17.1（第3课时）利用勾股定理作图或计算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

17.1(第3课时) 利用勾股定理 作图或计算 第17章 勾股定理 欣赏下面海螺的图片： 在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案， 如第七届国际数学教育大会的会徽. 这个图是怎样绘制出来的呢？ 解密： 其实，通过我们所学的勾股定理就可以得到一个“数学海螺” 由前面的学习可以知道，在实际生活中，我们很容易遇到一些长度是无理数的物体，这些长度应该如何画出来呢？ 思考： 有理数可以表示在数轴上，无理数是不是也可以表示在数轴上呢？ 点A表示的数字为-3 点B表示的数字为-1 点C表示的数字为0 点D表示的数字为2 实数 数轴上的点 一 一 对 应 A B C D 0 -1 -2 -3 1 2 3 思考： 1 3 1 3 4 ？ ？ ？ 1 边长为1的等腰直角三角形，通过勾股定理求得斜边长为， 那么在数轴上可以找到对应的点表示吗？ 只要能将的斜边放到数轴上 就可以找到对应的点了. 如何求下列三角形的各边长？ 思考： 方法： 用圆规截取的方法画出在数轴上对应的点， 则这个点就是数轴上表示的位置. 1 1 O 1 2 3 B 1 1 概念学习：代数式 思考： 你能在数轴上表示出吗？ 可以看作是直角边分别为 2、3的直角三角形的斜边； 步骤1 在数轴上构造两条直角边为2、3的直角三角形，利用勾股定理得出斜边为； 步骤2 用圆规截取的方法画出在数轴上对应的点，则这个点就是数轴上表示的位置. 步骤3 2 3 O 1 2 3 A B C 按照以上方法，可以在数轴上画出表示、、、、 -1 0 1 2 3 “数学海螺” 1 1 利用勾股定理表示无理数的方法 （1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边. （2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数. 例1 在数轴上画出表示的点. 解：如图所示 （1）画出数轴，在数轴上找出表示2的点A，则OA=2； （2）过点A作直线l垂直于数轴，在l上取点B，使AB=1； （3）连接OB，以点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交于点C，点C即为表示的点. 1 1 A B C 2 3 O l 例2 在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB． B B B 例3 如图，正方形网格中的每个 小正方形的边长都是1， 每个小格的顶点叫格点． 在图中以格点为顶点画 一个面积为5的正方形. 解：如图所示，即为所求. 例4 在如图所示的7×10的网格中，每个小正方形的边长都为1，并求出此三角形的周长． 解： 由勾股定理得 ∵AC=7, ∴△ABC的周长为12+ 例5 如图，△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，求BD的长. 通常用等面积法求三角形的高！ 例6 有5个边长为1的正方形，排列形式如图.请把它们分割后拼接成一个大正方形. 解：分割小正方形，如图（1），拼接大正方形，如图（2）. 例7 数形结合是一种重要的数学思想方法，请借助于几何直观来阐明下列“数”的某种关系．在方格纸中画出图形，并说明“+>”. 例8 如图，在长方形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2,AB=4,把△ABC沿着AC对折得到△AB’C,交y轴于点D，求点D的坐标. 例8 如图，在长方形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2,AB=4,把△ABC沿着AC对折得到△AB’C,交y轴于点D，求点D的坐标. 例9 在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,E是CD边上的一点，连接BE,把△BEC沿BE翻折，点C恰好落在AD边上的F处，延长EF,与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，求NF的长度. 例9 在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,E是CD边上的一点，连接BE,把△BEC沿BE翻折，点C恰好落在AD边上的F处，延长EF,与∠ABF的平分线交于点M，BM交AD于点N，求NF的长度. 例10 如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长. D A B C E F 解：在Rt△ABF中,由勾股定理得 BF2=AF2－AB2=102－82=36， ∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4. 设EC=xcm，则EF=DE=(8－x)cm ， 在Rt△ECF中,根据勾股定理 得 x2+ 42=(8－x)2， 解得 x=3. 即EC的长为3cm. 要用到方程思想 折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法: (1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x 的方程； (4)解这个方程，从而求出所求线段长. 数轴 网格 折叠 在数轴上表示出无理数的点 通常与网格求线段长 或面积结合起来 通常用到方程思想 利用勾股定理 作图或计算 1.如图，点A表示的实数是 （　　） 2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（　　） C D D 3.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点 A重合，折痕为DE，则BE的长为(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm B 4.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在数轴上的2个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，原点到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点(如图)，则该点位置大致在数轴上（　　） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 B 5.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若点A,B,C都在格点（网格线的交点）上，则AC边上的高长为（ ） B A. B. C. D.2 6.如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________． 115.2 0 1 2 3 4 l A B C 7.你能在数轴上画出表示 的点吗？ 8.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，画出一个三角形的长分别为 . A B C 解：如图所示. 9.如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求BC边上的高. 解：如图，过点A作AC⊥BC于点D. A D B C 10.如图，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 解：如图，连接AC，并设点D，E， ∴∠ABC＝45°. 则BC＝AC＝ ，且易证△ACD≌△BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， ∴∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB， 即∠ACB＝∠DCE＝90°， A C B E D 11.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，求AM的长. 解：连接BM，MB′.设AM＝x， 在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2. 在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2. ∵MB＝MB′， ∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2， 即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2， 解得x＝2. 即AM＝2. $$