5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件（第1课时）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (第1课时) 两角差的余弦公式 复习回顾 函数 y＝sin x(x∈R) y＝cos x (x∈R) 图像 如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正弦、余弦吗？ 探究 ？ x y O 问题探究 O x y P1 A1 A P 设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，且α，β终边不重合 角α-β终边 角β终边 角α终边 P1(cosα,sinα) A1(cosβ,sinβ) P(cos(α-β),sin(α-β)) 根据两点间距离公式得， α-β α-β O x y P1 A1 A P 角α-β终边 角β终边 角α终边 α-β α-β 化简得 cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 当角α，β终边重合，即α=β+2kπ,k∈Z cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 左式=cos2kπ=1 右式=cos2β+sin2β=1 左式=右式 所以，等式成立 PART 1 两角差的余弦公式 cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ 对于任意角α，β有 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作C(α-β) 例1.利用公式C(α-β)证明: 例题探究 (1) (2) 证明： 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.(　　) (2)当α，β∈R时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsinβ.(　　) (3)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.(　　) × × × √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 两角差的余弦公式的正用及逆用 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解． (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解．　 解题技巧 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 解题方法 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)根据条件确定所求角的范围； (2)求出所求角的某个三角函数值，为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角． [注意]　由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．　 解题方法 新知学习 探究 返回导航 1．已学习：两角差的余弦公式的推导；给值求值、给值求角． 2．须贯通：两角差的余弦公式既可正用，也可逆用，结合题设条件，将未知的角分解为已知角的差，再利用公式求解．　 3．应注意：(1)两角差的余弦公式的结构特征；(2)给值求角问题中角的范围．　 新知学习 探究 返回导航 解析：cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin30° ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).故选D. 2．cos(－15°)的值是(　　) A.eq \f(\r(6)－\r(2),2) B.eq \f(\r(6)＋\r(2),2) C.eq \f(\r(6)－\r(2),4) D.eq \f(\r(6)＋\r(2),4) 解析：eq \f(1,2)cos 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°＝cos 60°·cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝eq \f(\r(2),2).故选A. 3.eq \f(1,2)cos 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°的值为(　　) A.eq \f(\r(2),2) B．－eq \f(\r(2),2) C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 【解】　由题意可知sin α＝－eq \r(1－cos2α)＝－eq \f(2\r(2),3)，cos β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(4,5)，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－eq \f(4,15)－eq \f(6\r(2),15)＝－eq \f(4＋6\r(2),15). eq \a\vs4\al(二　给值求值) 　(对接教材例2)(1)已知cos α＝eq \f(1,3)，α是第四象限角，sin β＝eq \f(3,5)，β是第二象限角，求cos(α－β)的值； 【解】　由题意可知0＜α＋β＜π，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cos2（α＋β）)＝eq \f(63,65)，且cos α＝eq \f(3,5)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－eq \f(16,65)×eq \f(3,5)＋eq \f(63,65)×eq \f(4,5)＝eq \f(204,325). (2)已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，且sin α＝eq \f(4,5)，cos(α＋β)＝－eq \f(16,65)，求cos β的值． 给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．　　 【解】　因为α，β为锐角， tan(π＋α)＝tan α＝3， 则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sin α,cos α)＝3，,sin2α＋cos2α＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin α＝\f(3\r(10),10)，,cos α＝\f(\r(10),10).)) eq \a\vs4\al(三　给值求角) 　已知cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，tan(π＋α)＝3，其中α，β为锐角．求： (1)sin α的值； 【解】　因为0＜α＜eq \f(π,2)，0＜β＜eq \f(π,2)，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)可得sin(α＋β)＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] 已知cos(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，tan(π＋α)＝3，其中α，β为锐角．求： (2)β的值． ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10) ＝eq \f(25\r(2),50)＝eq \f(\r(2),2)， 因为β∈(0，eq \f(π,2))，所以β＝eq \f(π,4). $$