精品解析：江苏省兴化中学2024-2025学年高二下学期阶段性测试（一）数学试题

江苏省兴化中学2024一2025学年春学期高二年级阶段性测试（一） 数学 命题人：王靖昱，时间：2025年2月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线的方程为，再验证. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，且过点， 所以直线的方程为， 当时，. 故选：D. 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 880 B. 440 C. 220 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的项的性质和求和公式计算即得. 【详解】由可得， 则. 故选：B. 3. 如图在四面体中，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三棱锥的几何性质，结合空间向量的线性运算，可得答案. 【详解】由、分别是、的中点，则，， . 故选：D. 4. 若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据圆心到直线距离以及弦长公式，解方程可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为，弦长， 所以， 解得. 故选：C 5. 如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（ ） A 3 B. 4 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 6. 已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，即可得到知为等腰直角三角形，从而得到也为等腰直角三角形，且腰长为，即可求出三角形的面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且， 过点作准线的垂线，垂足为，则，所以， 则，所以， 所以为等腰直角三角形，所以也为等腰直角三角形，且腰长为， 所以该三角形的面积为. 故选：C． 7. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，依题意可得在区间内有零点，参变分离可得，根据对勾函数的性质求出的取值范围，即可得到的取值范围，最后检验时不符合题意，即可得解. 【详解】函数，， 若函数在区间上有极值点， 则在区间内有零点， 由可得， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是. 故选：C． 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接法求出曲线方程，通过其对称性质先研究它在第一象限的特征，进而得到整个图形特征，求得其面积. 【详解】设，则“椭圆”方程是，即， 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为可得，即，所以“椭圆”关于轴对称； 将换为，换为可得，即，所以“椭圆”关于原点对称； 研究“椭圆”在第一象限图象， 当时方程为，是一条线段，端点坐标分别为，， 当时方程为，表示一条线段，端点坐标分别为，， 结合曲线的对称性，“ 椭圆”大致图象如图： 四边形是直角梯形，上底长为，下底长为，高为， 所以梯形面积为， 所以“椭圆”面积为 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出“椭圆”的方程，结合其对称性，只需分析在第一象限部分的情形. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 在下列命题中，错误的有（ ） A. 若共线，则所在的直线平行； B. 若所在的直线是异面直线，则一定不共面； C. 若三向量两两共面，则三向量一定也共面； D. 已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量共线、共面的判定与性质逐一判断正误. 【详解】对于A，若共线，则有可能在同一条直线上，A错误； 对于B，即使所在的直线是异面直线，也可以通过平移的方式使得向量共面，B错误； 对于C，如图所示， 在四面体P-ABC中，向量两两共面，但三个向量并不共面，C错误； 对于D，由空间向量的基本定理可知D正确； 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 【答案】BC 【解析】 【分析】A通过判断在上是否恒大于等于0可得选项正误；B利用导数求出在上的单调性，据此可得值域；C由导数知识可得在点处的切线；D将问题转化为图象与直线有两个交点. 【详解】对于A，，，则在上单调递减，故A错误； 对于B，由A分析，，则在上单调递增， 则， 故函数在上的值域为； 对于C，由题，， 则点处的切线方程为，故C正确； 对于D，即图象与直线有两个交点，由上述分析可得大致图象如下， 则要使图象与直线有两个交点，，故D错误. 故选：BC 11. 已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 当时，数列是常数列 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的的最大值为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递增的性质列不等式求解判断A，利用指数运算化简求出判断B，利用等比数列求和公式求解判断C，结合B选项及题意求得，，即可判断D. 【详解】A：若数列是递增数列，则当时，， 因为，所以，故A正确； B：， 因为，所以数列不是常数列，故B错误； C：因为当时，， 故存在，使得恒成立，故C正确； D：因为，若， 则，， 所以，所以，，，， 所以，，则使得成立的的最大值为10，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得出的坐标，然后求出投影向量即可得出答案. 【详解】因为，， 所以，向量在上的投影向量是， 其坐标. 故答案为：. 13. 椭圆与双曲线有相同的焦点，点为的一个公共点，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】由条件结合椭圆与双曲线定义可得，，然后由数量积的运算结果余弦定理求解即可. 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此 . 故答案为：2 14. 已知a，b为实数，，若恒成立，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“函数与有相同的零点”，利用零点列方程后，构造函数，结合导数来求得的最小值. 【详解】依题意，函数与在上都单调递增， 且函数的值域是，，不等式恒成立， 当且仅当函数与有相同的零点，因此， 由得，由得，于是得， 则，令，求导得， 当时，，当时，， 因此函数在上递减，在上递增， 当时，， 从而得， 所以ab的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：将不等式问题转化为函数问题：首先利用函数在区间内的单调性和零点条件，将不等式问题转化为函数的零点问题，这一步的转化是解题的关键，简化了问题的复杂度. 利用导数求极值：通过对构造的函数求导，分析函数的单调性，确定函数的极值点，从而求得所求的最小值. 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． （1）试用，，表示向量； （2）已知，，且，若，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由可得， 即， 即， 即， 即，． 16. 已知空间三点，，． （1）若向量与互相垂直，求实数的值； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出、的坐标，即可求出的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出，即可求出，再由面积公式求出，即可得解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， 因为向量与互相垂直，所以， 解得； 【小问2详解】 因为，， 所以，则， 所以， 所以以，为邻边的平行四边形的面积. 17. 已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知，可得，，则，，即可求得椭圆的标准方程，再求出，可求得离心率； （2）设直线的方程为，，，联立直线方程与椭圆方程，由利用韦达定理得，得，化简可得，可得为定值. 【小问1详解】 因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点， 当时，，当时，，则，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． 因为，所以椭圆的离心率为． 【小问2详解】 由（1）知直线的斜率为， 设直线的方程为，，， 联立方程组，消去得，则． 因为，，所以， 因为， 且，所以， 所以，即为定值． 18. 已知数列的前项和为，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）令可求出的值，再令由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）根据（1）中的结论求出数列的通项公式，可求出，利用错位相减法和分组求和法可求得. 【小问1详解】 因为数列的前项和为，且， 所以①， 当时，，解得， 当时，②， ①②得，所以，即， 即，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，则， 所以，， 所以，， 则， 令③， 所以，④， ③④得， 所以，，故. 19. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）求出，利用导数的几何意义，根据斜率之积为求解即可； （2）求出函数的导数，分类讨论，解不等式即可得出单调性区间； （3）利用导数确定，分离参数后，再利用导数求函数最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 又在处的切线与直线垂直，所以， 即，所以. 【小问2详解】 ，. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，得，又，所以. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由，得在上恒成立. 令，，则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 则在上恒成立. 令，， 则 . 因为，所以，则， 令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省兴化中学2024一2025学年春学期高二年级阶段性测试（一） 数学 命题人：王靖昱，时间：2025年2月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的倾斜角为，且过点，则在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，，则（ ） A. 880 B. 440 C. 220 D. 110 3. 如图在四面体中，、分别是、的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（    ） A. B. C. D. 5. 如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 6. 已知点是抛物线的焦点，抛物线的准线与轴交于点，是抛物线上的一点，满足.则的面积为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 16 7. 若函数在区间内有极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：，两点间的“M距离”为把到两定点，的“距离”之和为常数的点的轨迹叫“椭圆”，则“椭圆”的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 在下列命题中，错误的有（ ） A. 若共线，则所在直线平行； B. 若所在的直线是异面直线，则一定不共面； C 若三向量两两共面，则三向量一定也共面； D. 已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 10. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在的值域为 C. 函数在点处切线方程为 D. 关于的方程有2个不同的根当且仅当 11. 已知等比数列首项，公比为，前项和为，前项积为，则（ ） A. 若数列是递增数列，则 B. 当时，数列是常数列 C. 当时，存在实数，使得恒成立 D. 若，则使得成立的的最大值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是______． 13. 椭圆与双曲线有相同的焦点，点为的一个公共点，则______. 14. 已知a，b为实数，，若恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． （1）试用，，表示向量； （2）已知，，且，若，求的值． 16. 已知空间三点，，． （1）若向量与互相垂直，求实数的值； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积． 17. 已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点． （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）与直线平行的直线交于两点（均不与的顶点重合），设直线，的斜率分别为，证明：为定值． 18. 已知数列前项和为，且. （1）证明：数列为等比数列； （2）求数列的前项和. 19. 已知函数，. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$