精品解析：广东省珠海市实验中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

2024—2025学年下学期高二开年考 数学试题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 直线是曲线和的公切线，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 6. 平行六面体的底面是矩形，其中，且为的交点，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，点在上，点在上，则（ ） A. 的最小值为 B. 原点到的距离的最大值为 C. 的充要条件为 D. 的充要条件为或 10. 下列命题中错误的是（ ） A. 若 a，b，c 是等差数列，则 是等比数列 B. 若 a，b，c 是等比数列，则是等差数列 C. 若 a，b，c 是等差数列，则是等比数列 D. 若 a，b，c 是等比数列，则是等差数列 11. 已知菱形ABCD的边长为，将沿AC翻折，使点与点重合，如图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是（ ） A. 不存在点，使得 B. 无论点在何位置，总有面PBD C. 当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的余弦值为 D. 当时，为PB上一点，则的最小值为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 13. 已知，若，则的值为______. 14. 已知双曲线的离心率为，则_____． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求不等式的解集； （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积． 16. （1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 17. 直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． （1）求抛物线的方程； （2）若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 18. 如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足． （1）证明：面； （2）求二面角的大小． 19. 已知是各项均为正数的数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）设求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期高二开年考 数学试题部分 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 抛物线 的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先写成抛物线的标准方程，再求准线方程. 【详解】抛物线的标准方程为，开口向上，准线方程为. 故选：D. 2. 直线是曲线和的公切线，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 3. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论写出圆的标准方程，画出图得出结论. 【详解】曲线 曲线的图像如图所示： 该图是以四个点为圆心，半径为的四个半圆，所以该图的周长为：. 故选：B 4. 若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算及等比数列性质求出. 【详解】数列中，由，知，则， 又，于是，而， 所以. 故选：A 5. 已知直线与圆相交，且直线被圆所截得的弦长为4，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂径定理和点到直线的距离公式逐项判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为弦长为4，所以圆心到直线的距离， 对于A，，不符合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不符合题意； 对于D，，不符合题意； 故选：B 6. 平行六面体的底面是矩形，其中，且为的交点，则线段的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长. 【详解】由题意可知：， 则 ，所以，即线段的长为. 故选：C. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列前项和与等差数列的性质求，由求公差，再应用性质转化为代入求解可得. 【详解】由， 有， 可得 ． 故选：A． 8. 已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的对称性质和椭圆的性质得，再结合题设得，进而求出，再结合椭圆的定义以及余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 且，， 所以， 因为，所以， 所以即， 又，所以， 所以由余弦定理得， 整理得，所以即. 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是抓住角平分线的对称性之和椭圆的几何性质求出，关键2是利用和的关系求出，再在中结合余弦定理即可求解. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，：，点在上，点在上，则（ ） A. 的最小值为 B. 原点到的距离的最大值为 C. 的充要条件为 D. 的充要条件为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能相交直接排除A，从而得解. 【详解】对于B，：可化为， 令，得，则过定点， 当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大， 最大距离为，故B正确； 对于C，的充要条件为，即，故C正确； 对于D，的充要条件为且，即或，故D正确. 对于A，因为直线：，：不一定平行， 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误； 故选：BCD. 10. 下列命题中错误的是（ ） A. 若 a，b，c 是等差数列，则 是等比数列 B. 若 a，b，c 是等比数列，则是等差数列 C. 若 a，b，c 是等差数列，则是等比数列 D. 若 a，b，c 是等比数列，则是等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】由特例判断ABD，根据等比中项的定义判断C． 【详解】当时，不存在，因此AB均错； 选项C，若 a，b，c 是等差数列，则， 显然均为正数，因此成等比数列，C正确； 选项D，例如，它们成等比数列， 但，，，它们不成等差数列，D错． 故选：ABD． 11. 已知菱形ABCD的边长为，将沿AC翻折，使点与点重合，如图所示.记点为翻折过程中点的位置（不包含在点处的位置），则下列结论正确的是（ ） A. 不存在点，使得 B. 无论点在何位置，总有面PBD C. 当三棱锥的体积最大时，直线AB与平面PBC所成角的余弦值为 D. 当时，为PB上一点，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，确定的轨迹，借助圆锥的特性即可判断A；对于B，取的中点，证明平面，再根据菱形对角线互相垂直即可证明；对于C，确定体积最大时，点的位置，再借助等体积法求解即可；对于D，将，展开在同一平面内，借助两点间线段长最短即可判断D. 【详解】对于A，的轨迹是以为轴的两个同底的圆锥底面半圆弧， 显然圆锥轴截面的顶角为，大于， 则存在两条母线互相垂直，即存在点，使得， 而翻折前，因此存在点，使得，故A错误； 对于B，依题意，都是等边三角形， 取的中点，则， 又平面，于是平面， 又平面，因此， 因为四边形是菱形，所以，又，平面PBD， 因此平面PBD，故B正确； 对于C，由选项B知，平面是二面角的平面角， 三棱锥的体积， 当且仅当时取等号，此时平面， 等腰的面积， 设点到平面PBC的距离为， 由，得，解得， 设直线与平面所成的角为， 则，，故C正确； 对于D，当时，三棱锥为正四面体， 将，展开在同一平面内，如图， 显然四边形为菱形，， 当三点共线时，取得最小值，故D错误； 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令解得，代入即可得. 【详解】因为，则， 令，则，解得， 可得， 所以． 故答案为：. 13. 已知，若，则的值为______. 【答案】5 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示计算可得，即可得答案. 【详解】由可知，因此， 即可得， 所以. 故答案为：5 14. 已知双曲线的离心率为，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】直接利用双曲线的方程，求出，，，利用离心率公式求解即可． 【详解】解：双曲线， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ，即，解得， 当焦点在轴时，，， 可得， 双曲线的离心率为， ， 可得，即，可得． 故答案为：或． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数， （1）求不等式的解集； （2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1）且； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的单调性解不等式求解集即可； （2）由题意得，利用导数求切线方程并确定与坐标轴交点，即可求三角形面积. 【小问1详解】 由题设，则， 所以且，可得且， 所以解集为且. 【小问2详解】 由题意，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线为， 显然切线过，故其与坐标轴围成的三角形面积为. 16. （1）求两焦点分别为，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设双曲线方程为，将点的坐标代入方程求出即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 依题意，解得，所以椭圆方程为； （2）依题意设双曲线方程为，则，解得， 所以双曲线方程为. 17. 直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，为抛物线上的点，． （1）求抛物线的方程； （2）若使得成立的点P的横坐标为3，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义得出，从而得出方程； （2）设直线的方程，联立方程，由点的横坐标以及韦达定理得出，由弦长公式得出，由距离公式得出点到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由，得出，所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 ，设直线的方程为， 联立，得，则. . ，四边形为平行四边形， 由点的横坐标为3，得. , 点到直线的距离， 所以四边形的面积为. 18. 如图，在三棱锥中，，，，为中点，点Q满足． （1）证明：面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）连接，因为，， 所以是正三角形，故， 同理可得，所以， 因为为的中点，所以， 由三线合一性质得， 因为，所以， 因为，所以由直角三角形中线性质得， 结合，由勾股定理得， 所以， 故，因为，面， 所以面． （2）45° 【解析】 【分析】（1）首先证明等为正三角形，再利用三线合一的性质得到垂直于，再由与的关系得出垂直于，结合勾股定理证明垂直于，最后依据线面垂直的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合二面角是锐角的条件，利用二面角的向量求法求解二面角的角度即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 设，故，， 因为，所以，，， 解得，，，故， 而是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量， 则，即，取，解得，， 故，设二面角为， 故， 由题意得二面角为锐角，则， 故二面角的大小为． 19. 已知是各项均为正数的数列的前项和，. （1）求的通项公式； （2）设求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的知识来求得. （2）利用裂项求和法、分组求和法来求得. 【小问1详解】 因为，所以. 因为，所以，即， 由，解得. 由，所以是首项为1，公比为3的等比数列. 所以. 【小问2详解】 当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $