专题01 相交线重难点题型专训（9大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 相交线重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 垂线的定义理解 题型二 画垂线 题型三 垂线段最短 题型四 点到直线的距离 题型五 对顶角的定义 题型六 对顶角相等 题型七 两点确定一条直线 题型八 平面内两直线的位置关系 题型九 相交线综合 知识点01 垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【经典例题一 垂线的定义理解】 【例1】（2024七年级下·上海嘉定·模拟预测）如图，直线，相交于点，射线垂直于且平分．若，则（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线相交于点，，垂足为，则图中 与的关系是（　　） A．互为余角 B．互为补角 C．对顶角 D．相等角 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 【经典例题二 画垂线】 【例2】（23-24七年级下·上海青浦·课后作业）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是(   ) A．B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海虹口·课后作业）在同一平面内，下列说法中，错误的是(    ) A．过两点有且只有一条直线 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（23-24七年级下·上海青浦·期末）已知直线 AB，CB ， l  在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)， 你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）. 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【经典例题三 垂线段最短】 【例3】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 1．（2024七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 2．（2024七年级下·全国·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线段，垂足为H； (3)请判断线段这三条线段长度的大小关系，并说明理由． 【经典例题四 点到直线的距离】 【例4】（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海徐汇·单元测试）在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 3．（24-25七年级下·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【经典例题五 对顶角的定义】 【例5】（23-24七年级下·上海宝山·单元测试）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·上海宝山·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．如果，则和是对顶角 B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角 C．对顶角都是锐角 D．锐角的对顶角也是锐角 2．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 3．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【经典例题六 对顶角相等】 【例6】（23-24七年级下·上海青浦·单元测试）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（2024七年级下·上海宝山·模拟预测）如图，直线、相交于点，，垂足为，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海松江·寒假作业）如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线相交于点把分成两个角，且与的度数之比是． (1)求的大小． (2)如果平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 【经典例题七 两点确定一条直线】 【例7】（2024七年级下·上海长宁·专题练习）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 1．（2024·上海嘉定·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有 条． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【经典例题八 平面内两直线的位置关系】 【例8】（23-24七年级下·上海虹口·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 1．（23-24七年级下·上海长宁·期中）已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学： 乙同学：和互余 丙同学：线段的长为点到直线的距离 丁同学：线段的长为点到直线的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）空间两直线的位置关系有 ． 3．（24-25七年级下·上海松江·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【经典例题九 相交线综合】 【例9】（23-24七年级下·上海长宁·单元测试）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 1．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个． 3．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 1．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海宝山·随堂练习）下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 3．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，，垂足为是线段上一点，连接的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25七年级下·上海金山·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 5．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2，“反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角”．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） 图1                              图2                            图3 A． B． C． D． 6．（2024七年级·全国·竞赛）平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 7．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是 ． 8．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线，相交于点O，射线，垂足为O.如果，那么 ．    9．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 10．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．    11．（2024七年级下·上海静安·模拟预测）如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 13．（24-25七年级下·上海嘉定·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 14．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图，直线，相交于点O，．    (1)若，求的度数； (2)如果，请判断与的位置关系，并说明理由． 15．（23-24七年级下·上海虹口·期末）【问题背景】 如图1，小华在荡秋千，秋千底座从点A到点B的过程中，绳子的长度保持不变．在线段、、中，长度最短的是______．                                               图1 【尝试说理】 我们将会学习不等式的一个性质：如果，那么．根据这个性质和学过的基本事实，可以证实上述结论． 连接、． 根据基本事实“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______”，可得． 再根据基本事实“______”，可得． 所以，即． 又因为，所以．同理可得． 【方法迁移】 图2是摩天轮的示意图，、是摩天轮的两根支架，、都是摩天轮的半径，且．，，垂足分别为、，经过圆心．小华发现，请根据学过的基本事实，证实这个发现． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线重难点题型专训（9大题型+15道提优训练） 题型一 垂线的定义理解 题型二 画垂线 题型三 垂线段最短 题型四 点到直线的距离 题型五 对顶角的定义 题型六 对顶角相等 题型七 两点确定一条直线 题型八 平面内两直线的位置关系 题型九 相交线综合 知识点01 垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【经典例题一 垂线的定义理解】 【例1】（2024七年级下·上海嘉定·模拟预测）如图，直线，相交于点，射线垂直于且平分．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由垂直的定义，平角的定义得到，，由角平分线定义得到，由余角的性质即可得到． 【详解】解：垂直于， ， ， 平分， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线定义，垂直的定义，平角的定义，余角的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线相交于点，，垂足为，则图中 与的关系是（　　） A．互为余角 B．互为补角 C．对顶角 D．相等角 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的定义，互为余角的定义，根据垂直可得，进而得到，即可求解，掌握互为余角的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 与互为余角， 故选：． 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，先根据垂直的定义求出的度数，进而根据对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知直线、相交于点，，是的角平分线，请说明的理由． 解：直线、相交于点（已知） （______） （已知） （______） （______） 是的角平分线（已知） （______） （______） 【答案】平角的定义；垂线的性质；等量代换；角平分线的定义；等量代换 【分析】根据垂线，角平分线的定义进行判定即可得出答案． 【详解】解：直线、相交于点，（已知） ，（平角的定义） ，（已知） ，（垂线的性质） ，（等量代换） 是的角平分线，（已知） ，（角平分线的定义） ，（等量代换） 故答案为：平角的定义，垂线的性质，等量代换，角平分线的定义，等量代换． 【点睛】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，熟练掌握垂线，角平分线的定义进行求解是解决本题的关键． 【经典例题二 画垂线】 【例2】（23-24七年级下·上海青浦·课后作业）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断. 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段， 故选A． 【点睛】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 1．（23-24七年级下·上海虹口·课后作业）在同一平面内，下列说法中，错误的是(    ) A．过两点有且只有一条直线 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【详解】A选项, 过两点有且只有一条直线,说法正确,不符合题意 B选项,在同一平面内,过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,所以过一点有无数条直线与已知直线平行说法错误, 符合题意 C选项, 在同一平面内,过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行,所以过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,说法正确, 不符合题意 D选项,在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,说法正确, 不符合题意 故选B. 2．（23-24七年级下·上海青浦·期末）已知直线 AB，CB ， l  在同一平面内，若 AB⊥ l ，垂足为 B，CB⊥ l ，垂足也为 B，则符合题意的图形可以是如图中的图 (填甲或乙)， 你选择的依据是 （写出你学过的一条公理）. 【答案】 乙 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【分析】根据题意可得，过点B作l的垂线即可. 【详解】根据题意可得图形 故答案为乙，根据：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【点睛】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，依据见解析 【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合． （1）利用网格的特点作图即可； （2）利用网格的特点作图即可； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， 判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短． 【经典例题三 垂线段最短】 【例3】（24-25七年级下·上海徐汇·期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点A处起跳，，垂足为C．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是（    ） A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是关键． 根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【详解】解：∵该女生获得满分但未加分， ∴ ∵， ∴可能为， 故选项D符合题意． 故选：D． 1．（2024七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，由垂线段最短，即可得到答案． 【详解】解：于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短． 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则 （选填“≥”“＝”或“≤”），根据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5， ∴当时，， ∵垂线段最短， ∴当不与直线l垂直时，， ∴． 故答案为：；垂线段最短． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线段，垂足为H； (3)请判断线段这三条线段长度的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了垂线段最短：直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短．也考查了点到直线的距离以及基本作图． （1）利用方格线画垂线； （2）利用方格线画垂线； （3）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到 ，即可得到线段 的大小关系． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：． 理由如下：线段的长度是点P到直线的距离，所以；线段的长度是点C到直线的距离，所以． 故． 【经典例题四 点到直线的距离】 【例4】（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断．根据平行线公理，点到直线的距离、垂线的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，正确； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 故选：A． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）在同一个平面内，是直线外一点，分别是上三点，已知，，若点到的距离是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线l的距离，即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟知直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·上海徐汇·单元测试）在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·上海·假期作业）如图，，．填空： （1） 度； （2）直线与的位置关系是 ； （3）点B到直线的距离是线段 的长度，点D到直线的距离是线段 的长度； （4）在线段，，中，最短的是线段 ；在线段，，中，最短的是线段 ，理由是 ． 【答案】 90 互相垂直 垂线段最短 【分析】（1）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （2）根据垂线的定义以及性质即可解决问题； （3）根据点到直线的距离定义解决问题； （4）根据垂线段最短即可解决问题； 本题考查了垂线的定义和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵， ∴， ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：互相垂直． （3）解：∵， ∴线段的长是点B到直线的距离的线段； 同理，点D到直线的距离是线段的长度； 故答案为：，． （4）在线段，，中，最短的线段是；在线段，，中，最短的是线段．理由是垂线段最短． 故答案为：，，垂线段最短． 【经典例题五 对顶角的定义】 【例5】（23-24七年级下·上海宝山·单元测试）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 1．（2024七年级下·上海宝山·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．如果，则和是对顶角 B．如果和有公共的顶点，则和是对顶角 C．对顶角都是锐角 D．锐角的对顶角也是锐角 【答案】D 【分析】此题考查了对顶角的定义，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角． 根据对顶角的定义进行分析即可． 【详解】解：A．如果，则和不一定是对顶角， 故本选项错误； B．如果和有公共的顶点，则和不一定是对顶角， 故本选项错误； C．对顶角不一定都是锐角，故本选项错误； D．锐角的对顶角也是锐角，故本选项正确． 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有 对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 3．（23-24七年级下·上海宝山·课后作业）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 【经典例题六 对顶角相等】 【例6】（23-24七年级下·上海青浦·单元测试）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角，关键是由垂直的定义，角平分线定义求出的度数．由垂直的定义得到，即可求出，由角平分线定义得到，求出，由对顶角的性质得到 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选： 1．（2024七年级下·上海宝山·模拟预测）如图，直线、相交于点，，垂足为，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的定义，对顶角．根据垂线的定义得出，结合已知求出的度数，再根据对顶角相等得出的度数，掌握对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海松江·寒假作业）如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 【答案】/64度 【分析】根据得，结合，得到，结合解答即可． 本题考查了垂直的意义，余角的性质，对等角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线相交于点把分成两个角，且与的度数之比是． (1)求的大小． (2)如果平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 【答案】(1) (2)是的角平分线，见解析 【分析】本题主要考查了对顶角的性质、按比例分配、角平分线的定义、角的和差等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． （1）根据对顶角的性质可得，然后根据角的和差和即可解答； （2）根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，即，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵与为对顶角，且， ∴， 又∵， ∴． （2）解：是的角平分线，理由如下： ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴， ∴是的角平分线． 【经典例题七 两点确定一条直线】 【例7】（2024七年级下·上海长宁·专题练习）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟知直线的性质--两点确定一条直线是解答本题的关键． 根据直线的性质--两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是：两点确定一条直线， 故选：A． 1．（2024·上海嘉定·二模）下列能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短等知识．熟练掌握两点确定一条直线，垂线段最短，两点之间，线段最短是解题． 【详解】解：由题意知，A中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； B中能用两点确定一条直线进行解释，不符合题意； C中能用垂线段最短进行解释，符合题意； D中能用两点之间，线段最短进行解释，不符合题意； 故选：C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有 条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 【经典例题八 平面内两直线的位置关系】 【例8】（23-24七年级下·上海虹口·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案． 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期中）已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（    ） 甲同学： 乙同学：和互余 丙同学：线段的长为点到直线的距离 丁同学：线段的长为点到直线的距离 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】连接AE、BC，然后根据平行线的定义和点到直线距离的定义可以得解．　 【详解】解：如图，连接AE、BC， ， 由图中可以看出，AB与CD方向一致， ∴AB∥CD，甲正确； 又从图中可以看出∠D 和 ∠DAC 不会互余，乙同学错误； 然后从图中不难得出AB⊥BE， ∴根据点到直线距离的定义，丙、丁同学正确， 故选C ． 【点睛】本题考查平行及垂直的判定、点到直线的距离定义． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）空间两直线的位置关系有 ． 【答案】平行、相交、异面 【分析】当两条直线在同一平面内和不在同一平面内进行分析即可． 【详解】当两条直线在同一平面内时，位置关系有平行、相交； 当两条直线不在同一平面内时，位置关系有异面； 故答案为：平行、相交、异面． 【点睛】考查了两条直线的位置关系，解题关键是分当两条直线在同一平面内和不在同一平面内进行分析，注意不要漏掉不在同一平面内的情况． 3．（24-25七年级下·上海松江·课后作业）如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 【经典例题九 相交线综合】 【例9】（23-24七年级下·上海长宁·单元测试）a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 1．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】解：A、∵∠CDA＝60， ∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意； B、∵∠ACD＝90， ∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意； C、∵∠ACD＝90， ∴DC⊥AC， ∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意； D、∵BD和AD不垂直， ∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点 个． 【答案】 【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可. 【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1. 即：当n=3时，共有2个交点； 当n=4时，共有5个交点； 当n=5时，共有9个交点；…， ∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律. 3．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图，直线与相交于点，，射线在内（如图1）． （1）若比小25度，求的大小； （2）若射线平分，（如图2），则（用含的代数式表示，请直接写出结果） 【答案】（1）80°；（2）． 【分析】（1）由∠CEG=∠AEG-25°，得∠AEG=180°-∠BEC-∠CEG=180°-45°-（∠AEG-25°），解出∠AEG的度数； （2）计算出∠AEG和∠CEG，然后相减，即可得到结果． 【详解】（1） （2）（2）∵EF平分∠AED， ∴∠AEF=∠DEF， 设∠AEF=∠DEF=α°，∠AEG=∠FEG-∠AEF=（m-α）°， ∠CEG=180°-∠GEF-DEF=180-（m+α）°， ∴∠AEG-∠CEG=（m-α）°-（180-m-α）°=（2m-180）°． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，此类题目熟记概念并准确识图是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 2．（24-25七年级下·上海宝山·随堂练习）下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查的是过一点画已知直线的垂线，根据利用三角板或量角器画垂直的方法进行判断即可． 【详解】解：过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是①③； 故选：B． 3．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，，垂足为是线段上一点，连接的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考点垂线段最短，关键是由垂线段最短得到． 作于，由三角形面积公式得到的面积，而，即可求出，又，即可得到答案． 【详解】解：作于， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， ∵， ∴的长不可能4． 故选：A． 4．（24-25七年级下·上海金山·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 5．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就，其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即如图2，“反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角”．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） 图1                              图2                            图3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等，根据平面镜反射规律，由垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 即， ， ， 故选：B． 6．（2024七年级·全国·竞赛）平面内有3000条互相平行的直线，现在这个平面内再画两条不互相平行且与原来3000条直线都不平行的直线，这时这个平面内对顶角有 对． 【答案】12002 【分析】本题考查了相交线与平行线，对顶角等知识，任意两条相交线形成两对对顶角，故一条（与原来3000条直线都不平行）与原来3000条互相平行的直线可以形成对对顶角，据此解答即可． 【详解】解：不平行的两条直线组成的一组直线可以形成两对对顶角，这样的两条直线可以找到(组)． 故答案为：12002． 7．（23-24七年级下·江西宜春·期末）如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【分析】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，据此可得答案． 【详解】解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，利用直线的性质是解题关键． 8．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线，相交于点O，射线，垂足为O.如果，那么 ．    【答案】120 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角性质，解题的关键在于领会由垂直得直角这一要点．根据垂直的定义求出，进而得到，再利用对顶角性质求解，即可解题． 【详解】解：射线， ， ， ， ． 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，，，，若点D在线段上运动，则线段的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小是解题关键．先根据垂线段最短确定出当时，线段的值最小，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 则此时，即， 解得， 所以线段的最短距离是， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，为了探清一口深井的底部情况，在井口放置一面平面镜可改变光路，此时，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角 °．    【答案】71 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识. 根据, 得, 所以, 再根据,得, 即可得. 【详解】∵, ∴, ∵, ∴ ∵, ∴, ∴. 故答案为：. 11．（2024七年级下·上海静安·模拟预测）如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线，要使最短，直线a，，连接即可得出N，作出即可． 【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． 12．（23-24七年级下·上海闵行·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 13．（24-25七年级下·上海嘉定·课后作业）利用网格画图： (1)过点C画的垂线，垂足为E； (2)线段的长度是点C到直线_______的距离； (3)连接，在线段中，线段_______最短． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （2）根据点到直线的距离概念回答； （3）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：线段的长度是点C到直线的距离， 故答案为：； （3）解：连接，在线段中，线段最短， 理由：垂线段最短． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）如图，直线，相交于点O，．    (1)若，求的度数； (2)如果，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下 【分析】本题考查了垂线，对顶角，正确把握垂线的定义是解题的关键； （1）直接利用垂线的定义结合对顶角的定义得出答案； （2）根据等量代换可知，从而得出结论． 【详解】（1）， ，即． ， ， ， ， （2），理由如下： ， ，即． ， ， ． 15．（23-24七年级下·上海虹口·期末）【问题背景】 如图1，小华在荡秋千，秋千底座从点A到点B的过程中，绳子的长度保持不变．在线段、、中，长度最短的是______．                                               图1 【尝试说理】 我们将会学习不等式的一个性质：如果，那么．根据这个性质和学过的基本事实，可以证实上述结论． 连接、． 根据基本事实“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______”，可得． 再根据基本事实“______”，可得． 所以，即． 又因为，所以．同理可得． 【方法迁移】 图2是摩天轮的示意图，、是摩天轮的两根支架，、都是摩天轮的半径，且．，，垂足分别为、，经过圆心．小华发现，请根据学过的基本事实，证实这个发现． 【答案】【问题背景】线段；【尝试说理】垂线段最短；两点之间线段最短；【方法迁移】见解析 【分析】本题考查垂线段最短，线段的性质，关键是掌握垂线段最短，两点之间线段最短． 问题背景：由图形即可得到答案； 尝试说理：垂线段的性质，线段的性质即可得到答案； 方法迁移：由两点之间线段最短得到，由垂线段最短得到：，而，即可推出． 【详解】【问题背景】线段PQ． 【尝试说理】垂线段最短；两点之间线段最短． 【方法迁移】连接，如图， 由基本事实“两点之间线段最短”， 得到， 根据基本事实“垂线段最短”， 得到：， 因此， 因为， 所以， 因此． 学科网（北京）股份有限公司 $$