第一章 三角形的证明月考压轴题（8大题型75题）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第一章 三角形的证明月考压轴题 内容导航 题型一、等腰三角形的构造问题……………………………………………………2 题型二、等腰三角形的性质与判定的综合问题……………………………………15 题型三、一次函数与等腰三角形的综合问题………………………………………35 题型四、等边三角形的性质应用……………………………………………………68 题型五、等边三角形的性质与判定…………………………………………………89 题型六、勾股定理逆定理的应用…………………………………………………123 题型七、线段垂直平分线的性质与判定…………………………………………134 题型八、角平分线性质定理与判定………………………………………………158 题型一、等腰三角形的构造问题 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个．2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（21-22八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图．    (1)在图1中画一个正方形，使其面积为5； (2)在图2中画一个等腰且，； (3)在图3中画一个且一条直角边长为，斜边长．并直接写出的面积________，斜边边上的高________． 5．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，已知在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当，求的长度（结果保留根号）； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 6．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)求线段的函数解析式； (2)连接，求的面积S关于t的函数解析式； (3)点P在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 7．（20-21八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，四边形的顶点是坐标原点，点在轴正半轴上，，点的坐标为，点在轴正半轴上，轴，垂足为点，连接，点是轴正半轴上的一个动点，设点的横坐标为． （1）点的坐标为_________，点的坐标为_________； （2）连接，设的面积为． ①求与之间的函数关系式；②当时，求出点的坐标． （3）点是直线上一点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 题型二、等腰三角形的性质与判定的综合问题 8．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在中，，，点，，分别在，，边上，且，．则的度数是（   ）    A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，解放广场的草坪上有，，CD，DA，AC五条小路，且，，，． (1)求小路的长度； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为． ①若淇淇手中和小狗身上分别有一个信号器，当两个信号器的距离不超过时，可以接收到彼此发出的信号，当小狗在小路上奔跑时，求两个信号器可以接收到彼此发出信号的时长； ②当为以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知在中，，，D为的中点． (1)如图1，当E，F分别是边上的点，时，连接，易证______（填三角形的名称），进而可判断的形状为________三角形； (2)如图2，当E，F分别为延长线上的点，，其他条件不变，请判断的形状并证明你的结论． 11．（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）综合与实践 数学社团同学在学习湘教版八年级上册63页的三角测平架后得到启发，自制用四根小木棒钉成一个“等形”仪器，其中，． (1)如图1，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点A，C画射线．求证：平分； (2)数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断对吗？请说明理由； (3)如图3，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，求的度数． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 13．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 14．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图1，在等腰中，，，， (1)求证； (2)如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 15．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 16．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段． (1)如图2，和都是等腰直角三角形，且． ①图中线段的“友好”线段是 ； ②连接，若，求的长； (2)如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）折纸是我国的传统文化．在探究学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在数学综合实践课上，老师和同学们对折纸作如下探究活动． 【操作说理】如图①，在长为，宽为4cm的长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． （1）试问重叠部分的是等腰三角形吗？请说明理由． （2）求面积的最小值． 【观察探究】把正方形纸片，先沿对折，使左右两边重合；重新展开纸片，再沿折叠，使点与点重合，点落在点，与相交于点． （3）若正方形的边长为1，求的长； （4）试探究点是否为边的三等分点？加以说理． 【迁移运用】若在一张三角形的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为______°．（直接写出答案） 题型三、一次函数与等腰三角形的综合问题 18．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上的动点．当线段最短时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 20．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）． 【初步探究】 （1）写出点B的坐标 ； （2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点P在第四象限时，连接． ①求证：； ②写出与的位置关系并证明． 【深入探究】 （3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究当点P运动到与点O距离最小时，求线段所在直线的函数表达式． 【拓展延伸】 （4）点C在x轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，且、满足． (1)求点的坐标； (2)点、分别为轴负半轴和正半轴上的点，连接、，在线段延长线上取一点，连接，使，线段上有一点，若，求的度数； (3)在（2）的条件下，延长至，连接交轴于点，连接，当时，求． 22．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中， 点坐标为点坐标为是轴负半轴上一点，且是轴正半轴上一点，作于点，连接． (1)点坐标为______，______． (2)①当点在线段上时，若是等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标． ②如图2，设交直线于点，连结，若，则求（直接写出结果）． 23．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（21-22八年级上·山西太原·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 25．（22-23八年级上·广东深圳·期中）建立模型： （1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由． 26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线经过点，与直线交于点D． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接、，求的面积； (3)如图2，当点D在直线上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 27．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 28．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知直线交x轴于点，交y轴于点，且m、n满足． (1)求m，n的值； (2)如图1，若点C在第一象限，且于点E，延长至点D，使得，连，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若点C在上，点F在的延长线上，Q为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 题型四、等边三角形的性质应用 29．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 30．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 31．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是 ． 32．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，直线l：与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，以此类推，则点的纵坐标是 ． 33．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 34．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究． (1)观察猜想 ①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______； ②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______； (2)探究论证 如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)拓展应用 如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积． 35．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，是等边三角形，点E和点F分别是和上的点，且．已知点O是三条内角平分线的交点，连接，．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：． (3)如图3，当点E和点F分别位于和的延长线上时，（2）中的条件不变，写出，和之间的数量关系，并说明理由． 36．（23-24八年级上·河南·阶段练习）（1）如图1，都是等边三角形，点在边上，连接，则的度数为______． （2）如图2，都是等腰直角三角形，，点在边上，连接，请判断的度数及线之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，连接，求四边形的面积． 37．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，在等腰中，，． (1)如图①，利用圆规和无刻度直尺，在等腰内作出点，使得点到顶点，，的距离相等．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连结，，，求的值． (3)阅读并解答： 如图②，若点在等腰内，连结，，，在线段，的左侧作等边和等边，连结，则可以证明结论成立．试利用该结论，求当最短时，线段的长． 38．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）【建立模型】（1）如图1，锐角中，分别以为边向外作等边和等边．连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，求的长． 【模型应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，以为直角边在线段的左侧作等腰直角，直接写出的长是__________．    39．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，，在同一直线上，连接．填空： ①的度数为______； ②线段，与之间的数量关系是____________． （2）拓展研究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，，在同一直线上．若，，求的长度． （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中，当点A，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数．（直接写出结果，不必说明理由） 题型五、等边三角形的性质与判定 40．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，点，分别是射线，上的动点，为内一点，且，则的周长的最小值为 ． 41．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，，M为线段上的动点（不含端点），P为x轴上的一个动点，连接，以为边向右作等边 则 的最小值为 ． 42．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）（1）【课本巩固】如图①，在等边中，D为边上一点，E为上一点，且，连接与相交于点F．与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______；    （2）【探究发现】在（1）的基础上，延长至点G，使，连接，如图②所示，求证：平分． （3）【拓展延伸】如图③，在等边中，D为边上一点，E为上一点，且，，，求． 43．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 44．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图①，将沿着翻折，得到，与关于成轴对称，以此变换，如图②，中，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图③，点E，F分别在上，且，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图④作于点H，点M为上一点，且，连接并延长至点N，使，连接，，作于点K，求的长． 45．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在中，，，，平分，交边于点．点是边上一动点（与点、不重合）．过点作，垂足为点，与射线交于点． （注：在直角三角形中，所对的直角边的长与所对的直角边的长的比是） (1)当点在边上时， ①求证：； ②设，求与之间的函数解析式并写出定义域． (2)当是等腰三角形时，求的长． 46．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 47．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 48．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 49．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：如图，在中，，，，平分，交边于点D．点E是边上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线交于点F．（注：在直角三角形中，所对的直角边的长与所对的直角边的长的比是） (1)当点F在边上时， ①求证：； ②设，，求y与x之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)当是等腰三角形时，求的长． 50．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，；点、点分别在线段、线段上，连接、，且；过点作的垂线，交延长线于点，交于点，交于点； (1)若，，求的面积； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点是边上的一个动点，以线段为边，在直线下方作等边，连接、；当时，求在的运动过程中取得的最小值时的度数； 51．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）已知，如图，在中，，延长至点M，过点C作 ． (1)求证：； (2)如图2，若，在上取点D ，上取点E ，连接，，使得是等边三角形．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过B作，分别交于G，F，H，连接交于点K． ①求证：； ②若，，，求的长． 题型六、勾股定理逆定理的应用 52．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 53．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）在中，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接． (1)如图1，当是线段上一点时，请依题意补全图形，并判断以三条线段为边构成的三角形是 三角形； (2)当点在线段的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由． 54．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 55．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ； (2)若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (4)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 56．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 57．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 题型七、线段垂直平分线的性质与判定 58．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 59．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使（），延长交射线于点，连接，作于点． (1)如图，当点为中点时，______，的值为______； (2)如图，当点在上运动时：用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 60．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 61．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 请写出完整的证明过程：… （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在△中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，已知△的周长为15，则的长为___________； （3）如图③，在△中，，，、分别是、上任意一点，若，则的最小值是__________． 62．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）综合与探究 如图，在钝角中，，边的垂直平分线m交于点D，交于点G，边的垂直平分线n交于点E，交于点H，直线m与直线n交于点O． (1)当时，求的度数． (2)当时，求的度数． (3)当为等腰三角形时，直接写出与之间的数量关系． 63．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，等腰直角绕直角顶点C在所在的平面内转动，连接 (1)探究与的数量关系并证明； (2)若，则当点三点共线时，求的长； (3)若，则当是以为腰的等腰三角形时，连接，并求的长． 64．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动，设点M，点N的运动时间为t（）秒． (1)当时， ；当时， ． (2)当点N在上时， ；当点N在上时， （分别用含t的代数式表示）． (3)点N在上时，请问t为何值时，是直角三角形，并说明理由． (4)连结，请问t为何值时，线段的垂直平分线经过的某一顶点，并说明理由． 65．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线分别与x轴交于A、两点． (1)求k，b，m的值； (2)若线段的垂直平分线交y轴于点N，求出点N的坐标； (3)在直线上是否存在点P，过点P作x轴的垂线交于点Q，设点P的横坐标为n，使得，若存在，求出的长，若不存在，说明理由． 66．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且AP与的一条边相等，则称P为的关联点．    (1)在，，中，的关联点是______； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当时，求； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 题型八、角平分线性质定理与判定 67．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若，平分，且于点，连接，则（    ）    A． B． C． D． 68．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 69．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 70．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，于点，于点，连接，则下列结论：①；②；③；④为定值，等于．其中正确的有 （填序号）． 71．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 72．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上；． (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 73．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． (1)的度数为 °． (2)求点O到边的距离及的面积． (3)如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． ， 74．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，点，分别是，上的点，，相交于点． (1)如图1，求证：； (2)作交延长线于点． ①如图2，求证：； ②如图3，过点E作于点G，若，，直接写出的长为_____． 75．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知， (1)在内部以为斜边作，，连接，． ①如图1，过点D作交于点E，连接AE，求证； ②如图2，点F为上一点，连接，过点A作分别交于点G，交于点H，若，，求证： (2)中，是的平分线，点P、M分别为上任一点（不包含端点），若，，，直接写出的最小值． 参考知识 1．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．，p是的周长的一半，的三边长分别为a，b，c． 试卷第2页，共183页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 三角形的证明月考压轴题 内容导航 题型一、等腰三角形的构造问题……………………………………………………2 题型二、等腰三角形的性质与判定的综合问题……………………………………15 题型三、一次函数与等腰三角形的综合问题………………………………………35 题型四、等边三角形的性质应用……………………………………………………68 题型五、等边三角形的性质与判定…………………………………………………89 题型六、勾股定理逆定理的应用…………………………………………………123 题型七、线段垂直平分线的性质与判定…………………………………………134 题型八、角平分线性质定理与判定………………………………………………158 题型一、等腰三角形的构造问题 1．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案． 【详解】解：如图，有三种情况 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个； 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个； 当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个． 故答案为：4． 2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，，在直线BC或AC上取一点P，使得为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况分别画出图形，如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形；以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形；从而可得答案． 【详解】解：如图，以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 以为腰，为顶角的顶点的等腰三角形有 ， 以为底边，为顶角的顶点的等腰三角形有， 其中是等边三角形， ∴符合条件的点的个数有6个， 故选D． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，等边三角形的判定，做到不重复不遗漏的得到点P是解本题的关键． 3．（21-22八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 【答案】 6 4 【分析】（1）根据题意过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）根据题意分AB=AP，BP=AB，AP=BP三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO， ∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC， ∴OE=OF=OD=2， ∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC =AB•OE+AC•OF+BC•OD =×6×2+×8×2+×BC×2 ∵△ABC的面积20， ∴×6×2+×8×2+×BC×2=20， 解得：BC=6. 故答案为：6； （2）如图，点A（-2，2）、B（0，1）， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（-1，0），P2（-3，0），此时（AP=AB）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（-2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）； ③AB的垂直平分线交x轴于一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）； 设此时P4（x，0）， 则（x+2）2+4=x2+1， 解得：x=- ， ∴P4（- ，0）． ∴符合条件的点有4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线，利用角平分线的性质是解答此题的关键．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 4．（24-25八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图．    (1)在图1中画一个正方形，使其面积为5； (2)在图2中画一个等腰且，； (3)在图3中画一个且一条直角边长为，斜边长．并直接写出的面积________，斜边边上的高________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，， 【分析】（1）根据网格利用勾股定理和正方形的面积即可在图1中画一个边长为的正方形即可； （2）根据网格利用勾股定理画出一个三角形，使它的边长为，即可； （3）由勾股定理求出另一条直角边，根据网格利用勾股定理画出一个直角三角形，使它的边长为，，即可，再根据三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，图中的正方形即为所求，   ， 图中正方形的边长， 故它的面积为； （2）解：如图：图中的即为所求，   ， 其中，； （3）解：∵在中，一条直角边长为，斜边长， ∴另一条直角边， 如图，即为所求，   ，的面积， 斜边边上的高． 【点睛】本题考查了作图—作三角形，勾股定理、三角形面积公式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 5．（22-23八年级下·广东佛山·期中）如图，已知在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当，求的长度（结果保留根号）； (2)当为等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1) (2)的值为、16、5 (3)的值为5或11 【分析】（1）由，可得，再利用勾股定理即可求得结果； （2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解； （3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即：， ∴， ∵，， ∴， 则； （2）根据题意，得，， 在中，，， 根据勾股定理，得 若，则 ，解得； 若，则，，解得； 若，则，即：，解得． 即：当为等腰三角形时，的值为、16、5． （3）①点在线段上时，过点作于，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点在线段的延长线上时，过点作于，如图所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； 综上所述，在点的运动过程中，当的值为5或11时，能使． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，角平分线的判定定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． 6．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为，连接，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒． (1)求线段的函数解析式； (2)连接，求的面积S关于t的函数解析式； (3)点P在运动过程中，是否存在某个位置使得为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)线段CD的解析式为： (2) (3)点P的坐标为：， ， 【分析】（1）设直线的函数解析式为，经过，构建方程组求解函数解析式即可； （2）点P运行至点B时，（秒），分情况讨论，当点P在上时，，；当点P运行至点A时，（秒），当点P在上时，，； （3）①当点P在线段上时，若使得为等腰三角形，则，设，构建方程求解得；当点P在上时，设，则 ，，分情况讨论：若，若，若，分别构建方程求解． 【详解】（1）解：线段的函数解析式为，经过，则解得， ∴线段的函数解析式为 （2）解：点P运行至点B时，（秒） 当点P在上时，，；    当点P运行至点A时，（秒）， 当点P在上时，， ； ∴    （3）解：①当点P在线段上时，若使得为等腰三角形，则， 设，则，解得， ∴    ②当点P在上时，设，则，， 若，则，即，， ∴ （舍去） ∴． 若，则，解得 ∴． 若，则，解得（舍去）， ∴ 综上，点P的坐标为：， ，    【点睛】本题考查确定一次函数解析式，直角坐标系内与几何图形有关的动点问题，等腰三角形的性质；结合动点运行情况分类讨论是解题的关键． 7．（20-21八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系内，四边形的顶点是坐标原点，点在轴正半轴上，，点的坐标为，点在轴正半轴上，轴，垂足为点，连接，点是轴正半轴上的一个动点，设点的横坐标为． （1）点的坐标为_________，点的坐标为_________； （2）连接，设的面积为． ①求与之间的函数关系式；②当时，求出点的坐标． （3）点是直线上一点，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） ；（2）①  ②或；（3）      ． 【分析】（1）根据OA，OC长度写出坐标即可； （2）①过点B作BD⊥x轴于D，分0＜t＜1和t＞1两种情况，根据三角形面积公式求解即可； ②分两种情形：0＜t＜1或t＞1，利用三角形的面积构建方程求解即可； （3）分AQ=AB，AB=BQ，AQ=BQ三种情况分类讨论，利用等腰三角形轴对称，勾股定理等知识即可求解． 【详解】解：（1）∵OA＝1， ∴A（1，0）， ∵B（5，3），BC⊥y轴， ∴C（0，3）． 故答案为（1，0），（0，3）． （2）①过点B作BD⊥x轴于D． ∵点的坐标为， ∴BD=3， 如图1，当0＜t＜1时， ∵P（t，0），A（1，0）， ∴PA＝1﹣t， ∴， 如图2，当t＞1时， ∵P（t，0），A（1，0）， ∴PA＝t-1， ∴， 综上所述：S与t的函数关系式为 ； ②当0＜t＜1时，，解得， 当t＞1时，t，，解得． 综上所述，满足条件的t的值为或； （3）作AE⊥BC于E，则点E坐标为（1,3） 如图3，当AQ=AB时， ∴BE=QE=4， ∴点Q坐标为（-3，3）； 如图4，当AB=BQ时，AB=， ∴BQ=5， ∴点Q坐标为  ； 如图5，当AQ=BQ时， 设点Q坐标为（m，3） 在Rt△AQE中，, 即， 解得， ∴点Q坐标为（） 综上所述：当是等腰三角形时，满足条件的点Q的坐标共有四个，分别是     ． 【点睛】本题为一次函数综合题，考查了分段函数，勾股定理，等腰三角形分类讨论等知识，综合性较强，解题的关键是理解题意，根据题意全面考虑，不要漏掉所以情况． 题型二、等腰三角形的性质与判定的综合问题 8．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，在中，，，点，，分别在，，边上，且，．则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识．由得到，结合，，利用边角边定理证明，得，推出，，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图，解放广场的草坪上有，，CD，DA，AC五条小路，且，，，． (1)求小路的长度； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点O处，小狗从点O开始以的速度在小路上沿O→C→A的方向奔跑，跑到点A时停止，设奔跑中小狗的位置为点Q，小狗奔跑的时间为． ①若淇淇手中和小狗身上分别有一个信号器，当两个信号器的距离不超过时，可以接收到彼此发出的信号，当小狗在小路上奔跑时，求两个信号器可以接收到彼此发出信号的时长； ②当为以为腰的等腰三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，关键是勾股定理的熟练应用． （1）先根据勾股定理求出，再由勾股定理求出即可得到答案； （2）①由点到直线距离垂线段最短，过O作于B，如图所示，利用等面积法即可得到，在中，由勾股定理求出，即可得到小狗奔跑的路程，从而得到小狗奔跑的时间为； ②由①中求解过程，结合为以为腰的等腰三角形，分两种情况：；；分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）在中，，，，则由勾股定理可得 在中，，，，则由勾股定理可得 ∴小路的长度； （2）①由点到直线距离垂线段最短，过O作于B，如图所示： ∴在中，， 则 解得， 当时，在中，根据勾股定理得，， 当小狗在上时，两个信号器可以接收到信号的路程为， 小狗的速度为， 时长为 答：两个信号器可以接收到彼此发出信号的时长为； ②由①知，当时，， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况： ①当时，如图所示： 由等腰三角形性质可知， ∴小狗跑的路程为， ∵小狗以的速度奔跑， ∴小狗奔跑的时间为； ②当时，如图所示： ∴小狗跑的路程为， ∵小狗以的速度奔跑， ∴小狗奔跑的时间为； ∴当为以为腰的等腰三角形时，t的值为或． 10．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知在中，，，D为的中点． (1)如图1，当E，F分别是边上的点，时，连接，易证______（填三角形的名称），进而可判断的形状为________三角形； (2)如图2，当E，F分别为延长线上的点，，其他条件不变，请判断的形状并证明你的结论． 【答案】(1)，等腰直角 (2)等腰直角三角形；证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，易证，，，由证得，得出，，即可得出结论； （2）连接，同（1）由证得，得出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接，如图1所示： ，，为中点， ，，平分，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 为等腰直角三角形， 故答案为：，等腰直角； （2）解：仍为等腰直角三角形，理由如下： 连接，如图2所示： ，，为中点， ，，平分，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 11．（24-25八年级上·广西来宾·阶段练习）综合与实践 数学社团同学在学习湘教版八年级上册63页的三角测平架后得到启发，自制用四根小木棒钉成一个“等形”仪器，其中，． (1)如图1，将“筝形”仪器上的点与的顶点重合，，分别放置在角的两边，上，并过点A，C画射线．求证：平分； (2)数学社团同学尝试使用“筝形”仪器检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点B，D紧贴门框上方，如果线绳恰好经过点，则可判断门框是水平的．数学社团同学的判断对吗？请说明理由； (3)如图3，在中，，，若点，分别是边，上的动点，当四边形为“筝形”时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)对，等腰三角形“三线合一”性质 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据题意证明出，得到，即可证明出平分； （2）根据等腰三角形“三线合一”性质求解； （3）首先根据三角形内角和定理求出，然后分两种情况讨论①当；当，然后根据全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 平分； （2）解：， 是等腰三角形， 平分， ，依据是等腰三角形“三线合一”性质； （3）解：， 四边形为“筝形”， ①当时， 四边形为“筝形”， ； ②当时， 四边形为“筝形”， ， ， ， 综上，的度数为或． 12．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）（1）【问题发现】 如图1，在中，，，为上一点（点不与，重合），分别过点，作射线的垂线，垂足分别为点，，连接，求的度数． 小明发现，如图2，利用“一边一角造全等”，在线段上截取，连接，构造出全等三角形，经过推理和计算就能够求出的度数．请直接填空： ； （2）【拓展探究】 小明通过探究发现，（1）中的线段，，之间存在固定的数量关系．证明小明发现的结论； （3）【类比迁移】 和中，，，，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，求值． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键； （1）由“”可证，可得，，，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即可求解； （3）由“”可证，可得，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：（1）在上取一点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：； （2），理由如下： ， ， ， ， 由（1）可知：, ； （3）如图，在上取一点，使 ，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 且， ， ， ， ， ， ∴． 13．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）定义：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 如图①，线段，把分成三个等腰三角形，则线段，叫做的三分线． (1)请你在图②中画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形的顶角的度数； (2)如图③，在中，，线段，是的三分线，点，分别在边，上，且，．求的度数． 【答案】(1)图见解析（答案不唯一） (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义、三角形的三分线的定义画出图形即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，，，再设，根据三角形的内角和定理、三角形的外角性质可得，，，则，然后分两种情况：①和②，根据等腰三角形的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：画图如下：（答案不唯一） （2）解：∵，， ∴是等腰三角形，，， ∵， ∴是等腰三角形，， 又∵线段，是的三分线， ∴是等腰三角形， 设， ∴， ， ， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，是等腰三角形， 则，即，解得； ②当时，是等腰三角形， 则，即，解得； 综上，的度数为或． 14．（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图1，在等腰中，，，， (1)求证； (2)如图2，过点A作于点G，交于点F，过F作交于点P，交于点H． ①猜想与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据题干条件即可直接证得，从而证得； （2）①由（1）可知，从而可得，结合，可知，从而可得； ②过点C作交的延长线于点M，延长交于点N，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出． 【详解】（1）证明：由题可得： 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：①， 证明：∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴； ②， 证明：如图，过点C作交的延长线于点M，延长交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键． 15．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)当秒时，求的长； (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形？ (3)若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1) (2)秒 (3)6秒或6.6秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）由题意得出，即，解方程即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，易求得；②当时（图3），过点作于点，则求出，，即可得出；③当时，证，得，即可得出． 【详解】（1）解：当时，，， ， ∴； （2）解：根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）解：分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 当时，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴秒 由上可知，当为6秒或6.6秒或秒时，为等腰三角形． 16．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段． (1)如图2，和都是等腰直角三角形，且． ①图中线段的“友好”线段是 ； ②连接，若，求的长； (2)如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长． 【答案】(1)①；②3 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形、三角形全等的判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）①利用“”证明，即可得到进而即可求解； ②连接，根据等腰直角三角形的性质即可求出的长度，进而求出的长度，然后根据勾股定理即可求出的长度，由①可求出的长度； （2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，得到根据等腰三角形的性质得到利用“”证明得到最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①如图2， 和都是等腰直角三角形，， ， 图中线段的“友好”线段是， 故答案为：； ②连接， 是等腰直角三角形， ， ， 由①知，， ∴； （2）如图3，以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，， ∵, ， ∴， ∴， ∴线段的长为． 17．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）折纸是我国的传统文化．在探究学习中，折纸也常常能给我们解决问题提供思路和方法．在数学综合实践课上，老师和同学们对折纸作如下探究活动． 【操作说理】如图①，在长为，宽为4cm的长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． （1）试问重叠部分的是等腰三角形吗？请说明理由． （2）求面积的最小值． 【观察探究】把正方形纸片，先沿对折，使左右两边重合；重新展开纸片，再沿折叠，使点与点重合，点落在点，与相交于点． （3）若正方形的边长为1，求的长； （4）试探究点是否为边的三等分点？加以说理． 【迁移运用】若在一张三角形的纸片中，，过某一个顶点将纸片对折一次后，使得对折后的两个三角形均为等腰三角形，则三角形纸片中最大内角的度数为______°．（直接写出答案） 【答案】操作说理（1）是，理由见解析；（2）；观察探究：（3）；（4）；是，理由见解析；迁移运用：或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 操作说理：（1）通过折叠和平行，即可证明为等腰三角形； （2）当最小时，即最小时，的面积取得最小值，当时，的面积最小； 观察探究：（3）由折叠得，，然后根据即可求解； （4）设正方形的边长为a，连接作于H，则四边形和四边形都是长方形，根据求出，在中，，在中，，在中，，可得，求出即可． 迁移运用：）分四种情况画出图形，进行计算即可． 【详解】解：操作说理：（1）为等腰三角形，理由如下： 纸片沿线段折叠， ， 四边形为长方形， ， ， ， 为等腰三角形； （2）由（1）得， 的面积， 当最小时，即最小时，的面积取得最小值， 当时，的面积最小； 观察探究：（3）由折叠得，， ∵， ∴， 解得； （4）设正方形的边长为a，连接作于H，则四边形和四边形都是长方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴点是边的三等分点； 迁移运用：第一种情况，沿折叠，如图所示，， ∴，， ∵ ∴， ∴； 第二种情况，沿折叠，如图所示，， 同理可求：； 第三种情况，沿折叠，如图所示，， 同理可求：； 第四种情况，，沿折叠，如图所示，， 同理可求：． 综上所述，三角形纸片中最大内角的度数为或或或． 题型三、一次函数与等腰三角形的综合问题 18．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，点，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上的动点．当线段最短时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出，，，从而可得，再过点作轴于点，根据垂线段最短可得当与直线垂直时，线段最短，则，然后根据等腰三角形的三线合一可求出点的坐标，从而可得点的横坐标，由此即可得． 【详解】解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， ∴，，， ∵轴轴， ∴， 如图，过点作轴于点， 由垂线段最短可知，当与直线垂直时，线段最短， ∴此时， ∴， ∴点是的中点（等腰三角形的三线合一）， ∵，， ∴，即， ∴点的横坐标为1， 将代入直线得：， ∴点的坐标为， 故选：A． 19．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探索、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质和一次函数的性质求解即可，熟练掌握等腰三角形的性质和一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，即的面积， ∵， ∴， ∵过点作轴，分别交直线和于，两点， ∴， ∴，即的面积， 依次类推，，即的面积， ，即的面积， …， ∴，的面积， 故答案为：． 20．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C是x轴上的一个动点．当点C在x轴上移动时，始终保持是等腰直角三角形，且（点A、C、P按逆时针方向排列）；当点C移动到点O时，得到等腰直角三角形（此时点P与点B重合）． 【初步探究】 （1）写出点B的坐标 ； （2）点C在x轴上移动过程中，当等腰直角三角形的顶点P在第四象限时，连接． ①求证：； ②写出与的位置关系并证明． 【深入探究】 （3）当点C在x轴上移动时，点P也随之运动．探究当点P运动到与点O距离最小时，求线段所在直线的函数表达式． 【拓展延伸】 （4）点C在x轴上移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出此时点C的坐标． 【答案】（1）；（2）①见解析；②垂直，见解析；（3）；（4）或或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，，题干中已知A点坐标，即可求得的长度，表示出B点坐标即可； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到，再根据等角的余角相等，得出角，最后利用三角形全等的判定方法进行判定即可； ②根据①中，得出，即可判断； （3）根据（2）的结论，得出当点P在x轴时，P到O的距离最小，此时，然后根据待定系数法求解即可； （4）先根据题意，确定B点、A点坐标，设出P点和C点坐标，分情况进行讨论，当时，当时，当时，分别利用两点间距离公式求出点P点的坐标，然后分别算出的长，最后利用计算出C点坐标即可． 【详解】解：（1）∵点A的坐标为，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴B点坐标为； （2）①证明：在等腰直角三角形中，，，在等腰直角三角形中，，， ， ， ， 在和中， ， ； ②， 理由：由①知：， ， ； （3）， P点在过B点且垂直与的垂线上， 当点P在x轴时，P到O的距离最小， ∵点B的坐标为， ∴P到O的距离最小时，点P的坐标为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； （4）由题意和（1）可知， 设，， ∴， ， ， 当时，， ∴， 解得∶（舍去）或， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴； 当时，， ， 解得：或， ∴此时点P的坐标为或， ∵ ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当点P的坐标为时，点C的坐标为； 当时，， ∴， 解得：， ∴点坐标为， ∴此时， ∴， ∵点A、C、P按逆时针方向排列， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形全的判定方法，计算两点间距离，动点问题，解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，能够得到相等的线段和角，动点问题要注意分类进行讨论，根据情况确定答案． 21．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，且、满足． (1)求点的坐标； (2)点、分别为轴负半轴和正半轴上的点，连接、，在线段延长线上取一点，连接，使，线段上有一点，若，求的度数； (3)在（2）的条件下，延长至，连接交轴于点，连接，当时，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出的值，由此即可得； （2）过点作于，根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得证明是等边三角形，得，进而利用等边对等角及三角形的外角性质得再利用角的和差即可得解； （3）如图，过点作交直线于点，过点作直线于点，由题意可得，先证明得，再证明（）得，从而即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作于， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴； （3）解：如图，过点作交直线于点，过点作直线于点，由题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）得 ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴， 在和中， ∴（） ∴， 由（）得， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，绝对值的非负性，以及同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的管． 22．（24-25八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中， 点坐标为点坐标为是轴负半轴上一点，且是轴正半轴上一点，作于点，连接． (1)点坐标为______，______． (2)①当点在线段上时，若是等腰三角形，请求出所有符合条件的点坐标． ②如图2，设交直线于点，连结，若，则求（直接写出结果）． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或或；②或 【分析】本题考查坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形点判定与性质及三角形面积的计算，熟练掌握相关性质及判定定理，灵活运用分类讨论的数学思想是解题关键． （1）根据点、坐标可得出、、的长，利用勾股定理即可求出答案； （2）①当时，利用可证明，得出，进而求出的长即可得点坐标；当时，利用等腰三角形点性质及直角三角形两锐角互余可得出，即可得点坐标；当时，利用直角三角形两锐角互余可得，易知点是的中点，根据等腰三角形三线合一可知点与点重合，即可得点坐标为；综上即可得答案； ②分点在线段上和点在点上方两种情况，根据可求出，根据等腰三角形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余及等角对等边得出，进而求出的长，根据三角形面积公式即可得答案． 【详解】（1）解：点坐标为，点坐标为，， ，，， ， 点坐标为， ， 故答案为：，； （2）当时， ， ， 在和中， ， ， ， 在直角中，， ， ， 点坐标为； 当时，则， ，， ， ， 点坐标为， 当时，则， ，， ， ， 点是的中点， ，， 点与点重合， 点坐标为， 综上所述：点坐标为或或． ②如图2，当点在线段上时， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图3，当点在点上方时， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 23．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过轴负半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且． (1)的长为______，的长为______，直线的表达式为______； (2)若点为直线上的点，点为轴上的点，请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)4，2， (2)直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或 【分析】（1）先求出，，由全等三角形的性质可得，； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点坐标． 【详解】（1）解：直线交坐标轴于，两点，把代入得：， 点的坐标为， ， 把代入得：， 点的坐标为， ， ， ，， ，， 设直线对应的函数表达式为：， 把，代入得： ， 解得， 直线对应的函数表达式为， 故答案为：4，2，； （2）直线上存在点，使是以为直角顶点的等腰三角形．理由如下： 为直线上的点， ， ， ①当点在点下方时，如图2，连接，过点作，交的延长线于点， ， 轴，，点的纵坐标为2，， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 点的纵坐标为3， 把代入中得：， 点； ②当点在点上方时，如图3，过点作轴，过点作于点，过点作交的延长线于点． 则， 点的横坐标为1， 则， 是以为直角顶点的等腰三角形， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为1， 点的纵坐标为1， 把代入中得：， ； 综上所述，直线上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 24．（21-22八年级上·山西太原·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，一次函数的图象过点与点与x轴相交于点A． (1)求这个一次函数的表达式； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，若直线轴于点，交这个一次函数图象于点M，点P在y轴上，当以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形时，直接写出点M坐标． 【答案】(1)； (2)6； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先利用坐标轴上点的坐标特征确定A点和B点坐标，然后根据三角形面积公式计算； （3）如图，设，分类讨论：当或，根据等腰直角三角形的性质得；当时，利等腰直角三角形斜边上的高等于斜边得一半得到，然后分别解关于m的方程即可得到M点的坐标． 【详解】（1）∵一次函数的图象过点与点， 根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为； （2）当时，， 解得，则， ∴； （3）如图，∵直线轴于点，交这个一次函数图象于点M， ∴， ∵以点M、N、P顶点的三角形是等腰直角三角形 ∴当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当，即， 则， 解得或， 此时M点坐标为或； 当时， ∵， ∴点P在线段的垂直平分线上， 过点P作于点Q， 则， ∴， 解得，此时M点坐标为， 综上所述，满足条件的M点坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是分情况讨论． 25．（22-23八年级上·广东深圳·期中）建立模型： （1）如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上． 过点作交于点， 过点作交于点， 求证：； （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点A，B， 将直线绕点顺时针旋转得到， 求的函数表达式； （3）如图3，在平面直角坐标系，点， 过点作交于点， 过点作交于点， 为线段上的一个动点，点位于第一象限． 问点能否构成以点为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出的值； 若不能， 请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）先说明，然后再根据即可证明结论； （2）先由题意确定、点坐标，根据全等三角形的判定与性质确定点C的坐标，然后运用根据待定系数法求得的解析式； （3）作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上；然后分点在的上方和下方两种情况，分别根据全等三角形的性质列出关于的方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意可知， 为等腰直角三角形 ∴ ， 在中 ． （2）由题意意可知点坐标为，点坐标为 过点作交于点， 过点C作轴交轴于点， 由（1）的证明可知 点坐标为， 设 过点 解得 ． （3）如图：作线段的中垂线记为，由等腰三角形的性质可知，若点存在， 则一定在上． ①当点在下方时 过点作轴交于点， 则交于点， 由（2）同理可得出， ， 即 解得， 则点与点位于第一象限相矛盾， 故舍去 ②当点在上方时 过点分别作轴交于点， 则的延长线交于点， 由（2）同理可得出， ， 即 解得， 则点符合题意． 综上，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合题、全等三角形的判定、全等三角形的性质、用待定系数法求函数解析式等知识点，利用全等三角形的性质得出关于的方程是解题关键． 26．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，且，直线经过点，与直线交于点D． (1)求直线的解析式； (2)如图2，连接、，求的面积； (3)如图2，当点D在直线上运动时，在坐标轴上是否存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是或或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据待定系数法可得直线的解析式； （2）由的面积，即可求解； （3）分四种情况：在x轴和y轴上，证明，得，，设，表示点Q的坐标，根据的长列方程可得m的值，从而得到结论． 【详解】（1）解：， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入：中得：， ， ∴直线的解析式为：； （2）解：设交x轴于点H， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为：，即点， 则， 则的面积； （3）解：存在，分四种情况： ①当Q在y轴的正半轴上时，如图2，过D作轴于M，过C作轴于N， ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 即， ， ∴； ②当Q在x轴的负半轴上时，如图3，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：， ∴，， 设，则， ∴， 即， ， ∴； ③当Q在x轴的负半轴上时，如图4，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：， ∴，， 设，则， ∴， 即， ， ∴； ④当Q在y轴的负半轴上时，如图5，过D作轴于M，过C作轴于N， 同理得：， ∴， 设，则， ∴， 即， ， ∴； 综上，存在点Q，使是以为底边的等腰直角三角形，点Q的坐标是或或或． 27．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点．直线上有一点，点在第二象限，连接，以为直角边，点为直角顶点，在直线下方作等腰直角三角形，连接． (1)求证：． (2)当时，在轴上有一点，若是等腰三角形，直接写出所有点的坐标． (3)若点是的三等分点，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 (3)或 【分析】（1）求出两点坐标，进而得到，证明，即可得证； （2）根据，得到，进而得到为的中点，求出点坐标，设，分三种情况进行求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，根据点是的三等分点，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 过点作轴，则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，则：， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①，则：或； ②，则：， ∴， ∴； ③，则：，解得：， ∴； 综上：或或或； （3）过点作轴，过点作轴， ∵，为的三等分点， ①当， ∵，， ∴， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． ②当时，则：， ∴， 同理可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 28．（24-25八年级上·全国·阶段练习）已知直线交x轴于点，交y轴于点，且m、n满足． (1)求m，n的值； (2)如图1，若点C在第一象限，且于点E，延长至点D，使得，连，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若点C在上，点F在的延长线上，Q为的中点且，是以为直角边的等腰直角三角形，求证：． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】对于（1），根据绝对值和完全平方式的非负性可得答案； 对于（2），先设与交于点M，由，可得，再结合，可得，证明，根据全等三角形的性质相等得，然后根据，即可得出答案； 对于（3），根据点A，B的坐标可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，再过点C作，交于点H，则，可证为等腰直角三角形，，再根据，点Q为的中点，设，则，可证明，接下来得，进而得出，然后得出，由，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 设与交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）∵， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 过点C作，交于点H，则， ∴，则， ∴为等腰直角三角形，． ∵，点Q为的中点， 设，则， ∴， 即． ∵ ∴， ∴． ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， 即， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型四、等边三角形的性质应用 29．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，是等边三角形，是边上的动点（不与点，重合），连结，点，分别在线段，的延长线上，且，在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大后变小 D．先变小后变大 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．设等边的边长为，则，先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得与的周长之和为，最后根据的值的变化情况即可得出答案． 【详解】解：设等边的边长为，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与的周长之和为 ， ∴与的周长之和随着的变化而变化， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴在动点从点运动到点的过程中，的值是先变小后变大， ∴在动点从点运动到点的过程中，与的周长之和的变化情况为先变小后变大， 故选：D． 30．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，图形类变化规律问题，根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出底角的变化特点，根据变化规律得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵，，，…均为等腰三角形，且，，，…为腰， ∴，，，……以此类推， ． 故选：B． 31．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，等边三角形的边长为8，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，连接，由全等和等边三角形证明，得到，则，当与重合时，最小． 【详解】解：连接， ∵等边三角形的边长为8，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，最小， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，直线l：与x轴交于点B，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，过点作轴，交直线L于点，以为边作等边，以此类推，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律题，结合等边三角形的性质和一次函数的图象和性质求解是解题的关键． 根据求出点B的坐标，得到，根据等边三角形的性质，分别求得的纵坐标，进而得到的纵坐标，可得点的纵坐标． 【详解】解：∵直线与x轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 把代入得∶， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴点在的垂直平分线上， ∴点的横坐标为， ∴， 同理， ……， ∴的纵坐标为， ∴点的纵坐标是． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可根据求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 34．（24-25八年级上·河南开封·阶段练习）小华阅读了华师大课本第119页阅读材料“美丽的勾股树”的主题内容后，深受启发，于是，他又对进行了一系列的探究，猜想，验证和运用，请你和他一起完成下面的探究． (1)观察猜想 ①如图1，将放置在边长为1的正方形网格中，则，，之间的关系是______； ②如图2，以的三边向外作等边三角形，，，则，，之间的关系是______； (2)探究论证 如图3，以的三边为直径向外作半圆，若，，，则判断在（1）中发现的，，之间的关系是否还成立，并说明理由． (3)拓展应用 如图4，以的三边为直径向外作半圆，已知阴影部分的面积为8，请直接写出的面积． 【答案】(1)①；②； (2)还成立，理由见解析 (3)8 【分析】（1）①根据正方形的面积公式、勾股定理，理由网格计算，得到答案； ②由勾股定理和等边三角形的面积公式可求解； （2）由勾股定理和半圆的面积公式可求解； （3）由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：①，理由如下： 由网格可知：， ∴之间的关系是， 故答案为：； ②，理由如下： ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：还成立，理由如下： ∵，，，， ∴； ∴； （3）解：∵图中阴影部分的面积，， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理找到面积的数量关系是解题的关键． 35．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）如图，是等边三角形，点E和点F分别是和上的点，且．已知点O是三条内角平分线的交点，连接，．      (1)如图1，求证：． (2)如图2，平分交于点D，连接，求证：． (3)如图3，当点E和点F分别位于和的延长线上时，（2）中的条件不变，写出，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据点O是三条内角平分线的交点得，则，且，即可证明； （2）由（1）可知，则和．结合角平分的性质证得，有，结合即可； （3）由点O是三条内角平分线的交点得，则和．即可证明，有和，结合角平分线得，有，结合即可证明． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 点O是三条内角平分线的交点， ， ∴，， ∴， ，即． 在和中， ， ． （2）解：由（1）可知， ，． 平分， ， 又， ， ， ． （3）解：． 理由：点O是等边三条内角平分线的交点， ， 则，即， ， ，， ， ，． 平分， ． 又， ， ， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、三角形的角平分线、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质和角平分线的定义，解题的关键是熟悉全等三角形的性质． 36．（23-24八年级上·河南·阶段练习）（1）如图1，都是等边三角形，点在边上，连接，则的度数为______． （2）如图2，都是等腰直角三角形，，点在边上，连接，请判断的度数及线之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，连接，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），，理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形全等的性质和判定，构建全等三角形是关键． （1）根据等边三角形性质利用证明，可得； （2）根据等腰直角三角形性质利用证明，可得；，进而可得，再利用勾股定理即可得到结论； （3）如图，延长至点，使，由，则，可得，进而可证，推出，再根据图形面积之间的关系可得结果． 【详解】解：（1）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2），，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，， ∴， ∴, ∴． （3）如图，延长至点，使 ∵， ∴ ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴。 37．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）已知，在等腰中，，． (1)如图①，利用圆规和无刻度直尺，在等腰内作出点，使得点到顶点，，的距离相等．（保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连结，，，求的值． (3)阅读并解答： 如图②，若点在等腰内，连结，，，在线段，的左侧作等边和等边，连结，则可以证明结论成立．试利用该结论，求当最短时，线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用尺规作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点； （2）延长交于点，先根据等腰三角形的三线合一、勾股定理可得，设，则，再在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得当最短时，点共线，再证出是的角平分线，延长交于点，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理可得的长，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，延长交于点， 则是边上的垂直平分线， ∵在等腰中，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 则． （3）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴（当点共线时，等号成立）， 即如图，当最短时，点共线， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的角平分线， 如图，延长交于点， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 所以当最短时，线段的长为． 【点睛】本题考查了作垂线、等腰三角形的三线合一、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、二次根式的应用等知识，综合性较强，较难的是题（3），找出当最短时，点共线是解题关键． 38．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）【建立模型】（1）如图1，锐角中，分别以为边向外作等边和等边．连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，中，，分别以为边向外作正方形和正方形，连接，求的长． 【模型应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，以为直角边在线段的左侧作等腰直角，直接写出的长是__________．    【答案】（1），理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，再证明，可得结论； （2）如图2，连接、，证明，可得．求解，即可； （3）如图，在线段的右侧过点A作于A，交的延长线于点E，通过证明与全等，从而得，从而求得长． 【详解】解：（1）， 理由是：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2）如图，连接、，   四边形和四边形是正方形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． ，， ， ， ； （3）如图，在线段的右侧过点A作于A，交的延长线于点E，   ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质、勾股定理，解题的关键是能够利用边角边证明与全等，． 39．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，，在同一直线上，连接．填空： ①的度数为______； ②线段，与之间的数量关系是____________． （2）拓展研究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，，在同一直线上．若，，求的长度． （3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中，当点A，，不在同一直线上时，设直线与相交于点，试在备用图中探索的度数．（直接写出结果，不必说明理由） 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得出，，，即可证，结合题意可求出，即得出； ②根据全等三角形的性质可得出，结合等边三角形的性质即可得出； （2）由等腰直角三角形的性质可得出，，，，即可证，得出，，进而易证，再根据勾股定理求解即可； （3）分类讨论：当点O为线段与线段延长线的交点时和当点O为线段与线段的交点时，分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴． ∵点A，，在同一直线上， ∴， ∴； ②∵， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴； （2）∵和均为等腰直角三角形，且， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，． ∵点A，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴； （3）分类讨论：①如图3，当点O为线段与线段延长线的交点时， 由（1）①可知， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②如图4，当点O为线段与线段的交点时， 同理可得， ∴． 综上可知的度数是或． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，邻补角的性质等知识，根据等边三角形的性质或等腰直角三角形的性质，证明是解题关键． 题型五、等边三角形的性质与判定 40．（23-24八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，，点，分别是射线，上的动点，为内一点，且，则的周长的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，关于的对称点，连接，先根据轴对称的性质可得，，，，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为的长，然后证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接， 由轴对称的性质得：，，，， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴ ， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长的最小值为4， 故答案为：4． 41．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，，M为线段上的动点（不含端点），P为x轴上的一个动点，连接，以为边向右作等边 则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，确定点N在经过点C且与平行的直线上运动是解题关键． 在上截取，连接，根据题意得出，，垂直平分，再由等边三角形的判定和性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出，确定点N在经过点C且与平行的直线上运动，作交的延长线于点D，则，结合图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵， ∴，，垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵等边 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N在经过点C且与平行的直线上运动， 作交的延长线于点D，则， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 42．（24-25八年级上·湖南娄底·阶段练习）（1）【课本巩固】如图①，在等边中，D为边上一点，E为上一点，且，连接与相交于点F．与的数量关系为______，与构成的锐角夹角的度数是______；    （2）【探究发现】在（1）的基础上，延长至点G，使，连接，如图②所示，求证：平分． （3）【拓展延伸】如图③，在等边中，D为边上一点，E为上一点，且，，，求． 【答案】（1），；（2）详见解析；（3） 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可知，，求得，推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据全等三角形和角平分线的定义即可得到结论； （3）连接，设，，求出，，再求出，从而可求出． 【详解】解：（1）如图①，∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：相等，； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）如图，连接，    设，， ∵是等边三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 同理可得，， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 43．（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点（不与点B重合，且），在射线上截取，连接． (1) （填“是”或“不是”）等边三角形； (2)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，如图1，线段与的数量关系为 ； ②如图2，若点C不与点D重合，求证：； (3)当点C在线段的延长线上时，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)是 (2)①；②见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据“有一个角为的等腰三角形是等边三角形”即可判断． （2）①由是等边三角形，得出，，再利用全等三角形判定推出，即可得出结论； ②在上截取，连接，先证明和都是等边三角形，得出，再通过证明得出，结合图形即可得出结论； （2）分两类情况：点在线段、延长线上，作出同（1）中的辅助线，由（1）中的结论得，，，再根据线段的和差进行等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形． 故答案为：是； （2）解：由（1）知是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． ②证明：在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 同理可得，也是等边三角形， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：若点A在线段上，如图3，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 若点A在延长线上，如图4，作同（1）中的辅助线， 由（1）中的结论得，，， ； 综上所述，数量关系为或． 44．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图①，将沿着翻折，得到，与关于成轴对称，以此变换，如图②，中，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图③，点E，F分别在上，且，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，如图④作于点H，点M为上一点，且，连接并延长至点N，使，连接，，作于点K，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判定； （2）证明和全等，再利用全等三角形的性质和外角和定理即可得到本题答案； （3）以为边在左侧作等边三角形，连接，证明和全等，再证明和全等，再设，，继而得，继而列式解出，再利用直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵， ∴为等边三角形； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：以为边在左侧作等边三角形，连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵ ∴． 【点睛】本题考查等边三角形判定，全等三角形判定及性质，外角和定理，翻折性质，直角三角形三边关系等，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形是解题的关键． 45．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，在中，，，，平分，交边于点．点是边上一动点（与点、不重合）．过点作，垂足为点，与射线交于点． （注：在直角三角形中，所对的直角边的长与所对的直角边的长的比是） (1)当点在边上时， ①求证：； ②设，求与之间的函数解析式并写出定义域． (2)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)①详见解析② (2)的长为8或 【分析】（1）先证，得，再由线段垂直平分线的性质即可得解； 先求，则，再由全等三角形的性质得，则，，再代入，即可求解； （2）分别对三种情况：当时，当时，当时，进行讨论，即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解：， ， ， ， 由得：， ， ， ， ， ， 平分， ， ∴， ； （2）解：， ， 平分， ， 分三种情况： 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图所示， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 点是边上一动点(与点、不重合)，， 点与点重合，舍去； 当时，如图所示， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为8或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 46．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）【材料阅读】 截长补短法主要用于证明线段的和差关系，具体分为截长法和补短法两种： ①截长法：在长线段上截取一段等于另两条线段中的一条，然后证明剩下线段的长等于另一条线段的长； ②补短法：将一条短线段延长，延长部分的线段的长等于另一条短线段的长，然后证明新线段长等于原线段长． 【问题呈现】 （1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．求证：． 【问题启发】 李老师提出可以利用数学里的转化思想，将三条线段的数量关系转化为两条线段的数量关系，请你完成上面的证明过程； 【迁移应用】 （2）如图②，是等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是的平分线，连接交与点F．猜想之间的数量关系，并证明你的猜想； 【能力提升】 （3）如图③，在中，，，点D在边上，过点B作，交的延长线于点E，延长至点F，连接，连接交于点G，使，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）120 【分析】（1）如图①：延长，使，先证明得到，，进而证得，再证明得到，进而可证得结论； （2）如图②：在上截取，连接，先由为等腰直角三角形可得，再证明可得，再证明是等边三角形可得，然后根据线段的和差及等量代换即可解答； （3）如图③：先证明得到，；结合已知得到，证明得到，进而可得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，延长，使， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：数量关系：，理由如下： 如图②：在上截取，连接， 为等边三角形， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ，， ， 在和中， ， ， ． 是的平分线， ， ∴是等边三角形， ； （3）解：如图③，在上截取， ∵，， ∴， ∴，又，， ∴， ∴，； ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，灵活添加辅助线，运用相关性质、定理是解题的关键． 47．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）（1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）C （3）是， （4）是， 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立； （3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得． （4）连接交于N，连接交于M，交，由等腰直角 三我性质与勾股定理求得，，再证明，得，从而求得 ，由勾股定理得，，，，即可由求解． 【详解】解：（1）， 证明：和均为等边三角形， ，，． ∴ ． 在和中， ， ． ． （2）和均为等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由（1）知： ∴ 又∵ ∴ ∴，故①成立； ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形，故③成立； ∴ ∴ ∴，故②成立； 由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立； 故选：C． （3）设交于M，如图3， 由（1）知： ∵，， ∴ ∴． （4）是，。 理由：连接交于N，连接交于M，交，如图4， ∵和是以和为直角的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∴，是定值． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． 48．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，在中，． (1)如图，在中，若，且，求证：； (2)如图，在中，若，且垂直平分，垂足为，，，求的长度？ (3)如图，，，，，则的长度？ 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】由，得出，由证得，即可得出结论； 连接，先证是等边三角形，再由垂直平分，得出，由，得出，，得出，，由勾股定理即可得出结果； 将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于，则，根据勾股定理得到，求得，，得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：连接，如图所示： 垂直平分， ， ， 是等边三角形， 垂直平分， ， 由可知：， ，， ， ， ； （3）解：将线段绕逆时针旋转，的对应点为，连接交于， 则， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 49．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知：如图，在中，，，，平分，交边于点D．点E是边上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线交于点F．（注：在直角三角形中，所对的直角边的长与所对的直角边的长的比是） (1)当点F在边上时， ①求证：； ②设，，求y与x之间的函数解析式并写出x的取值范围． (2)当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)的长为8或 【分析】（1）①先证，得，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论； ②先求出，则，再由全等三角形的性质得，则，再由，即可求解； （2）分三种情况：①当时，则，求出，再由含角的直角三角形的性质得，则，解得：，进而得；②当时，则，求出，得，点E与点B重合，舍去；③当时，先由含角的直角三角形的性质得，，再证是等边三角形，则，得即可． 【详解】（1）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 由①得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，在直角三角形中，所对的直角边的长与所对的直角边的长的比是， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在等腰三角形中，作于点H，则， 设，则， 则， 解得：， 则， 则， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 设， 分三种情况： ①当时，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边上一动点（与点A、B不重合），， ∴点E与点B重合，舍去； ③当时，如图3所示： ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 综上所述，当是等腰三角形时，的长为8或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 50．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图1，在中，；点、点分别在线段、线段上，连接、，且；过点作的垂线，交延长线于点，交于点，交于点； (1)若，，求的面积； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点是边上的一个动点，以线段为边，在直线下方作等边，连接、；当时，求在的运动过程中取得的最小值时的度数； 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定和性质； （1）过点作于点，先求出，再证明得出，根据三角形的面积公式，即可求解； （2）过点F作交于点，证明，得出，证明，得出，证明，即可得出； （3）延长交于点，连接，证明，进而证明是等边三角形，依题意，的运动过程中，当三点共线时，取得的最小值，进而根据是等边三角形，根据对顶角相等，得出，进而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，延长交于点，连接， 由（2）可得，，， ∴， ∴， 又 ∴， 在中， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， 由已知， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ 依题意，的运动过程中，当三点共线时，取得的最小值， ∵是等边三角形，则当三点共线时，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴． 51．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）已知，如图，在中，，延长至点M，过点C作 ． (1)求证：； (2)如图2，若，在上取点D ，上取点E ，连接，，使得是等边三角形．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过B作，分别交于G，F，H，连接交于点K． ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)①证明见解析；② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）利用平行线的性质得到根据等边对等角得到，即得到结论； （2）证明，即可得到结论； （3）①证明是等边三角形，得到，证明，则，证明，得到，则，证明是等边三角形，得到，证明即可；②证明，设，则，得到得到关于x的方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∵ （2）∵且 是等边三角形， 又∵是等边三角形 ， ∴ （3）①∵， 又∵， 是等边三角形， ∵ 又∵ 又∵    即： ∵ 是等边三角形 ∵ ②∵ 又∵ 设， ∵ 又∵， 题型六、勾股定理逆定理的应用 52．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A、B的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受到台风影响，见解析 (2)台风影响该海港持续的时间有 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）先利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （2）解：由（1）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 53．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）在中，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接． (1)如图1，当是线段上一点时，请依题意补全图形，并判断以三条线段为边构成的三角形是 三角形； (2)当点在线段的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由． 【答案】(1)补全图形见详解，直角 (2)补全图形见详解，成立，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，全等三角形的判定和性质， （1）延长到，使得，连接，可证，可得，，在中，运用勾股定理逆定理可得，于是有，即可求解； （2）过点作，与的延长线交于点，连接，可证，可得，运用勾股定理逆定理即可求解． 【详解】（1）解：结论：以三条线段为边构成的三角形是直角三角形， 理由：延长到，使得，连接， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴以三条线段为边构成的三角形是直角三角形； （2）解：结论：． 理由：过点作，与的延长线交于点，连接， 则， ∵点是的中点， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 54．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 55．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）阅读理解：对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”． 解决问题：如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点． (1)已知3个点：，则这三点中，可以做线段的“等距点”是 ，线段的“完美等距点”是 ； (2)若坐标原点O为线段AP的“等距点”，求出点P的坐标； (3)若，点在轴上，且是线段的“等距点”，求点的坐标； (4)当，是否存在这样的点，使点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，请直接写出所有这样的点P的坐标． 【答案】(1)和； (2)点P的坐标为或， (3)点的坐标为或； (4)点P的坐标为或 【分析】（1）依据两点之间的距离公式分别计算各点到，的距离，根据等距点和完美等距点做出判断； （2）由在上，得到，根据两点间的距离公式，由列出等式，求解即可， （3）设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论； （4）假定存在，设出点的坐标，根据等距点的定义，利用两点之间的距离公式列出方程可得结论， 本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，灵活应用两点之间的距离公式和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 为等距点． ，， ， 为等距点． ，， ， 不为等距点． ， ，，，， 为完美等距点， 故答案：和；； （2）解：在上， ， ， ， ， 或， （3）解：在上， ， ， ， ， 或， 设的坐标为， 或， ，， 或， 解得：或． 的坐标为或； （4）解：设点的坐标为， ， ，， 点是线段的“等距点”， ， ， 解得：， 为线段的“完美等距点”， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ， 解得：或， 当时，， 当时，， 点的坐标为或． 56．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）为了增强学生体质，丰富校园文化生活，推行中小学生每天锻炼一小时的“阳光体育运动”，某学校决定在校园内某一区域内新建一块塑胶场地，供同学们课间活动使用，如图，已知，，，，． (1)连接，求的长度； (2)若平均每平方米的材料成本加施工费为110元，请计算该学校建成这块塑胶场地需花费多少元？ 【答案】(1) (2)12540元 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用： （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理的逆定理得出，再根据求出这块塑胶场地的面积即可求出答案． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴； （2）解：在中，，，， ∴，， ∴ ∴为直角三角形，且． ∴， ∴（元）． 答：该学校建成这块塑胶场地需花费12540元． 57．（20-21九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 题型七、线段垂直平分线的性质与判定 58．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，于点，于点，与交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质定理和线段垂直平分线的性质，由于点E，于点D，得，则，而，则，所以，即可证明，则，可判断①；过点作于点，于点，证明，得可得平分从而判断②；分别证明是等腰直角三角形，可证，得进而得到，再证明即可判断③；延长到点，使，连接，，证明得证明是等边三角形，进一步判断④． 【详解】解：①∵于点E，于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②过点作于点，于点，    ∵ ∴ 又 ∴， ∴ ∴平分 又 所以，； ③， ∵ ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ 同理可得：是等腰直角三角形， ∴ 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∴，故③错误； ④延长到点，使，连接，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵ ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 59．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知等边，点为边上一点，连接，在的右侧作射线，使（），延长交射线于点，连接，作于点． (1)如图，当点为中点时，______，的值为______； (2)如图，当点在上运动时：用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（）由等边三角形的性质可得垂直平分，，，，即得，，得到，进而得，得到，再根据直角三角形的性质即可求解； （）在上截取，连接，可证，得，，，进而可得是等边三角形，得到，，即可得，得，再根据直角三角形的性质得，最后由即可求证． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点是的中点， ∴垂直平分，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 60．（24-25八年级上·福建泉州·阶段练习）【材料1】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即“在中，，则”． 【材料2】定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为_______； (2)如图2，已知，分别以，为边向外作等边与等边，线段、交于点P，连接AP，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9； (2)见解析； (3)能，理由见解析． 【分析】本题是三角形综合题，考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据AAS证明得，从而点是三边垂直平分线的交点，延长AO交BC于点，根据角的性质求出即可求解； （2）作于于，设与交点为．根据SAS证明得，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以，为边向外作等边与等边，线段，交于一点，该点即为所求的点，证明，得，，从而可判断当D，K，Q，C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）是等边三角形， ， ． 点是等边的费马点， ， ， 同理可得 点是三边垂直平分线的交点， 延长交于点，如图1， ． ， ． ， ， 故答案为：9； （2）如图2，作于于，设与交点为． 与都是等边三角形 ． 又 ， ， ， ， 平分． 点是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站的位置． 证明如下：如图3，设点是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接，． 与都是等边三角形 ． 当四点共线时，为最小值， 又， 这时． ， 点是的费马点 即当点是的费马点时，的值最小． 61．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）【教材呈现】：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此即有： 线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为，，点是直线的任意一点． 求证：． 请写出完整的证明过程：… （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出完整的证明过程． 【定理应用】 （2）如图②，在△中，、的垂直平分线分别交于点、，垂足分别为，已知△的周长为15，则的长为___________； （3）如图③，在△中，，，、分别是、上任意一点，若，则的最小值是__________． 【答案】（1）证明过程见详解； （2）； （3） 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及线段垂直平分线的性质及应用，对称变换，勾股定理及应用等知识，解题的关键是掌握垂直平分线的性质． （1）由，，，可证，即得； （2）根据是的垂直平分线，是的垂直平分线，可得，，而的周长为，故，即； （3）连接，过作于，交于，由，，可得，由勾股定理得，可求；根据，，有，故，当共线时，，若，则最小，此时与重合，与重合，的最小值即为的长，又，解得，从而得的最小值是． 【详解】解：（1）， ， ，， ， ； （2）是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， 的周长为， ， ，即， 故答案为：； （3）连接，过作于，交于， 如图： ，， ， ， ，在中，，； ，， 是线段的垂直平分线， ， ， 当共线时，， 若，则最小， 此时与重合，与重合， 的最小值为的长， ， ， 解得， 的最小值是； 故答案为：． 62．（24-25八年级上·山西晋城·阶段练习）综合与探究 如图，在钝角中，，边的垂直平分线m交于点D，交于点G，边的垂直平分线n交于点E，交于点H，直线m与直线n交于点O． (1)当时，求的度数． (2)当时，求的度数． (3)当为等腰三角形时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查垂直平分线的性质以及三角形形内外角相关性质和等腰三角形相关，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得出和，进一步利用内角和即可求出的度数； （2）利用等量代换得出，进一步得出的角度即可求解； （3）对为等腰三角形的情况进行分类讨论，注意每一种情况得出的不同的结论． 【详解】（1）解：是的垂直平分线， ，则， 是的垂直平分线， ，则． ， ， ， ． （2），且，， ， ， , ． （3）①当，则， ∵, ， ∴； ②当，则， ③当，则， 综上，或或． 63．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，等腰直角绕直角顶点C在所在的平面内转动，连接 (1)探究与的数量关系并证明； (2)若，则当点三点共线时，求的长； (3)若，则当是以为腰的等腰三角形时，连接，并求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3)的长为或． 【分析】（1）根据证明，即可解答； （2）如图2，设，根据是等腰直角三角形，可得，，证明，则，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：①如图3，当时，延长交于O，交于N，证明是的垂直平分线即可解答；②如图4，当时，延长交于N，分别由勾股定理计算的长，由面积法可得的长，从而得的长，即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下：如图1， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，设， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵点B，E，D三点共线， ∴， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴； （3）解：分两种情况： ①如图3，当时，延长交于O，交于N， ∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； ②如图4，当时，延长交于N， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 综上，的长为或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考压轴题． 64．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，中，，点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M的速度为，点N的速度为，当点M，点N第一次相遇时，点M，点N同时停止运动，设点M，点N的运动时间为t（）秒． (1)当时， ；当时， ． (2)当点N在上时， ；当点N在上时， （分别用含t的代数式表示）． (3)点N在上时，请问t为何值时，是直角三角形，并说明理由． (4)连结，请问t为何值时，线段的垂直平分线经过的某一顶点，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)t为4.5或5时，是直角三角形；理由见解析 (4)或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识． （1）根据等边三角形的性质和路程解答即可； （2）根据速度和时间得出路程，进而解答即可； （3）由题意当时，点N落在上，此时点M也在上．当点M或点N是的中点时，是直角三角形．由此构建方程求解即可； （4）分四种情形，分别画出图形，构建方程求解． 【详解】（1）解：当，，， 当时，点M经过的路程为，， 故答案为：；； （2）解：当点N在上时，； 当点N在上时，； 故答案为：；； （3）解：t为4.5或5时，是直角三角形；理由如下： 由题意当时，点N落在上，此时点M也在上． 当点M或点N是的中点时，是直角三角形． ∴或， 综上所述，t为4.5或5时，是直角三角形； （4）解：t为或或或时，线段的垂直平分线经过的某一顶点；理由如下： 如图1中， 当线段的垂直平分线经过点A时，， 解得； 如图2中， 当线段的垂直平分线经过点B时，， 解得； 如图3中， 当线段的垂直平分线经过点C时，， 解得； 如图4中， 当线段的垂直平分线经过点A时，， 解得． 综上所述，满足条件的t的值为或或或． 65．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线分别与x轴交于A、两点． (1)求k，b，m的值； (2)若线段的垂直平分线交y轴于点N，求出点N的坐标； (3)在直线上是否存在点P，过点P作x轴的垂线交于点Q，设点P的横坐标为n，使得，若存在，求出的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，2或6 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，解题的关键是掌握一次函数性质，运用分类讨论思想解答． （1）把点代入，求出的值；再利用待定系数法求出，即可求解； （2）先求出，设点，根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解； （3）分两种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：因为直线过点， 所以． 所以； 因为直线点，， 则， 解得； （2）解：在函数表达式中， 令，即， 解得， 所以， 设点， 因为线段的垂直平分线交y轴于点N， 所以， 所以， 解得， 故点N的坐标为． （3）解：由（1）知，直线的函数表达式为． 因为点P的横坐标为n， 所以点，点， 当点P在点C右侧时， 因为 所以， 所以． 所以点，点， 所以； 当点P在点C左侧时， 因为， 所以， 所以， 所以点，点， 所以． 综上所述，的长为2或6． 66．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，，，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且AP与的一条边相等，则称P为的关联点．    (1)在，，中，的关联点是______； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当时，求； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)30， (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质和坐标得出，，，进而通过证明和勾股定理列式计算，且结合“关联点”进行解答即可； （2）设，得，，根据三角形的内角和定理解答即可； （3）根据关联点的概念分三种情况①②③解答即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 连接，，如图1，   点与点关于轴对称，点在轴上， ， 点是△的关联点； 连接，，，过点分别作轴，轴的垂线段，，如图2，    则，， ， 在与中， ， ∴ ， 点是△的关联点； 连接，，，过点分别作轴，轴的垂线段，，如图3，    则，，， ，，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 点不是△的关联点； 综上所述，△的关联点是，， 故答案为：，； （2）证明：为△的关联点， ， ， 在和中，， ， ， 设， ，， ， ， ． 故答案为：30； （3）解：由题意知，的关联点，满足或或， 若，则点在线段的垂直平分线上， 即轴上； 若，则点在线段的垂直平分线上； 若，则点在以点为圆心，长为半径的圆弧上， 设的中点为，则点的纵坐标为3，如图4，    由图可知，当直线在过点且平行于轴的直线与轴之间时，直线存在的关联点， 直线为过点且与轴平行的直线，若直线上存在的三个关联点，则的取值范围是． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是根据轴对称的性质和勾股定理解答． 题型八、角平分线性质定理与判定 67．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，若，平分，且于点，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何的综合应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，过点作交于点，过点作交于点；根据角平分线的性质，可得，；过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点；根据平行线的性质，得到，推出，根据三角形的外角和，角的和差，，根据直角三角形中，角互余，可得，利用角的和差，得到，根据全等三角形的判定和性质，得到，推出，根据矩形的判定和性质，得到四边形是矩形，即，再根据三角形的面积公式，即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交于点； ∵平分， ∴，； 过点作交于点；过点作交于点，设与的交点为点；与的交点为点； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵且， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C．    68．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点D，交的延长线于点E．则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等，证明，可判断①；证明，可判断②；根据三角形全等性质和三角形面积公式，可判定③；根据三角形的面积公式，等腰三角形的判定和性质可判定④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 延长，相交于点F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故②正确； ∵， ∴； ∴， 故③正确； ∵是底边、上的等高三角形， ∴， 过点D作于点H， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 则正确的结论有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，余角的性质，三角形面积的性质，熟练掌握各种性质是解题的关键． 69．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，分别以B、C两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于M、N，连接交的平分线于点D，过点D作，F为垂足，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，利用全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质解答即可． 本题考查了全等三角形的性质，垂直平分线的性质，角的平分线性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】连接，根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线， ∴， 过点D作于点G， ∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 故答案为：． 70．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，，平分交于点，于点，于点，连接，则下列结论：①；②；③；④为定值，等于．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点E到的距离等于，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到判断①正确； 根据等角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，判断②正确； 根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，判断③正确； 根据等腰直角三角形的性质可得，再根据等角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，从而得到，判断④正确． 【详解】解：过作于， ，平分， ， ，， ， ， ，由勾股定理得：， ， ， ， ，①正确； 作，交于， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ②正确；③正确； 过作于， ，， ， 平分，，， ， 在和中， ，，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ④不正确． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及等角的余角相等的性质，熟悉各性质并准确识图是解题的关键． 71．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点D在的垂直平分线上； (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ① 　　； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)2或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于，得出，借助，得到，即可证明点在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，，如图1， 点在的平分线所在的直线上，过点作于，作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ， 点在的垂直平分线上； （2）解：①平分，平分，， ，即， ， ，即， ； 故答案为：； ②延长交于，如图2， ，， ， 在和中， ， ， ， ∵，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； （3）解：当点在内部时，如图 ， ， ， 点到直线的距离是； 当点在的下方时，如图 设点到三边的距离为， 由题意得：，， ， ， 点到直线的距离是； 综上，点到直线的距离是2或6． 故答案为：2或6． 72．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）在中，，．点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且．求证：点在的垂直平分线上；． (2)如图2，当点在线段上时，若，平分，交于点，交与点，过点作，交于点． ①求的大小； ②若，，求的长度． (3)如图3，过点的直线，若，，点到三边所在直线的距离相等，则点到直线的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)2或6 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）证明，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图1， ∵点D在的平分线上，且，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； ②延长交于H，如图2， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点D在内部时，如图3： 设点D到三边所在直线的距离为h， ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图4： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴ ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 73．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在直角三角形中，，，，，分别是与的角平分线，且，相交于点O． (1)的度数为 °． (2)求点O到边的距离及的面积． (3)如图2，若过点C作，分别交，于P，Q两点，垂足为点D，求的长． 【答案】(1)135 (2)O到的距离为1； (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得，在中，根据三角形内角和定理可得的度数． （2）作于G，于H，于I．根据角平分线的性质可得，设，根据即可求出x的值为1，即点O到边的距离为1，再根据可求得的值，进而可求得的面积． （3）先利用面积法求得，再根据勾股定理可求得，则可得，作于E，根据角平分线的性质可得，再根据可求得．作于F，同理可求得，进而可求得的长． 【详解】（1）解： ，分别平分，， ，， ∵在中，， ， ， 在中， ． 故答案为：135； （2）解：作于G，于H，于I，连接． 平分，平分， ，， 设， 在中， ，， ∴根据勾股定理，得， ， ∴， 即． 解得， ∴O到的距离为1； 解得． ． （3）， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理，得， ． 作于E， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得． 作于F， ∵平分，，， ∴． ， ， ， ，  解得， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，角平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理，以及利用面积法求三角形的高．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 74．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，点，分别是，上的点，，相交于点． (1)如图1，求证：； (2)作交延长线于点． ①如图2，求证：； ②如图3，过点E作于点G，若，，直接写出的长为_____． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②4 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）①证明，得到，根据角平分线的判定定理得到，根据平行线的性质、等腰三角形的判定定理证明； ②根据全等三角形的性质得到，，结合图形列式计算得到答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）①证明：如图2，作于，于， 在和中， ， ， ， 又，， ， ， ， ； ②解：如图3，作于， 由①可知，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为：4． 75．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）已知， (1)在内部以为斜边作，，连接，． ①如图1，过点D作交于点E，连接AE，求证； ②如图2，点F为上一点，连接，过点A作分别交于点G，交于点H，若，，求证： (2)中，是的平分线，点P、M分别为上任一点（不包含端点），若，，，直接写出的最小值． 参考知识 1．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．，p是的周长的一半，的三边长分别为a，b，c． 【答案】(1)①证明见详解；②证明见详解 (2) 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，求得，根据证明，再根据全等三角形的性质可得，因此可求出，进而即可得出结论； ②如图2，取的中点N，连接，过点D作，交于点M，则，求得，利用证明，再根据全等三角形的性质得到，求得，因此得到为等腰直角三角形，可得，进而即可得到结论； （2）过点B作，交于点，交于点P，过点P作于点M，根据垂线段最短可得的最小值为，由角平分线的性质得到，由题意可知的周长为，根据可求出的面积，再利用即可求出的值． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， 即； ②证明：如图2，取的中点N，连接，过点D作，交于点M，则， ， ， ，， ， ， ， ， ，，且， ， ，， ， ， ， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 又， ； （2）过点B作，交于点，交于点P，过点P作于点M， 是的平分线， ， 此时有最小值，最小值为， ，，， 的周长为， ， 又， ， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第2页，共183页 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