备战2025年中考——图形的相似（综合压轴题分类专题）（8）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

备战2025中考——图形的相似（综合压轴题分类专题）（8） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】相似图形相关概念及性质 【考点1】比例性质.............................................................1 【考点2】黄金分割.............................................................3 【考点3】相似多边形...........................................................6 【考点4】由平行截线求相关线段的长或比值.......................................9 【知识点2】相似三角形 【考点5】相似三角形的性质....................................................12 【考点6】相似三角形的判定....................................................15 【考点7】相似三角形的性质与判定综合..........................................17 【考点8】相似三角形的实际运用................................................22 【知识点3】图形的位似 【考点9】图形的位似..........................................................24 篇二：压轴部分 【考点10】三角形全等与三角形相似综合压轴题...................................25 【考点11】特殊四边形与相似三角形.............................................31 【考点12】折叠图形中的相似三角形.............................................37 【考点13】旋转图形中的相似三角形.............................................44 【考点14】相似三角形中的动点问题.............................................50 篇一：综合部分 【知识点1】相似图形相关概念及性质 【考点1】比例性质 1．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ． 【答案】+/0.6875 【分析】设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求． 解：设，则，，， ． ，，为非负实数， ， 解得：． 当时，取最大值，当时，取最小值． ， ． ． 故答案为： 【点拨】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比的应用，由胡克定律公式得到即可求解，解题的关键是由题意得到． 解：由题意得：， ∴ 故选：． 3．（2024·山西长治·三模）如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ． 【答案】21 【分析】本题考查求反比例函数的解析式、坐标与图形、矩形的性质、比例性质，设点B坐标为，根据矩形性质得到，轴，则点D的坐标为，根据坐标与图形性质，，然后由已知列方程求k值即可． 解：设点B坐标为， ∵矩形的面积为35， ∴，轴， 则点D的坐标为， ∴，， ∵， ∴，解得，且满足所列方程， 故答案为：21． 【考点2】黄金分割 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，点P是的黄金分割点，且，设，则，则，即可求解，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 解：由题意知，点P是的黄金分割点，且，设，则， ∴， ∴， 化简得：， 故答案为：． 3．（2024·辽宁营口·一模）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．设，根据题意易得，，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 解：设， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，由勾股定理，可得， 即，整理可得， 解得，（舍去）， ∴． 故选：C． 【考点3】相似多边形 1．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 解：由折叠可得：，， ∵矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 2．（2024·江苏常州·模拟预测）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    【答案】2 【分析】此题考查了位似图形的性质、相似三角形的判定和性质、正多边形与圆等知识，连接，根据相似三角形的性质得到正方形与正方形的面积比为，则正方形的面积为8，得到正方形的边长为，用勾股定理求出，即可得到答案． 解：连接，    ∵正方形与正方形是位似图形，， ∴正方形与正方形的面积比为， ∵正方形面积为2， ∴正方形的面积为8， ∴正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形的外接圆的半径为2， 故答案为：2. 3．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 【考点4】由平行截线求相关线段的长或比值 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 2．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 【答案】A 【分析】过点C作，交的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积特点解答即可． 本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积，熟练掌握定理是解题的关键． 解：过点C作，交的延长线于点E， 则，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【知识点2】相似三角形 【考点5】相似三角形的性质 1．（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，二次函数的最值问题，勾股定理，先利用相似三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，进而得到，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值， 故选：B． 2．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了相似三角形的性质，先求出，，由得到相似比为：，即可得到答案. 解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴相似比为：， ∴与的面积比是， 故选：A 3．（2024·甘肃武威·一模）如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　）    A．6 B．9 C．12 D．3 【答案】A 【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，等高三角形面积比等于底的比性质， 由平行四边形性质证明利用三角形相似判定与性质得出MN：AN=MD：AB=1：2，进一步得出进行求解即可. 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵M为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：A． 【考点6】相似三角形的判定 1.（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上，且时，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 解：（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 2．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 3．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出的长度，由，易证，最后列出比例式求解即可． 解：由勾股定理得， ，， ，， ， ， ， 解得， 故选：D． 【考点7】相似三角形的性质与判定综合 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形； （2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】96 【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作交于点H，则，求得，再证明，求得，再证明，则，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案． 解：作交于点H，则， ∵四边形是边长为10的菱形，对角线相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：96． 3．（2024·四川乐山·一模）如图，的直角边在轴负半轴上，斜边上的中线的反向延长线交轴正半轴于点，双曲线（）的图象经过点，若，则等于（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】设，则，过作轴于，根据为中位线，得，易证，设为，由知，，所以，故可求出值． 解：设，则，过作轴于， 由题意得 ∵轴， ∴ ∴ ∴ ∵为中点， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 设为，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点拨】本题主要考查反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线性质，解题的关键是正确作出辅助线，再根据三角形相似解决问题． 【考点8】相似三角形的实际运用 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    【答案】36m 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为36m． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质建立方程是解题的关键． 2．（2025·广东深圳·一模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，则 聚光灯距离地面的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际图形中抽象出相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质． 根据相似三角形的对应边的比相等列方程计算即可． 解：由题意得：， ∴， ∴， ∵金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为为，他在聚光灯下的影子为， ∴， 解得：， 故答案为：6.8． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 【知识点3】图形的位似 【考点9】图形的位似 篇二：压轴部分 【考点10】三角形全等与三角形相似综合压轴题 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且． （1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； （2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）①见分析；②；（2），理由见分析 【分析】（1）①根据，得出为的中点，证明出即可；②先证明出得到，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解； （2）连接交于点，证明，进一步证明出四边形为平行四边形，得出为的中位线，得到，再证明出得到，再通过等量代换即可求解． 解：（1）解：①， 为的中点， ， 是边的中点， ， ， 在中， ∴， 又∵， ， ， 是的中点； ②， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图：    由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点， ， 又， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的中点， ， ， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）；（2）10；（3）；（4）或 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当在点的左侧时，过点作于点，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，分别解直角三角形，即可求解． 解：（1）解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．   ， ， ， ， ， 又且 ， ； （2）解：， ， ， ， ， 又且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴ ∴， 即，即， 又∵ ∴ ∴， 设，则， 解得： ∴； （4）解：如图所示，当在点的左侧时，过点作于点    ∵ ∴，设，则， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， 解得： 在中， ∴ ∴ 如图所示，当在点的右侧时，过点作交的延长线于点，    ∵ ∴ ∵ ∴ 设，则，， ∵， ∴ 解得： ∴ ∴ 综上所述，或． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点11】特殊四边形与相似三角形 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． （1）如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． （2）如图2，若，设与交于点K．求证：． （3）在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． （1）求证：； （2）探究与的关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2），，理由见分析；（3） 【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定解答即可； （2）利用证明，可得出，，结合三角形内角和与对顶角的性质可得出； （3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质可求出，，的长度，证明，利用相似三角形的性质求出的长度，证明，得出，即可求解． 解：（1）证明∶∵四边形是矩形， ∴，，，，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，理由： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵F是的中点， ∴，，， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，正确的识别图形是解题的关键． 【考点12】折叠图形中的相似三角形 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3），见分析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 解：（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点拨】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①由折叠得，，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简，，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答． ②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 解：（1）解：如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点13】旋转图形中的相似三角形 1．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）在中，，，且，，可得，根据相似三角形的性质得出，，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）延长交于点，如图所示，在中，求得，进而求得的长，根据（1）的结论，得出，在中，勾股定理求得，进而根据，即可求解． （3）如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，同（1）可得，进而得出在以为圆心，为半径的圆上运动，当点三点共线时，的值最大，进而求得，，根据得出，过点作，于点，分别求得,然后求得，最后根据正切的定义即可求解． 解：（1）解：在中，，，且，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． （2）∵，且，， ∴，， 延长交于点，如图所示，    ∵， ∴， ∴在中，，， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以为边在上方作，且，，连接，，，    同（1）可得 则， ∵，则， 在中，，， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点三点共线时，的值最大，此时如图所示，则，    在中， ∴,， ∵， ∴， 过点作，于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 中，． 【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】（1）；（2）成立；理由见分析；（3）或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 解：（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：．    （2）解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 【考点14】相似三角形中的动点问题 1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】（1）利用得，即，进而求解； （2）分别过点C，P作，垂足分别为M，N，证得，，求得，再证得，得出，根据即可求出表达式； （3）当时，易证，得出，则，进而求出t值． 解：（1）解：在中，由勾股定理得， ∵绕点A按逆时针方向旋转得到 ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ 答：当时，t的值为． （2）解：分别过点C，P作，垂足分别为M，N ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：假设存在某一时刻t，使 ∵ ∴ ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴存在时刻，使． 【点拨】本题考查了旋转与相似，利用勾股定理求线段长，平行线的性质，根据旋转的性质，找到相似图形是解决问题的关键，是中考中的常考题． 2．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；②；③． 【分析】（1）利用即可证明； （2）①证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ②由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． 解：（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②，理由如下： 由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——图形的相似（综合压轴题分类专题）（8） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】相似图形相关概念及性质 【考点1】比例性质.............................................................1 【考点2】黄金分割.............................................................2 【考点3】相似多边形...........................................................3 【考点4】由平行截线求相关线段的长或比值.......................................4 【知识点2】相似三角形 【考点5】相似三角形的性质.....................................................4 【考点6】相似三角形的判定.....................................................5 【考点7】相似三角形的性质与判定综合...........................................6 【考点8】相似三角形的实际运用.................................................7 【知识点3】图形的位似 【考点9】图形的位似...........................................................8 篇二：压轴部分 【考点10】三角形全等与三角形相似综合压轴题....................................8 【考点11】特殊四边形与相似三角形..............................................9 【考点12】折叠图形中的相似三角形.............................................10 【考点13】旋转图形中的相似三角形.............................................11 【考点14】相似三角形中的动点问题.............................................12 篇一：综合部分 【知识点1】相似图形相关概念及性质 【考点1】比例性质 1．（2021·四川内江·中考真题）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 ． 2．（2024·湖南娄底·模拟预测）有三个不同的弹簧放在水平面上，分别被一个大小和方向均相同的力拉长，它们的弹性形变之比是，这三个弹簧的劲度系数分别为（胡克定律公式：，其中是劲度系数，x是弹性形变），则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西长治·三模）如图，矩形的面积为35，边与双曲线交于点D．若，则k的值为 ． 【考点2】黄金分割 1．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 2．（23-24九年级上·广东揭阳·期末）两千多年前古希腊数学家欧多克索斯发现黄金分割，如图，点P是线段上一点，若满足，即，则称点P是的黄金分割点．黄金分割在生活中处处可见，例如：主持人如果站在舞台上的黄金分割点处，观众观感最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上．问题：则x满足的方程是 ． 3．（2024·辽宁营口·一模）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为矩形称其为黄金矩形．若，则（    ）    A． B． C． D． 【考点3】相似多边形 1．（2023·山东·中考真题）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·江苏常州·模拟预测）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为 ．    3．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【考点4】由平行截线求相关线段的长或比值 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 2．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，D为边上一点，且平分，若，，则与的面积比为（    ） A． B． C． D．25：16 【知识点2】相似三角形 【考点5】相似三角形的性质 1．（2024·安徽·一模）如图，在中，，若点为直线左侧一点，当时，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，，其中点A的坐标为，点C的坐标为，则与的面积比是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃武威·一模）如图，在平行四边形中，如果点M为的中点，若已知，那么等于（　　）    A．6 B．9 C．12 D．3 【考点6】相似三角形的判定 1.（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上，且时，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 2．（2024·陕西西安·二模）如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，且．若，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【考点7】相似三角形的性质与判定综合 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为 ． 3．（2024·四川乐山·一模）如图，的直角边在轴负半轴上，斜边上的中线的反向延长线交轴正半轴于点，双曲线（）的图象经过点，若，则等于（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【考点8】相似三角形的实际运用 1．（2023·四川攀枝花·中考真题）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度．    2．（2025·广东深圳·一模）2022年2月20日北京冬奥会花样滑冰表演赛，中国男单一哥金博洋登场，他使用的地面光影直到结束后都让人意犹未尽．如图，设聚光灯O的底部为A，金博洋的身高（）为，金博洋与点A的距离为，他在聚光灯下的影子为，则 聚光灯距离地面的高度为 m． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【知识点3】图形的位似 【考点9】图形的位似 篇二：压轴部分 【考点10】三角形全等与三角形相似综合压轴题 1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且． （1）如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； （2）如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． （1）【观察感知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是______； （2）【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； （3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，则______； （4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度． 【考点11】特殊四边形与相似三角形 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． （1）如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． （2）如图2，若，设与交于点K．求证：． （3）在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 2．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在矩形中，对角线、交于点，的平分线分别交、于点、，交的延长线于点，为的中点，连结、，分别交、于点、． （1）求证：； （2）探究与的关系，并说明理由； （3）若，，求的长． 【考点12】折叠图形中的相似三角形 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 2．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． （1）填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； （2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【考点13】旋转图形中的相似三角形 1．（2023·四川·中考真题）如图1，已知线段，，线段绕点在直线上方旋转，连接，以为边在上方作，且．    （1）若，以为边在上方作，且，，连接，用等式表示线段与的数量关系是 　 　； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，，求的长； （3）如图3，若，，，当的值最大时，求此时的值． 2．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． （1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； （2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 （3）当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【考点14】相似三角形中的动点问题 1．（2022·山东青岛·中考真题）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．交于点F，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当时，求t的值； （2）设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G． （1）如图1，求证：； （2）如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$