∴设，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 22．若，．则的值为 【答案】 【分析】先由题意2x−y+4z=0 ，4x+3y−2z=0，得出用含x的式子分别表示y，z，然后带入要求的式中，化简便可求出. 【详解】2x-y+4z= 0①，4x+3y- 2z= 0②， 将②×2得: 8x+ 6y-4z=0③． ①+③得: 10x+ 5y= 0， ∴y= -2x， 将y= - 2x代入①中 得:2x- (-2x)+4z=0 ∴z=-x 将y= -2x，z=-x，代入上式 = = = = 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是根据题目，得出用含x的式子表示y，z.本题较难，要学会灵活化简. 23．已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 【答案】12 【分析】先求出，再不妨设，则，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，，则，可得，则；当时，，则，则，可得． 【详解】解： ， 、、是大于1的正整数， ∴不妨设， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，则，不符合题意， ∴或， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，分式的乘法计算，根据题意推出，且或是解题的关键． 24．有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 25．任意两个和不为零的数a、b、c满足，求的值 ． 【答案】或 【分析】根据，可以得到它们的比值或者a、b、c的关系式，进而解答． 【详解】解：设， 则，，， ∴， ∴， 当时，， ， 当时， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式的混合运算，利用等式的性质进行变形是解题关键． 26．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 【答案】4 【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ， 当时，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 27．化简，并判断当x满足不等式时该代数式的符号． 【答案】，负号 【分析】先将代数式的除法写成乘法，约去分子分母的公因式，得到化简的结果，再解不等式组成的不等式组得到-2<x<-1，即可判断x+1<0，x+2>0，由此得到代数式的符号. 【详解】， 解不等式组， 得到-2<x<-1， ∴x+1<0，x+2>0， ∴，即该代数式的符号为负号. 【点睛】此题考查分式的除法计算，解一元一次不等式组，正确计算是解此题的关键. 28．我们约定：关于x的代数式A，B，若不论x为何值，都有（m为常数），则称代数式A，B互为“差值代数式”，m为“差值”例如：，因为，所以A，B互为“差值代数式”，“差值”为2．根据该约定，解答下列问题． (1)判断下列各式是否互为“差值代数式”．若是，则在括号中的划“√”，若不是，则划“×”． ①与（   ）    ②与（   ）    ③与（   ） (2)已知关于x的整式，若M，N互为“差值代数式”，且“差值”为4，求a的值； (3)已知关于x的整式，若S，T互为“差值代数式”，且满足． ①求b，c，d的值； ②求代数式的最小值． 【答案】(1)①√    ②×    ③√ (2)或 (3)①；②的最小值为 【分析】根据定义解答即可得解； 先由定义得出或，解方程即可得解； ①恒等变形得出，然后由新定义即可得解，②先将代数式变形成，然后通过配方利用非负数的性质得出，最后代入即可得解． 【详解】（1）∵， ∴①与互为“差值代数式”， ∵， ∴②与不互为“差值代数式”， ∵， ∴③与互为“差值代数式”， 故答案为：①√    ②×    ③√； （2）由题可知， ∴或， ∴或， 综上所述或； （3）①， ， ， ， ，       互为“差整值代数式”， ，                          ②， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，二次根式的加减运算，因式分解，分式的混合运算，利用平方根解方程，代数式的配方等知识点，熟练掌握其性质并能灵活对代数式进行恒等变形是解决此题的关键． 29．观察下列各式： ， (1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________； (2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，； (3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可； （2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式； （3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值． 【详解】（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出： ； 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ∴， 设（）， ∴ ∵， ∴； （3）解：由（2）可知， 当时，则 ， ∵， ∴， ∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d； ∴a=17，b=5，c=3，d=1； ∵ ， 当a=17，b=5，c=3，d=1； ∴原式； 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键． 类型四、分式的加减运算的应用 30．若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的混合运算，由已知条件得出，，，，联立，得，代入整理之后对算式进行通分即可． 【详解】解：， ，，，， 联立， 得， ∴原式 ． 故选A． 31．已知，，，满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原式进行通分，变形为，即，通过计算多项式乘多项式将等式右边展开，于是可得，进而可得，结合已知条件，将原式变形为，即，然后利用同底数幂的乘法及等式的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了通分，等式的性质，计算多项式乘多项式，去括号，等式的性质，同底数幂的乘法，代数式求值等知识点，进行通分并将原式由分式变形为整式是解题的关键． 32．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为以此类推，第n个数记为（为正整数）．已知，并规定：，以下结论中，正确的个数为（    ） ①；     ②若，则； ③若（为正整数）且，则的值为3； ④若的值为正整数，则满足条件的整数共有3个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】先由题意，表示出，发现周期为6，即6次一循环，，即可判断①；由得，，整理得：，则，对不断地进行降幂处理，化简到，故②正确；由题意得，，则，整理得：，利用平方根解得，或，即可判断③错误；，，则，再对其进行分离常数得到，由的值为正整数，则或，求得，代入，发现或2或2或10，均为正整数，即可判断④． 【详解】解：∵， 则由题意得：， ， ， ， ， ∴6次一循环， ∴， 故， ∴①错误； 由得，， ∴整理得： ∴ ∴， ∴②正确； ∵（为正整数）， ∴，，， ∴由 得：， 整理得：， 解得：或， ∴③错误； ∵，， ∴， ∵的值为正整数， ∴或， ∴， 代入 ∴或2或2或10，均为正整数， ∴满足条件的整数x为：，则有4个， ∴④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了规律探索，涉及分式的化简，利用平方根解方程，以及整除的概念，因式分解，难度很大，对知识点的综合要求高． 33．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法： ①； ②； ③对于任意正整数k，都有成立． 其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，，，， 即：这列数以，，，每三个为一个循环， ， ∴，，故①不正确； ∵ ∴， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ，故②不正确； 由①②可得、分别是以3和6为周期的数列， 当为奇数时，则，，， ， ， ∴，故③不正确； 故选：A． 34．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作） 操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，） 操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）； 操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推） 将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论： ①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）· 以上说法中，正确的个数为（    ）· A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了与分式有关的规律探索，根据题意分别求出，，，，，……，进而得到规律，，，，据此规律逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴，， ……， 以此类推可得，，，， ∴， ∴，故①错误； ∵，， ∴恒成立，故②正确； ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴且，即， ∴恒成立，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 当时，则， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，故⑤正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：C． 35．有两块小麦试验田，其中甲试验田是边长为的正方形去掉一块边长为的正方形蓄水池后余下的部分，乙试验田是边长为的正方形．去年在两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦．为提高单位面积产量，科研小组通过杂交试验，获得两款小麦种子“丰收1号”和“丰收2号”，今年分别播种在甲、乙两块试验田中，共收获小麦总产量为． (1)去年的单位面积产量为 ；（用含的代数式表示） (2)若今年从甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多．根据上述信息，请判断杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能否能提高小麦的单位面积产量？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）本题考查了一元一次方程的应用和整式的混合运算，设去年的单位面积产量为，根据“两块试验田种植同一种小麦，共收获小麦”列出表达式，根据解一元一次的方法和整式混合运算法则即可解题． （2）本题考查利用作差法比较两个分式的大小，设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为，根据“甲试验田收获的小麦不超过，且甲试验田的产量比乙试验田的产量多”列不等式，得到，根据题意表示出“丰收1号”单位面积产量“丰收2号”单位面积产量，再与去年的单位面积产量进行比较，即可解题． 【详解】（1）解：设去年的单位面积产量为， 根据题意可得：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：设今年甲实验田收获的小麦为，则今年乙实验田收获的小麦为， ， ， ， 又， ，， “丰收1号”单位面积产量为：，“丰收2号”单位面积产量为：， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 即， ， 杂交后获得的“丰收1号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量． 又， ， ， ， ， 又， ，， ， 即， ， 杂交后获得的“丰收1号”和“丰收2号”种子与去年相比能提高小麦的单位面积产量． 36．【生活观察】数学来源于生活，众所周知“糖水加糖会变甜”．人们常用糖水中糖与糖水的比表示糖水的甜度． （1）若a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为，若再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为________，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． 由此我们可以得到一个不等式________________；（请用含a、b、m的式子表示） 请用分式的相关知识验证所得不等式； 【数学思考】（2）若，，（1）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子． 【知识迁移】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请利用（1）（2）中探究的结论，比较、的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1），；（2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：；（3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【分析】（1）用糖水中糖与糖水的比表示即可；再利用作差法比较与的大小即可； （2）利用作差法比较与的大小即可； （3）分甲、乙两船返航时为逆流航行和甲、乙两船返航时为逆流航行两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵a克糖水中含b克糖（），则该糖水的甜度为， ∴再加入m克（）糖，此时糖水的甜度为，充分搅匀后，感觉糖水更甜了． ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴由此我们可以得到一个不等式， 故答案为：，； （2）（1）中的不等式不成立，正确式子为：，理由如下： ∵ ， ∵，， ∴，，， ∴， ∴； （3）当甲、乙两船返航时为逆流航行时， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，甲船先返回A港， 当甲、乙两船返航时为顺流航行时， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵，， ∴，乙船先返回A港， 综上，当甲、乙两船返航时为逆流航行时，，甲船先返回A港，当甲、乙两船返航时为顺流航行时，，乙船先返回A港． 【点睛】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 37．阅读下面材料： 小聪这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小聪发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像，等交换对称式都可以用，表示． 例如：，，于是小聪把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是___________（填序号）； (2)已知． ①___________（用含，的代数式表示）； ②若，，求交换对称式的值； ③若，求交换对称式的最小值． 【答案】(1)①④ (2)①；②；③ 【分析】本题考查了整式的混合运算和代入求值，分式的加减运算，解题的关键是正确理解“交换对称式”，熟练掌握完全平方公式有助于理解“基本交换对称式”． （1）任意交换两个字母的位置判断值是否不变即可； （2）①先根据得到，即可得到答案；②先将通分，再根据“像，等交换对称式都可以用，表示．例如：”计算，最后将，代入求值即可；③先化简，再将代入求出原式，然后求解计算即可． 【详解】（1）解：①任意交换两个字母的位置后变为，值不变，是交换对称式； ②任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ③任意交换两个字母的位置后变为，值可能改变，不是交换对称式； ④任意交换两个字母值的结果都等于，是交换对称式； 故答案为：①④； （2）解：①∵，， ∴， ∴，； 故答案为； ②解：，则，， ∴； ③解；，则， 即 ， 又∵， ∴， ∴的最小值是4； 38．【阅读理解】 阅读下面的解题过程：已知：，求的值； 解：由知，，即① ②，故的值为． （）第②步运用了公式：________；（要求：用含的式子表示） 【类比探究】 （）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值． 【拓展延伸】 （）已知：，，．求的值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据完全平方公式的变形进行解答即可； （）仿照例题计算即可； （）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解； 本题考查了分式的求值，倒数的应用，完全平方公式的变形计算，正确理解题意掌握解题思路及分式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）第②步运用了公式：， 故答案为：； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （）∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 39．【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或式的大小，其中，“作差法”就是常用方法之一，即要比较M与N的大小，只要作出它们的差． （i）若，则；（ii）若，则；（iii）若，则； 【尝试应用】 （1）比较图中两个长方形周长的大小； （2）若，，且，试比较代数式与的大小， 【联系生活】 （3）在某次1000米长跑中，甲同学前半程以速度匀速跑，后半程以速度为速跑．乙同学前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑，请问谁先到达终点？ 【答案】（1）第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长；（2）；（3）乙先到达终点． 【分析】（1）表示出两个长方形的周长，运用“作差法”即可比较大小； （2）运用“作差法”计算，综合运用完全平方公式，提公因式和公式法进行因式分解，最后得到根据，，得到，即可解答； （3）先计算甲同学所需时间：，乙同学所需时间为，再计算，根据，，得到，即可得到，从而解答． 【详解】（1）第一个长方形的周长为：， 第二个长方形的周长为：， ∵ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴第一个长方形的周长大于第二个长方形的周长； （2）∵， ∴，， ∴ ， ∵，，， ∴， ∴； （3）甲同学所需时间：， 设乙同学所需时间为x，则， 解得：， 即乙同学所需时间为， ∵ ， ∵，，， ∴， ∴， ∴乙先到达终点． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，分式的加减，运用完全平方公式进行变形计算，因式分解，判断式子的正负，掌握“作差法”是解题的关键． 40．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 41．【提出问题】 已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值与相比是增大了还是减小了？ 【观察发现】 观察下列式子：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，即． 【探究验证】 （1）对于，我们可以用“作差法”进行证明： ． ， ，． ，即． ； （2）由（1）我们可猜想与的大小关系是：_____，请你用“作差法”证明你的结论； 【拓展思考】 （3）若，时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子； 【方法应用】 （4）已知甲、乙两船同时从港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为、，水流速度为，两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为、，请比较，的大小，判断哪条船先返回港？并说明理由． 【答案】（2），见解析；（3）不成立，正确的应该是；（4）当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回，见解析 【分析】本题考查的是列代数式，分式的加减运算，分式的值的大小比较，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （2）根据作差法求解即可； （3）根据作差法求解即可； （4）分为当返回为顺水时，和当返回为逆水时，求出，即可求解． 【详解】解：（2），理由如下： ， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （3）不成立，正确的应该是． 理由如下：根据（2）可得， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴． （4）当返回为顺水时，，． ， ∵， ∴，即． 当返回为逆水时，，． ∵， ∴，即． 所以当返回为顺水时，乙船先返回，当返回为逆水时，甲船先返回． 42．阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：当且仅当即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 类型五、解分式方程背景下的综合问题 43．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为且， ∴a取整数，，0，1，3，4，5， 其和为10． 故选：A． 44．对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①； ②，则； ③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键． 将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④． 【详解】解：∵， 当时，，故①错误， ∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确； ∵，，， ，…… ∴，故③正确； ∵，，，…… ∴ ，故④错误， 综上，正确的有2个． 故选：C． 45．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 【答案】9 【分析】根据点关于轴的对称点在第三象限，建立不等式组，求得解集确定a的取值范围，再根据分式方程的非负整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数，后计算绝对值的和即可得结论． 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第三象限， ∴对称点的坐标为， ∴， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合的解是非负整数解的有， ∴符合条件的所有整数a的绝对值和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的对称，不等式组的解集、分式方程的解，绝对值的计算，解决本题的关键是根据不等式组的解集及分式方程的解确定a的取值范围． 46．若关于的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程的解，先解关于x的一元一次不等式组，再根据不等式组有解且至多有2个整数解得到a的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解，求出所有满足条件的整数a的值，并求出它们的和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ∵关于x的一元一次不等式组有解且至多有2个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∴， ∵关于y的分式方程有整数解， ∴或或或1， ∵， ∴， ∴， ∴所有满足条件的整数a的值为：或或1， ∴所有满足条件的整数a之和为：， 故答案为：． 47．若关于x的分式方程无解，则实数 ． 【答案】0或3 【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键． 分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， ①当无解时，m=0； ②当整式方程的解为分式方程的增根时， ，，矛盾； 或，， ∴． 故答案为：0或3． 48．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为，它们的和是， 故答案为：． 49．若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式组的综合，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的解法是解题的关键． 先解不等式组，根据有且仅有4个整数解求出a的取值范围，再解分式方程，根据解是正整数，可求出满足条件的a的值，进一步求解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 根据题意得：， ∴， 解得：， 解分式方程，得：， 而分式方程的解为正整数， ∴，解得：， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，是增根，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． ∴满足条件的a只有1和， ∴满足条件的整数a的值之积为， 故答案为：． 50．（1）解方程：             (2)关于x的方程的解是正数，求a的取值范围． 【答案】（1） （2），且 【分析】本题主要考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的方法步骤，注意验根，是解决问题的关键． （1）运用去分母，移项，合并同类项，系数化成1，经检验，即得； （2）运用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1求出x的表达式，根方程的根为正数且分母不为0，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 经检验，是原分式方程的根， 故原分式方程的根为：； （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 移项，得， 系数化成1，得； ∵方程的解是正数， ∴，且， ∴，且． 51．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)或或8 【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 52．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 【详解】（1）解：方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （2）解：∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 53．已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；0或1或3 【分析】本题考查了分式的四则运算及解分式方程．熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程的方法步骤，分类讨论，是解题的关键． （1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用对分子分母分式的正负性质计算讨论即可； （2）①把M、N代入整理得到；②根据，x，y都是整数，可知可以取1，2，3，4．，求出对应的x值为3，1，，0，符合的有0，1，3． 【详解】（1）当时，．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）①依题意，得：． 故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数， ∴y可以取1，2，3，4． 当时，， 解得，符合； 当时，， 解得，符合 ； 当时，， 解得，不合，舍去； 当时，， 解得，符合． 综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3． 故答案为：0或1或3 54．已知关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a，b为正整数，当分式方程的解为非负整数时，求b的值． 【答案】(1) (2)或时，分式方程无解； (3)满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把，代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：； （2）解：把代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当即时，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即，此时b不存在； Ⅱ.时，原分式方程无解， 即时， 此时； 综上所述，或时，分式方程无解； （3）解：把代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 整理得， 解得：， ∵b为正整数，x为非负整数， ∴必为40的因数，， ∴或或或， 对应地，方程的解或2或12或32， 又为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取1或4或5， ∴满足条件的b可取1或4或5这三个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 55．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即． (1)点的“3之立信点”的坐标为________． (2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值； (3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据点为点P的“之立信点”的定义计算； （2）根据x轴的正半轴上点的特征、点为点P的“之立信点”的定义计算； （3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算． 【详解】（1）解：当时， ， ∴点的“3之立信点”的坐标为， 故答案为：； （2）∵点P在x轴的正半轴上， ． ∴点P的坐标为， ∵点P的“k之立信点”为点， ∴点的坐标为， 时， 为等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：1； （3）当时，去分母整理得：， ∵原方程无解， ∴①，即， ②，即，则，；； 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是三角形的综合题，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点为点P的“k之立信点”的定义、分式方程的解法是解题的关键． 56．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”． (1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）； ①    ②    ③ (2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由； (3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值． 【答案】(1)①③； (2)为“勤业式”，理由见解析； (3)x的值为0或1或． 【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解； （3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴为“求真式”，故①符合题意， ∵ ∴为“勤业式”， 故②不符合题意， ∵， ∴即， ∴为“求真式”， 故③不符合题意． 故答案为：①③； （2）解：为“勤业式”，理由如下： ∵， ∴， ∴为“勤业式”； （3）解：∵，，且x为整数， ∴ ∵为“至善式”， ∴的值为整数，即为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得或（舍去）或或， ∴x的值为0或1或． 【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键． 57．新定义：如果两个实数使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”. 若不是，打“×”． ①（   ）；②（   ）； ③（   ）； ④（   ）； (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值； (3)若数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；②；③；④ (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义，结合方程的解为整数，计算即可． 【详解】（1）解：当，时，分式方程为，， ∵， ∴①不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得：， ， ②不是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 解得， ， ③是关于的分式方程的“关联数对”； 当，时，分式方程为， 此方程无解， ④是关于的分式方程的“关联数对”； 故答案为：①；②；③；④． （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 解得； （3）解：数对，且，是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ∵可化为， ∴， 解得：， 方程有整数解， 整数，即， 又，， ． 类型六、分式方程的实际应用问题 58．甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从A地出发前往B地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离A地的路程s（）与甲出发的时间t（）之间的关系如图．下列说法：①A，B两地相距；②甲比乙晚到B地；③乙从A地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的实际应用，以及分式方程的实际应用，根据函数与图象中的信息，结合时间、路程、速度三者之间的关系和追击问题的等量关系，对上述说法一一分析，即可解题． 【详解】解：由图知甲、乙两位同学最终停下来时，离A地的路程s（）最大为， ①正确， 由图知乙到B地时，甲到B地时，（）， ②正确， 乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进． 设乙从A地刚出发时的速度为，则停留后的速度为， 由图知乙在中途停留前已走，则停留后行驶路程为（），总的行驶时间为（）， 有，解得， 乙从A地刚出发时的速度为（）， ③正确， 根据图象可知，甲的速度为 乙在途中停留后，二者第三次相遇， 乙中途停留前运动时间为 乙的第二个拐点时间为（）， 由图知第三次相遇在第二个拐点之后，即第三次相遇时间大于第二个拐点时间， 设乙继续前进t小时后二者相遇， 根据题意得： 解得 故第三次相遇为乙出发后 ④正确． 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 59．科幻题材《三体》首次影视化改编受到了观众的一致好评，其中大量的逼真特效镜头让网友大呼：科幻元年来了！所有的特效镜头全部由甲、乙、丙三家特效公司完成．三家公司共有8个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数之比为．为了更好的呈现特效效果，三家公司均增加渲染组组数，减少每组工作量．甲公司渲染组增加1倍，乙与丙公司共增加4个渲染组．增加组数后，甲公司每组每天渲染镜头数比原来的一半少2个，乙、丙两个公司每组每天渲染镜头数都减少了4个，这样三家公司每天渲染镜头数总数比原计划多18个，甲公司每天渲染镜头数与三家公司每天渲染总镜头数之比为，则原计划三家公司每天渲染镜头总数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组与分式方程的应用，设甲、乙、丙三家公司分别有、、个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为、、，再根据题意分别列方程，最后消元求解即可． 【详解】设甲、乙、丙三家公司分别有、、个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为、、， ∴， 原计划三家公司每天渲染镜头总数为， 改变后甲、乙、丙三家公司分别有、、个渲染组，原计划三家公司每个渲染组每天渲染镜头数分别为、、， ∵三家公司每天渲染镜头数总数比原计划多18个， ∴， 整理得 ∴， ∵，为正整数， ∴，， ∵甲公司每天渲染镜头数与三家公司每天渲染总镜头数之比为， ∴甲公司每天渲染镜头数与乙丙两家公司每天渲染总镜头数之比为， ∴ ∴， 整理得， 由可得， ∴， 整理得 ∴， ∵，，，且、、为正整数， ∴是的倍数， ∴当时，，，， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 当时，，不是的倍数， 综上所述，，，， ∴ 故答案为：． 60．二月开学季来临，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三种不同主题的开学大礼包．已知二月上旬A、B、C三种主题大礼包售价之比为，销量之比为．开学后不久，根据市场需求，在二月下旬文具店老板对三种主题大礼包售价进行了调整，其中B主题大礼包售价比二月上旬降低了，C主题大礼包在2月上旬售价的基础上打八折，从而使得B、C两种主题大礼包销售额相较于二月上旬有所增加，A主题大礼包销售额相较于二月上旬有所下降．若A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额之比为，且A主题大礼包减少的销售额占二月下旬三种主题大礼包总销售额的，则二月下旬B、C两种主题大礼包的销量之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程方程是应用，设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为，根据“2月下旬A主题大礼包减少的销售额占2月下旬三种主题大礼包总销售额的”列出方程，然后分别求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售额，进而求出2月下旬B、C两种主题大礼包销售量，即可解答． 【详解】解：设2月上旬A、B、C三种主题大礼包售价为，销量为，2月下旬，B主题大礼包售价为，C主题大礼包售价为，A主题大礼包减少的销售额与B、C两种主题大礼包增加的销售额分别为， 根据题意，得， 解得， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售额分别为，， ∴2月下旬B、C两种主题大礼包销售之比为． 故答案为：． 61．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与直线相交于点．点在直线上运动（不与点重合），过点作轴的平行线，与直线相交于点，连接，，记的面积为的面积为． (1)若点的横坐标为． 求的值； 当点在线段上时，试探究：的值是否是定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． (2)当，且时，线段的长为______． 【答案】(1)；是，； (2)． 【分析】点的横坐标为，且点是直线与直线的交点，可知点的纵坐标为：，把点的坐标代入求出的值； 由可知直线的解析式为，根据解析式求出点的坐标，设点的坐标为，可知点的坐标为，把和用含的代数式表示出来，根据两个图形的面积比可以得到； 根据轴，且，可知轴是的垂直平分线，设点的坐标为，则点的坐标为，根据点和点的关系，把这两个点的坐标用含的代数式表示出来，再分当点在点的左侧时和当点在点的右侧时两种情况讨论． 【详解】（1）解：点的横坐标为，且点是直线与直线的交点， 点的纵坐标为：， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； 解：的值是定值，这个定值为； 理由如下： 由可知直线的解析式为， 当时，可得：， 点的坐标为， ， 设点的坐标为， 点的坐标为， ， ， ， ； 故的值是定值，这个定值为； （2）解：轴，且，则轴是的垂直平分线， 点在点的左侧或点在点的右侧， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 解得：， 点的坐标为，则点的坐标为， 解方程组， 得：， 点的坐标为， 当点在点的左侧时，如下图所示， ， ， ， ， 整理得：(不成立)； 当点在点的右侧时，如下图所示， ， ， ， ， 整理得： 解得：或， 经检验和是分式方程的根， 当时，，， 满足， 点的坐标为， 点的坐标为， ； 当时，，， 满足， 此时，， 点的坐标为不符合题意， 故线段的长度为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合运用、待定系数法求一次函数的解析式、分类讨论的思想．解决本题的关键是根据轴，且，得到轴是的垂直平分线，根据垂直平分线的思想分类讨论求解． 62．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各．若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 63．如图，点在直线上，直线上有一点； (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q坐标用含k的代数式表示）； (2)过点P作轴，过点Q作轴，垂足分别是A、B．如果的面积是面积的，请求出k的值； (3)在（2）的条件下，线段与直线相交于点G，直线上是否存在点D，使？如果存在，请直接写出D的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】本题考查了一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程等知识．熟练掌握一次函数解析式，坐标与图形，解分式方程是解题的关键． （1）由点在直线上，可得，即；由直线上有一点，可得，可求，进而可得； （2）由题意知，，，则，，由的面积是面积的，可得，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，设，当在第一象限时，如图，由，可得，可求D；当在第三象限时，如图，，由题意知，，则． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，即； ∵直线上有一点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由题意知，，， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， 解得，， 经检验，是原分式方程的解且符合要求； （3）解：设， 当在第一象限时，如图， ∵， ∴， ∴D； 当在第三象限时，如图，， 由题意知，， ∴， 综上所述，存在，D的坐标，． 64．已知直线交x轴于点，交y轴于点，点． (1)直接写出直线的解析式； (2)如图2，点P为直线上第一象限内一点，且，求P点坐标； (3)在直线上是否存在点Q，使．若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或； 【分析】（1）直接利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）求解直线为，可得，如图，过作于，交直线于，记与直线的交点为，作平分，其反向延长线交轴于，可得，过作于，作于，可得，可得，设，求解，，可得：为：，再进一步可得答案； （3）如图，设，取的中点，可得， 可得，当时满足条件；如图，当在的上方，即在轴的右侧时，没有满足条件的点，如图，在上取使，则，显然，此时没有符合条件的点，如图，当时，，此时符合条件，再进一步利用平行线的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线为，而直线交x轴于点，交y轴于点， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：设直线为，与轴的交点为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当，则， ∴， 如图，过作于，交直线于，记与直线的交点为，作平分，交与点P，其反向延长线交轴于， ∴， ∴， 过作于，作于， ∴， ∴， 设， 由勾股定理， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 同理可得：为：， 当时，， ∴， ∴； （3）解：如图，设，取的中点， ∴， ∵， ∴， ∴当时满足条件； ∵，， ∴， 设直线为， ∴， ∴， 设直线为， 同理可得：， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴， 如图，当在的上方，即在轴的右侧时，没有满足条件的点， 如图，在上取使，则， 显然，此时没有符合条件的点， 如图，当时， ∴， 此时符合条件， 同理可得：，，， ∴，， 设为， 同理可得：， 设为：， 同理可得：， ∴， 解得：，经检验符合题意， ∴， 综上：或； 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，勾股定理的应用，角平分线的性质，平行线的性质，待定系数法求解函数解析式，分式方程的解法，本题的难度很大，做出合适的辅助线是解本题的关键． 65．已知点A在轴正半轴上，以为边作等边，，其中是方程的解． (1)求点A的坐标； (2)如图1，点在轴正半轴上，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，求的度数； (3)如图2，，点为轴正半轴上一动点，点在点的右边，连接，以为边在第一象限内作等边，连并延长交轴于点，当点运动时，的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围． 【答案】(1) (2) (3)的值不会发生变化，且定值为3 【分析】本题主要考查了解分式方程、等边三角形性质、全等三角形的性质和判定的应用等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键 （1）直接解分式方程求得x的值即可解答； （2）先证明可得，由四边形内角和定理求解即可； （3）证明可得，可求，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解： 化为整式方程为：，解得： 经检验：是原分式方程的解 ∴原分式方程的解为 ∴点A的坐标为． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ． （3）解：的值不会发生变化，且定值为3， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 66．某商场准备购进，两种书包，每个种书包比种书包的进价少元，用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍．请解答下列问题： (1)，两种书包每个进价各是多少元？ (2)若该商场购进种书包的个数比种书包的倍还多个，且种书包不少于个，购进，两种书包的总费用不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元 (2)该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系列出分式方程，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元，利用数量总价单价，结合用元购进种书包的个数是用元购进种书包个数的倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出每个种书包的进价，再将其代入中，可得出每个种书包的进价； （2）设该商场购进个种书包，则购进个种书包，根据“购进种书包不少于个，且购进，两种书包的总费用不超过元”，可列出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各进货方案． 【详解】（1）解：设每个种书包的进价是元，则每个种书包的进价是元， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ， 答：每个种书包的进价是元，每个种书包的进价是元； （2）解：设该商场购进个种书包，则购进个种书包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的值为、、， 当时，， 当时，， 当时，， 该商场共有种进货方案： 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包； 方案：购进个种书包，个种书包． 67．如图1，长方形中，，点P从点A出发，沿A→B→C→D运动，同时，点Q从点B出发，沿B→C→D运动，当点P到达点B时，点Q恰好到达点C．已知点P每秒比点Q每秒多运动，当其中一点到达点D时，另一点停止运动． (1)求P、Q两点的运动速度； (2)当其中一点到达点D时，另一点距离D点__________（直接写答案）； (3)设点P、Q的运动时间为t秒，请用含t的代数式表示的面积S，并写出t的取值范围． 【答案】(1)P、Q两点的运动速度分别为 (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，分式方程的应用，三角形的面积等知识，掌握三角形的面积公式、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）设点Q每秒运动，则点P每秒运动，根据：点P到达点B时，点Q恰好到达点C，建立方程即可求解； （2）分别计算出两点到达终点所需的时间，即可完成； （3）分三种情况：①点P在上，点Q在上，此时；②点P在上，点Q在上，此时；③点P、点Q都在上，此时；分别计算出的面积即可． 【详解】（1）解：设点Q每秒运动，则点P每秒运动， 由题意得：， 解得：， 当时，， 所以是原方程的解，且符合题意； ∴； 答：P、Q两点的运动速度分别为； （2）解：点P到达终点所需的时间为：，点Q到达终点所需的时间为：， 所以点Q先到达终点D，此时点P离终点D的距离为； 故答案为：； （3）解：①点P在上，点Q在上，此时，如图1； ∵， ∴； ②点P在上，点Q在上，此时，如图2； 则，， ∴； ∴ ； ③点P、点Q都在上，此时，如图3； 则， ∴， ∴ 综上， 68．根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士杯 茉莉清茶杯 茉莉清茶杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制做“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，即可求出答案． 【详解】解：任务设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务设制做“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， （元）， 制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 69．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 70．某公司为提高员工的专业能力，定期对员工进行技能测试，考虑多种因素影响，需将测试的原始成绩x（分）换算为报告成绩y（分）．已知原始成绩满分150分，报告成绩满分100分、换算规则如下： 当时，； 当时，． （其中p是小于150的常数，是原始成绩的合格分数线，80是报告成绩的合格分数线） 公司规定报告成绩为80分及80分以上（即原始成绩为p及p以上）为合格． (1)甲、乙的原始成绩分别为95分和130分，若，求甲、乙的报告成绩； (2)丙、丁的报告成绩分别为92分和64分，若丙的原始成绩比丁的原始成绩高40分，请推算p的值： (3)下表是该公司100名员工某次测试的原始成绩统计表： 原始成绩（分） 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 人数 1 2 2 5 8 10 7 16 20 15 9 5 ①直接写出这100名员工原始成绩的中位数； ②若①中的中位数换算成报告成绩为90分，直接写出该公司此次测试的合格率． 【答案】(1)甲、乙的报告成绩分别为76，92分 (2)125 (3)①130；② 【分析】（1）当时，甲的报告成绩为：分，乙的报告成绩为：分； （2）设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分，①时和②时均不符合题意，③时，，，解得； （3）①共计100名员工，且成绩已经排列好，则中位数是第50，51名员工成绩的平均数，由表格得第50，51名员工成绩都是130分，故中位数为130；②当时，则，解得，故不成立，舍；当时，则，解得，符合题意，而由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为，故合格率为：． 【详解】（1）解：当时，甲的报告成绩为：分， 乙的报告成绩为：分； （2）解：设丙的原始成绩为分，则丁的原始成绩为分， ①时，，， 由①②得， ∴， ∴，故不成立，舍； ②时，，， 由③④得：， ∴， ∴， ∴， ∴，故不成立，舍； ③时，， ， 联立⑤⑥解得： ，且符合题意， 综上所述； （3）解：①共计100名员工，且成绩已经排列好， ∴中位数是第50，51名员工成绩的平均数， 由表格得第50，51名员工成绩都是130分， ∴中位数为130； ②当时，则，解得，故不成立，舍； 当时，则，解得，符合题意， ∴ 由表格得到原始成绩为110及110以上的人数为， ∴合格率为：． 【点睛】本题考查了函数关系式，自变量与函数值，中位数的定义，合格率，解分式方程，熟练知识点，正确理解题意是解决本题的关键． 71．在跨学科探究学习中，我们发现如下两个公式：如图①，在串联电路中，总电阻R满足；如图②，在并联电路中，总电阻R满足． (1)如图③，已知，，总电阻为12Ω，求的值； (2)如图④，已知为定值电阻，现有两个电阻和，请问如何摆放和的位置，能够使得总电阻最小?（在图中填写并证明） (3)如图⑤，现有三个电阻、和，请问如何摆放这三个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） (4)如图⑥，已知为定值电阻，现有四个电阻、、和，请问如何摆放这四个电阻，能够使得总电阻最小?（在图中填写，无需证明） 【答案】(1) (2)在串联电路上，在并联电路上，理由见详解 (3)并联，再与串联，能够使得总电阻最小，理由见详解 (4)见详解 【分析】本题考查了数学与物理的跨学科探究题，考查了列分式方程，解分式方程，比较分式的大小，熟练掌握知识点，借助于物理学科知识是解题的关键． （1）由题意得，解分式方程即可； （2）分类讨论，①当在上方，在下方，则，②当在上方，在下方，则，由得，因此当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小； （3）分类讨论，设这三个电阻，则，①当并联，则；②当并联，则；③当并联，则由得，即，因此并联，再与串联，能够使得总电阻最小， （4）同理由（2）（3）问可推导，与并联，再与串联，再与并联，最后与串联． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴； （2）解：①当在上方，在下方，则， ②当在上方，在下方，则， ∵， ∴， ∴当在串联电路上，在并联电路上，能够使得总电阻最小， 则如下图摆放能使得总电阻最小： （3）解：设这三个电阻，，即， ①当并联，则； ②当并联，则； ③当并联，则 由得 ∴， ∴并联，再与串联，能够使得总电阻最小， 如图： （4）解：同理，由（2）（3）问可推导按照如下图方式摆放： 72．阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式表示成部分分式．解：设，将等式右边通分，得，依据题意，得，解得，所以请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题： (1)（，为常数），则 ， ； (2)一个容器装有水，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的，第次倒出的水量是的……第次倒出的水量是的……按照这种倒水的方法，请说明这的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由； (3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第次倒出，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，第次倒出的水量是，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的？试说明理由． 【答案】(1)，； (2)这的水不能倒完，理由见解析； (3)经过次操作之后能达到． 【分析】（1）模仿阅读材料可得答案； （2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断； （3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． （2）解：∵ ， ∴这的水不能倒完； （3）解：由题意可得，倒了次后剩余的水量为 ， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， ∴经过次操作之后能达到． 【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式． 73．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素 材 一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与． 素 材 二 某商店的店内广告牌如右所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根 2．6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子． 3．本店库存数量有限，长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，先到先得！ 素 材 三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任 务 一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任 务 二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任 务 三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出，，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 解得：， ∵m必须能被3整除， ∴，，264，267， 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买258根长管子，2130根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买261根长管子，2125根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴购买264根长管子，2120根短管子； 当时，， ∵， ∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根）， ∵， ∴此时短管子可以用完， ∴可以购买267根长管子，2115根短管子； ∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子， ∴长管子数越多制作的雪花模型越多， ∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多． 74．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等． 数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答； 实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断； 推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 75．某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）； ① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前； ② 转运板进311，托起车，载车出311； ③ 转运板载车滑行至316前； ④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前； ⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车． 停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330 转运板滑行区                             转运板滑行区 如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍． (1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度； （说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计） (2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率． 【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s (2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝ 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键． （1）设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解； （2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解． 【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s， 依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m， 可列方程：， 解得：x＝0.6 ，                                              经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意． 答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s． （2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车， 则． 解得：． 因为a是正整数，所以． 因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝． 76．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了．    (1)①“丰收1号”单位面积产量为 ，“丰收2号”单位面积产量为 （以上结果均用含的式子表示）； ②通过计算可知， （填“1号”或“2号”）小麦单位面积产量高； (2)若高的单位面积产量比低的单位面积产量的多，求的值； (3)某农户试种“丰收1号”、“丰收2号”两种小麦种子，两种小麦试种的单位面积产量与实验田一致，“丰收1号”小麦种植面积为平方米（为整数），“丰收2号”小麦种植面积比“丰收1号”少55平方米，若两种小麦种植后，收获的产量相同，当且为整数时，符合条件的值为 （直接写出结果）． 【答案】(1)①；②2号 (2)14 (3)，， 【分析】本题考查分式方程的应用，不等式的应用． （1）①用“总产量÷面积”列式求得单位面积的产量； ②根据，并利用不等式的性质作出比较； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得的值； （3）根据题意列出方程，并结合，列不等式求解． 理解分式的基本性质，不等式的基本性质，根据题意列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：①由题意，“丰收号”小麦的试验田的面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为； 由题意，“丰收号”单位面积为， ∴“丰收号”单位面积产量为． 故答案为：；． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即“丰收号”小麦的单位面积产量高． 故答案为：号． （2）根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴的值是． （3）根据题意，得： ， 整理，可得：， ∴， 当时，， 解得：， 又∵为正整数，且满足， 当时，， 当时，， 当时，， ∴符合条件的的值为，，． 故答案为：，，． 77．根据素材，完成任务． 如何设计雪花模型材料采购方案？ 素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9． 素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．    素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？ 任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费． 任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多． 【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个，②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个，其中方案②雪花总数最多，为48个． 【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可； 任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被16整除，得出、，从而得出购买方案． 【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得： ， 解得：， ，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根； 任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根， ∴， 解得：， 经检验是原方程的根； ∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子， ∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为： （元）； 任务三：设制作甲款雪花模型个,乙款个则需要长管子个,短管子个， 根据题意得： ， 解得：， ∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根， ∴， 把代入并解得：， ∵是整数， 所以m必须能被16整除， ∴，， 对应的采购方案为: ①长管购买258个，赠86短管，购买短管2044个， ②长管购买267个，赠89管，购买短管2026个， 其中方案②雪花总数最多，为48个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式． 78．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 【答案】任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋 【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答． 【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个， 根据素材1可列方程；，解得 经检验，是原方程的解， ∴（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个， 根提素材2可列方程：， ∴， ∵，都不少于20，且是10的倍数， ∴，，． 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张， 设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋， 即：， 结合任务2可知， 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即：， ∵，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即， ∵，，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列式，是解答本题的关键. 试卷第132页，共134页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$