精品解析：广西玉林市2024-2025学年高二上学期期末教学质量监测数学试题

2024年秋季期高二期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】直线的方程化为截距式方程为，因此，直线在轴上的截距为. 故选：C. 2. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 又是双曲线的一条渐近线，即，解得. 故选：A 3. 已知点是点在平面上的射影，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得的值. 【详解】因为点是点在平面上的射影，则， 所以，. 故选：B. 4. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质和求和公式可求得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且， 则. 故选：C. 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 6. 如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程，再写出离心率即可. 【详解】设点，则， 又点在圆（）上，所以， 所以点的轨迹即为椭圆， 所以，，， 所以这个椭圆的离心率为. 故选：A. 7. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为5，则切线长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出点的坐标，利用两点间距离公式和勾股定理求解即可. 【详解】 抛物线的准线方程为， 不妨设点在第一象限，设， 点到的准线的距离为5，，即，， ，， ，. 故选：D. 8. 在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则（ ） A. 4719 B. 4721 C. 4723 D. 4724 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题干已知条件及递推公式逐项代入进行计算即可发现数列是以3为最小正周期的周期数列，然后根据周期数列的性质即可计算出数列的前2024项的和． 【详解】依题意，由，及， 可得当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 数列是以3为最小正周期的周期数列， ，， ， ． 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（ ） A. 1 B. 121 C. 36 D. 126 【答案】AB 【解析】 【分析】由与圆相内切，结合圆与圆的位置关系，求解即可. 【详解】由圆与圆， 则圆， 可得，且，则， 若圆与圆有且仅有一条公切线，则与圆内切， 则满足，即，解得或， 故选：AB. 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 当直线与直线平行时， B. 当直线与直线垂直时， C. 当时，直线的倾斜角为 D. 原点到直线的距离最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线平行和垂直的斜率公式求解判断选项AB，求得直线斜率可求得倾斜角判断C，利用时距离最大判断D. 【详解】对于A，当直线与直线平行时， ，解得，故A正确； 对于B，当直线与直线垂直时， ，解得，故B错误； 对于C，当时，直线，斜率为，所以倾斜角为，故C正确； 对于D，直线方程转化为， 令，解得，，所以直线过定点， 则垂直于直线时，原点到直线的距离最大，且，则，解得， 最大值为，故D正确. 故选：ACD. 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 【答案】ABD 【解析】 【详解】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案． 【分析】因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、， 设，，其中， 所以，所以，A选项正确． 点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确． ，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 要使平面，平面， 则， 解得，所以存在点，使平面，B选项正确； 若直线与直线所成角为， 则， 整理可得，，方程无解，所以C选项错误． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则_______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据列出比例式，求解即可. 【详解】因为，所以，，解得. 故答案为：6. 13. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为首项为1，所以， 所以，故. 故答案为：2 14. 已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则______． 【答案】15 【解析】 【分析】由点差法得到，同理得到，从而得到. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 不妨设， 因为点在上，所以，两式相减， 得， 因为点是的中点，所以， 所以，即， 所以，同理， 因为，所以． 故答案为：15 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； （3）求数列前项和的最大值. 【答案】（1） （2）不是，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，求解即可； （2）令，求解可得结论； （3）法1，利用数列的前项和公式可求最大值.法2，因为，所以数列单调递减，令，求解可求得最大值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，且，，则， 解得，， 所以，. 【小问2详解】 令，得， 又，故不是数列的项. 【小问3详解】 设数列的前项和为， 法1：， 所以当时，取最大值，最大值为. 法2：因为，所以数列单调递减， 令，得， 又由，故前项均为正数，且， 所以前项和最大，. 16. 如图，正四棱柱中，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小的正切值. 【答案】（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系. 依题设，，，，. ，，， 因为，， 故，. 又，所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系，求出，，，证明，即可； （2）求出两个平面的法向量，即可根据向量求出二面角的余弦值，进而求出正切值. 【详解】（1）略 （2）设向量是平面的法向量， 则，. 故，. 令，则，，. 是平面的法向量， ，∴， 由图知二面角为锐二面角， 所以二面角的大小的正切值为. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，属于中档题. 17. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合. （1）求抛物线的方程： （2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用双曲线方程求得，进而可得，可求得抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【小问1详解】 在双曲线中，，，所以，即， 在抛物线：中，由题意得，即， 所以抛物线的方程是. 【小问2详解】 由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为. 18. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求使取得最大值时的的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据的关系，作差可得，即可根据等比数列的定义求解； （2）由（1）求得，利用错位相减法可求； （3）根据，可得；从而判断的单调性，即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以， 由，可得：， 两式相减得：， 因为，所以，， 又，综上，对任意的，， 所以是首项和公比均为的等比数列，所以，. 【小问2详解】 由题意，， ① ② ①②得 所以， 【小问3详解】 由（1）可得，所以， 时，由，可得； 当时，，当时，， 当时，， 当时，， 所以，所以， 综上，或时，取得最大值. 19. 已知为坐标原点，椭圆的两个顶点坐标为和，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，若，求直线的方程； （3）若直线的斜率为，与椭圆交于、两点，记以、为直径的圆的面积分别为、，的面积为，求的最大值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得、的值，得椭圆的方程； （2）先排除直线斜率为，然后设直线方程为，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理和可得，即可求解； （3）设直线为，联立直线和椭圆结合韦达定理可得弦长，再根据点到直线距离可得，再根据点在椭圆上，可得进而可得,再利用二次函数性质求最值. 【小问1详解】 由已知两个顶点坐标为和，得， 由短轴长为，得，则椭圆方程：. 【小问2详解】 易知， 当直线的斜率为时，不妨设、，则，不满足题意； 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，、； 联立直线与椭圆方程，消去可得， 易知，由韦达定理可得，； 所以 ， 解得， 所以，即或， 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 设直线的方程为，、， 由，消去得， ，即， 则，， 所以 点到直线的距离， 所以， 又，， 所以 ， 所以 则当即时，取最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季期高二期末教学质量监测 数学 （试卷总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 3. 已知点是点在平面上的射影，则（ ） A. B. C. D. 4. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在圆（）上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（　　 ） A. B. C. D. 7. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，切点为，若点到的准线的距离为5，则切线长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 8. 在一个数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为8，则（ ） A. 4719 B. 4721 C. 4723 D. 4724 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则的值可能为（ ） A. 1 B. 121 C. 36 D. 126 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 当直线与直线平行时， B. 当直线与直线垂直时， C. 当时，直线的倾斜角为 D. 原点到直线的距离最大值为 11. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 存在点，使平面 C. 存在点，使直线与所成的角为 D. 点到平面与平面的距离和为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则_______. 13. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 14. 已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15. 已知数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）是数列中的项吗？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由； （3）求数列前项和的最大值. 16. 如图，正四棱柱中，，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求二面角的大小的正切值. 17. 在平面直角坐标系中，双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合. （1）求抛物线的方程： （2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 18. 已知数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求使取得最大值时的的值. 19. 已知为坐标原点，椭圆的两个顶点坐标为和，短轴长为. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，若，求直线的方程； （3）若直线的斜率为，与椭圆交于、两点，记以、为直径的圆的面积分别为、，的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $