精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一下学期寒假素养达标检测（2月）数学试卷

惠州一中2027届高一寒假素养达标检测 （2月测） 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分： 150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为，且， 因为，则，因此，. 故选：B. 2. 如果是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】当时，不妨设，则.而当时，可能，此时，而.综上所述“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值的知识，属于基础题. 3. 下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A，函数在上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于B，函数， 故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，故不能用二分法求零点； 对于C，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，，当且仅当时，等号成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点； 对于D，函数上单调递增，有唯一零点， 所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点. 故选：B 4. 某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（ ） A. 物理方向的男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论. 【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的男生多于历史方向的女生. 故选：D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的差角公式以及同角三角函数的商式关系，建立方程组，结合正弦函数的和角公式，可得答案. 【详解】①， 由，则，即②， 联立①②解得，， 所以. 故选：D. 6. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由题意列方程，通过取对数并代值估计即得. 【详解】由题意，设通过x块这样的玻璃以后，光线削弱为原来的，则易得：， 即，两边取对数，可得， 故至少需要通过16块这样的玻璃. 故选：D. 7. 已知函数，，若，则的最小值为（　　） A. 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对原函数分离常数得出，然后根据条件得出，然后根据基本不等式“1”的代换即可得解． 【详解】由题设，又，得， 整理得，且，则， u所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 8. 数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案. 【详解】， ， ， ，即， 解得或， 又，所以使成立的m的最小值为9. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 【答案】BC 【解析】 【分析】考虑，判断A错误；结合三角函数定义求，判断B，结合三角函数定义求判断C，结合三角函数定义求直接求判断D. 【详解】由，角的终边在第四象限，显然A错误； 由定义，，B项正确； 当时，， 所以，所以C项正确； 因为，与的正负无关，所以D项错误， 故选：BC. 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用作差法即可判断；对于B，利用指数运算即可判断；对于C，利用指数函数单调性，并借助中间量1，即可判断；对于D，利用指数、对数的运算及对数函数的性质可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，故A错误； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，因为，， 所以，故C正确； 对于D，因为， 又，所以，即， 所以，即，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，由函数周期性的定义分析B，由函数单调性的性质分析C，利用函数图象和不等式的性质分析D即得． 【详解】对于A，函数的定义域为R，有， 则为奇函数，故A正确； 对于B，因， 故π不是函数的周期，故B错误； 对于C，因， 当时，为增函数且， 由复合函数的单调性知， 也是增函数， 故在上递增，， 又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确； 对于D，， 当时，由函数与的图象（如图）可知：， 因，则有恒成立，故， 即函数的图象恒在直线的下方，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于需要先判断函数的奇偶性，在此基础上才能由函数在上的单调性判断其在上的单调性，有时还需结合函数的结构组成运用不等式性质说明函数图象的位置. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形OAB的周长为8cm， 圆心角， 则该扇形中弦长______ cm. 【答案】 【解析】 【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，然后根据已知建立方程组求出r的值，再利用正弦函数化简即可求解． 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α， 由已知得，解得，则弦长（cm）． 故答案为：. 13. 已知函数，，则函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，单调性和对称性解函数不等式. 【详解】的定义域为， 且，所以函数为偶函数， 设，则当时，，即，此时单调递增， 则当时，，即，此时单调递减， 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以函数的图象关于对称， 且当时单调递增，当时单调递减， 又因为二次函数的图象关于对称， 且当时单调递增，当时单调递减， 所以时单调递增，在时单调递减， 且的图象关于对称， 因为，所以，即， 所以， 即且恒成立， 由恒成立可得，，解得， 由恒成立可得，，解得， 综上所述，， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解； （2）利用齐次式以及弦切互化即可求解． 【小问1详解】 因为为第三象限角，且， 所以，解得（正值舍去）， 所以； 【小问2详解】 ． 16. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将为交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式； （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）依题意设得的解析式，代入，确定参数，即得的表达式； （2）根据分段函数解析式，分别利用基本不等式和函数的单调性求其最值并比较即得. 【小问1详解】 依题意，当时，设， 因，解得， ， 【小问2详解】 当， ， 当且仅当时等号成立； 当时，在上为减函数，故得. 又，所以当时，需要提供的面包数量最少． 17. 已知函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）a， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知点的坐标代入即可求解； （2）结合偶函数的定义即可证明； （3）结合指数函数的单调性即可求解． 【小问1详解】 函数的图象过点， 所以，即，， 则，则，所以； 【小问2详解】 证明：函数， 故为偶函数； 【小问3详解】 不等式可化为， 即， 解得， 所以， 故不等式的解集为． 18. 已知函数的定义域为，且仅有一个零点. （1）求； （2）若为奇函数，求的值； （3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）利用特殊值法，令，可得，令，可得 （2）根据奇函数的定义可求得； （3）由（2）知，则有，则在和上均单调递增.将在区间上的值域为转化为是方程的两个实根，从而得解. 【小问1详解】 令，得， 即. 因为，所以. 令，得，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 若）是奇函数，则， 因为仅有一个零点，且由（1）知. 所以 当时，因为， 所以，即是奇函数. 综上，. 【小问3详解】 由（2）知，所以， 所以，则在和上均单调递增. 则所以是方程的两个实根， 所以方程在上有两个不相等的实根. 设，则解得， 故实数取值范围是. 19. Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是 （1）判断的单调性，并用定义证明； （2）设函数 求 的值； （3）若函数 在 上有零点，求实数k的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析 （2）1012 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性定义证明即可； （2）根据结构特征，，采用首位相加求解即可； （3）依题意得，，换元令，转换为关于的方程在上有解，进而得到答案. 【小问1详解】 在上单调递增，证明：任取，且， ， 因为，所以，所以， 所以在上单调递增. 【小问2详解】 由题意得， 所以， 故. 所以 . 【小问3详解】 故， 令，当时，. 在上有零点，故关于的方程在上有解. 方程可化为. 令，则，且， 因为函数在上单调递增，所以当时，， 故实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问，重点考查倒序相加法求解，关键在于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州一中2027届高一寒假素养达标检测 （2月测） 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分： 150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（ ） A. B. C. D. 4. 某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（ ） A. 物理方向男生多于物理方向的女生 B. 历史方向的女生多于历史方向的男生 C. 物理方向的女生多于历史方向的男生 D. 物理方向的男生多于历史方向的女生 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 玻璃的透光性是玻璃的一项重要的性能指标．某玻璃厂在进行产品的性能测试时，发现光线通过一块玻璃，强度要损失10%．设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后，光线强度为，要使光线削弱为原来的，至少需要通过几块这样的玻璃？（已知，）（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 7. 已知函数，，若，则的最小值为（　　） A. 9 B. C. 3 D. 8. 数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知扇形OAB的周长为8cm， 圆心角， 则该扇形中弦长______ cm. 13. 已知函数，，则函数的值域为______． 14. 已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为第三象限角，且． （1）求的值； （2）求值． 16. 春节期间，“旅游潮”、“探亲潮”将交通带来巨大压力．已知某火车站候车厅，候车人数与时刻t有关，时刻t满足，．经观察，当时，候车人数达到满厅人数5000人，当时，候车人数相对于满厅人数减少，减少人数与成正比．已知时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为． （1）求的表达式； （2）铁路系统为了体现“人性化”管理，每逢整点时，会给旅客提供免费面包，数量为，求t为何值时，需要提供的免费面包数量最少． 17. 已知函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 18. 已知函数的定义域为，且仅有一个零点. （1）求； （2）若为奇函数，求值； （3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围. 19. Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是 （1）判断的单调性，并用定义证明； （2）设函数 求 的值； （3）若函数 在 上有零点，求实数k取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$