精品解析：福建省南平市第三中学、新城实验中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

南平三中、新城实验中学九年级（下） 数学开学考试卷 满分： 150分 时间：120分钟 一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分，每题四个选项中只有一个选项是正确）． 1. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（　　） A. B. C. D. 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 3. 已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A. 1 B. C. 5 D. 4. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为2，若为外一点，则的长可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（　　）（参考数据：） A B. C. D. 9. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为________． 13. 点A、B、C为上的三点，如果，则________． 14. 已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于 ，，当时，x的取值范围是___________． 15. 如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为_____． 16. 如图，等腰中，，，点P在外，， ，，则的长为________． 三、解答题：（共9大题，共86分） 17. 解方程：． 18. 如图，在的网格纸上建立平面直角坐标系，在中，，且点A的坐标为． （1）画出绕点O逆时针旋转后所得的，并写出点A1的坐标； （2）求出在旋转过程中点A到点所经过的路径长． 19. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔每个上涨多少元？ 20. 已知，以为边向外作等边，经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上，，．求的长和的度数． 21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 22. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球． （1）从袋子中任意拿出一个球，则拿出小球恰好是红球的概率为_______； （2）从袋子中任意拿出两个球，求这两个球恰好是两个白球的概率（用树状图或列表法）； （3）在袋子中加入a个红球，摇匀后，多次摸球，若摸到红球的概率为，求a的值． 23. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，x的取值范围． 24. 如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C． （1）求m的值； （2）①求抛物线顶点C的坐标； ②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式； （3）已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标． 25. 如图，是的直径，点C，D是上位于直线异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分． （1）求证：为的切线； （2）若，， ①求的长； ②求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南平三中、新城实验中学九年级（下） 数学开学考试卷 满分： 150分 时间：120分钟 一、选择题：（共10小题，每题4分，共40分，每题四个选项中只有一个选项是正确）． 1. 在以下著名的数学曲线中，既是轴对称也是中心对称的图形为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可，在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A，B，D是轴对称图形，不是中心对称的图形； C既是轴对称图形，也是中心对称的图形． 故选C． 2. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 3. 已知关于x的方程的一个根为，则实数k的值为（　　） A. 1 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：把代入方程中得： 故选A． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用顶点式的特点可知顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 5. 已知的半径为2，若为外一点，则的长可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系； 根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径可得答案． 【详解】解：∵的半径为2，点P在外， ∴， ∴的长可能是3， 故选：D． 6. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，先分别求得，，，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴， 故选B． 7. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的最小整数值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式， 先根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得m的取值范围，再根据范围得出答案． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 且， 的最小整数值为2． 故选：C． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（　　）（参考数据：） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每天遗忘的百分比为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设每天遗忘的百分比为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故选D． 9. 如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到，进而得到，三角形内和定理，求出，再利用三角形内角和求出，即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转角得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角．熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． 10. 已知抛物线（其中b，c为常数）经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴交点问题，关键是利用A、B两点的坐标与对称轴的关系中找出b与c的联系，然后利用判别式可以解决问题． 根据抛物线解析式可得对称轴为直线，根据A、B坐标可得A、B两点关于直线对称，可得，即可得出c与b的关系，根据二次函数的图象与x轴有公共点列不等式可得出b、c的值，即可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵抛物线经过不同两点，， ∴A、B两点关于直线对称， ∴， ∴， ∵该二次函数的图象与x轴有公共点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选D． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是：，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长是解题的关键． 根据圆锥的侧面积为，其中S为侧面积，r为圆锥底面的半径，l为圆锥的母线长，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，圆锥的侧面积为， 故答案为：． 13. 点A、B、C为上的三点，如果，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．分点C在优弧上，和劣弧上，两种情况讨论，根据圆周角定理即可直接得出答案． 【详解】解：如图，当点C在优弧上时， 根据圆周角定理，可得：， 如图，当点C在劣弧上时， 根据圆周角定理，可得：， 故答案为：或． 14. 已知二次函数的图象如图所示，与x轴交于 ，，当时，x的取值范围是___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线图象与x轴交于，利用图象法直接可得出当时，x取值范围． 【详解】解：∵抛物线图象与x轴交于 ，，又抛物线开口向上， ∴由图象可得，当时，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数与不等式关系，熟练掌握用图象法根据抛物线与x轴的交点求不等式解集的方法是解题的关键． 15. 如图，A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴于点，点在轴上，且，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数的比例系数，设点A的坐标为，利用得到，即可得到答案． 【详解】解：设点A的坐标为， 点A在第二象限， ，， ， ， 是反比例函数的图象上一点， ， 故答案为：． 16. 如图，等腰中，，，点P在外，， ，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换、全等三角形的判定和性质勾股定理、直角三角形的特征，解题的关键是学会利用旋转变换添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 把绕点A逆时针旋转得到，由题意可知，进而计算，再证明，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：把绕点A逆时针旋转得到， ∵， 则此时点B与点C重合，过点A作于点， ∵， ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6 三、解答题：（共9大题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解： ， 或， 所以． 18. 如图，在的网格纸上建立平面直角坐标系，在中，，且点A的坐标为． （1）画出绕点O逆时针旋转后所得的，并写出点A1的坐标； （2）求出在旋转过程中点A到点所经过的路径长． 【答案】（1）图见解析， （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用旋转的性质作图，求弧长，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据旋转角度、旋转中心及旋转方向确定各点的对称点，顺次连接即可得到，根据图形直接写出坐标即可； （2）根据弧长公式计算即可得出． 【小问1详解】 解：如图所示为所求， 【小问2详解】 解：由旋转性质，得， ， 的长度， ∴点A到点所经过的路径长为． 19. 交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售A品牌头盔，此种头盔的进价为40元/个，经测算，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔每个上涨多少元？ 【答案】该品牌头盔每个上涨10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔每个上涨x元，根据月销售利润达到8000元列方程求解即可． 【详解】解：设该品牌头盔每个上涨x元． 依题意，得：， 解得： ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔每个上涨10元． 20. 已知，以为边向外作等边，经过旋转后到达的位置，且点A，C，E恰好在一条直线上，，．求的长和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由旋转可得，，，证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴． 21. 如图，已知为的直径，是弦，且于点E．连接、、． （1）求证：； （2）若，，求半径． 【答案】（1）详见解析 （2）⊙O的半径为 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理的推论以及等腰三角形的性质和判定． （1）由题意根据垂径定理，得到，再由圆周角定理推论得到，再由同圆半径相等推出，则问题可证； （2）由垂径定理，设的半径为x，则，，在中，由勾股定理可得，解方程即可； 【小问1详解】 ∵直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵直径， ∴，， 设的半径为x，则，， 在中，， 即， 解得， ∴的半径为 22. 在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外其余均相同的小球，其中，一个是红球，3个是白球． （1）从袋子中任意拿出一个球，则拿出的小球恰好是红球的概率为_______； （2）从袋子中任意拿出两个球，求这两个球恰好是两个白球的概率（用树状图或列表法）； （3）在袋子中加入a个红球，摇匀后，多次摸球，若摸到红球的概率为，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的知识，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式得出结论即可； （2）利用列表或画树状图的方法，得出概率即可； （3）根据概率公式列方程求解即可. 【小问1详解】 解：由题知，袋子中随机摸出1个球，恰好是红球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有12种等可能的结果，随机从袋中摸出两个球都是白色的有6种情况， 随机从袋中摸出两个球，都是白色的概率是：． 【小问3详解】 解：根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的根， 故． 23. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）， （2）3 （3）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题， （1）将C、D代入反比例函数中即可求出m、n的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式； （2）根据一次函数解析式求出点B坐标即可根据三角形面积计算公式求解； （3）观察图像，当一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围即是所求答案． 【小问1详解】 解：由过点，可得： ，解得：， 故，， 又由过点和可得： ，解得， 故； 【小问2详解】 解：当时，可得：， ∴， 故， 则； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，或． 24. 如图所示，已知抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点D，且满足，顶点为C． （1）求m的值； （2）①求抛物线顶点C的坐标； ②若将该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后的抛物线的解析式； （3）已知点P为异于点A的该抛物线上的一个点，并且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出值即可； （2）①一般式转化为顶点式，写出顶点坐标即可；②根据平移规则写出新的函数解析式即可； （3）作点关于的对称点，交于点，连接并延长，与抛物线的交点即为点，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； 【小问2详解】 ①由（1）可知：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为：； ②该抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到： ，即：； 【小问3详解】 作点关于的对称点，交于点，连接，过点作，则：，， ∵， ∴点在射线上，延长与抛物线的交点即为点， ∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴． 25. 如图，是的直径，点C，D是上位于直线异侧的两点，，交的延长线于点E，且平分． （1）求证：为的切线； （2）若，， ①求的长； ②求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，再根据角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答； （2）①如图，过点O作，垂足为F，根据直角三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，由（1）得，，求得，根据矩形的性质可得到；②连接，过点O作，垂足为F，根据已知易得是等边三角形，从而利用等边三角形的性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积的面积，进行计算即可解答． 【小问1详解】 证明：连接． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：①如图，过点O作，垂足为F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 由（1）得， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ②连接，过点O作，垂足为F， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴图中阴影部分的面积扇形的面积的面积 ， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的证明，圆中阴影面积的计算，垂径定理的应用，勾股定理的应用，解直角三角形等知识，添加辅助线构造直角三角形的是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$