第一章 直角三角形（单元测试卷）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（湘教版）

第一章 直角三角形单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 3．若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 4．如图，在中，，点D是斜边的中点，若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 5．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 6．如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 7．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 8．《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（    ） A．9 B． C． D．6 10．如图，，以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点P，射线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共8小题，共24分） 11．如图，，请你添加一个条件 ，利用“”，证明． 12．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为4.8km，则、两点间的距离为 ． 13．如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 14．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    15．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 16．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于 ． 17．如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    18．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 三、解答题（共7小题，共66分，需要写清楚必要的过程和说明） 19．（本题8分）如图，在中，是边上的中线，且，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 20（本题8分）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 21.（本题8分）已知：如图，于为上一点，交于，，．    (1)求证：； (2)若，，求． 22.（本题10分）如图，在中，是它的角平分线．求证． (1)在图1中完成上面的证明过程； (2)在图2中，如果，，， 求的长． 23．（本题10分）现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 24．（本题10分）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 25．（本题12分）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共10小题，共30分） 1．下列各组数中是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数、勾股定理逆定理等知识点，已知三角形的三边满足，且、、为正整数，则三角形是直角三角形，称、、为勾股数． 根据勾股数的定义和勾股定理逆定理逐项分析即可解答． 【详解】解：A、因为，则A选项不是勾股数，不符合题意； B、因为、、不是整数，则B选项不是勾股数，不符合题意； C、因为，则C选项不是勾股数，不符合题意； D、因为，是勾股数，故符合题意； 故选：D． 2．直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题关键．根据直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是， 另一个锐角的度数是， 故选：C． 3．若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，另一条直角边的长是． 故选：C． 4．如图，在中，，点D是斜边的中点，若，则的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据性质即可得出答案． 【详解】解：，点D是斜边的中点，， ， 故选：D． 5．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用是解题的关键． 根据直角三角形的性质，勾股定理逆定理的运用进行判定即可． 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 6．如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，由垂直的定义得到，则，，所以有，由此即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得，， 故选：A ． 7．如图，，下列结论中错误的是（    ） A．是的角平分线 B．是的角平分线 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义作答即可． 【详解】∵，， ∴是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∴选项D错误， 故选：D． 8．《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去木四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图，中，，尺，尺，求的长，则的长为（   ） A．4.2尺 B．4.3尺 C．4.4尺 D．4.5尺 【答案】A 【分析】此题考查勾股定理，根据题意正确设未知数，利用勾股定理解答是解题的关键． 设尺，则尺，利用勾股定理解答． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，，， ∴， 解得：， 故选：A． 9．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（    ） A．9 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，利用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 根据旋转的性质得到，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解:在中，， 将绕点按逆时针方向旋转后得到， ， ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， ，， ， 故答案为：A． 10．如图，，以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于E、F两点，再分别以E、F为圆心，大于长为半径画弧，两条弧交于点P，射线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质．利用基本作图可判断平分，则，再根据平行线的性质得到，则，从而得到的度数，最后由三角形内角和求解即可． 【详解】解：由作法得平分， ， ， ， ， ， ． ． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共8小题，共24分） 11．如图，，请你添加一个条件 ，利用“”，证明． 【答案】或 【分析】根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 12．如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为4.8km，则、两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴ 故答案为： ． 13．如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若，长为米，则乘电梯从点到点上升的高度 米． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题解题的关键． 根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用运用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴点到点上升的高度米， 故答案为：4 ． 14．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，根据即可列出方程． 【详解】解：作，如图所示：   ， ∵ ∴ 故答案为： 15．如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 16．如图，平分，，如果，那么点到的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出． 过作于，由角平分线的性质推出，即可得到点到的距离等于． 【详解】解：过作于， ∵平分，， ∴， 点到的距离等于． 故答案为：． 17．如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 18．如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10cm，底面半径为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开，勾股定理，轴对称距离最短问题是解题的关键． 将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， ∵底面半径半径为， ∴底面周长为， ∴， 根据题意得，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共66分，需要写清楚必要的过程和说明） 19．（本题8分）如图，在中，是边上的中线，且，于点E． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线、含角的直角三角形的性质，熟记直角三角形斜边上的中线、含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由题意得，根据等边对等角可得，进一步可推出是等边三角形，然后根据垂直的定义即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20（本题8分）如图，四边形中，，连接． (1)求的长； (2)判断三角形的形状，并求出四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形，四边形的面积为 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∵， ∴四边形的面积为． 21.（本题8分）已知：如图，于为上一点，交于，，．    (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据垂直可得，在和中，运用“斜边直角边”的方法即可求证； （2）根据，，得到，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，即， ∴． 22.（本题10分）如图，在中，是它的角平分线．求证． (1)在图1中完成上面的证明过程； (2)在图2中，如果，，， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握角平分线的性质． （1）过D作于E，于F，根据角平分线性质得出，根据，，即可得出答案； （2）过点A作于E，根据三角形面积公式得出，，从而得出， 根据解析（1）得出， 代入数据求值即可． 【详解】（1）证明：过D作于E，于F，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 即． （2）解：如图，过点A作于E， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 23．（本题10分）现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：因为工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置， 所以， 在中，， 所以快艇距离岸边还有； （2）解：因为在中，， 所以， 所以， ， 所以绳子被收上来． 24．（本题10分）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点B落在点E处，， (1)试判断折叠后重叠部分的形状，并说明理由． (2)求重叠部分的面积． 【答案】(1)是等腰三角形．理由见解析 (2)重叠部分的面积为10． 【分析】此题考查了图形的折叠变换，等腰三角形的判定和勾股定理． （1）先根据平行线的性质得到，再由图形折叠的性质可得到，继而可得出，这即可判断出后重叠部分三角形的形状； （2）设长为x，则，在直角三角形中，利用勾股定理可求出x，继而利用三角形面积公式进行计算求解． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由图形折叠的性质可知：， ∴． ∴是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中， ， 解得：， ∴， ∴． 故重叠部分的面积为10． 25．（本题12分）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$