备战2025年中考——四边形（综合压轴题分类专题）（7）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

备战2025中考——四边形（综合压轴题分类专题）（7） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】多边形及其内角和 【考点1】多边形内角和.........................................................2 【考点2】多边形外角和.........................................................2 【考点3】多边形内角和与外角和综合.............................................3 【知识点2】平行四边形 【考点4】平行四边形的性质.....................................................4 【考点5】平行四边形的判定.....................................................5 【考点6】平行边形的性质与判定综合.............................................5 【知识点3】三角形中位线 【考点7】利用三角形中位线求解.................................................6 【考点8】利用三角形中位线证明与求解综合.......................................7 【知识点3】矩形 【考点9】矩形的性质...........................................................8 【考点10】矩形的判定..........................................................8 【考点11】矩形的性质与判定综合................................................9 【知识点4】菱形 【考点12】菱形的性质.........................................................10 【考点13】菱形的判定.........................................................11 【考点14】菱形的性质与判定综合...............................................11 【知识点5】正方形 【考点15】正方形的性质.......................................................12 【考点16】正方形的判定.......................................................13 【考点17】正方形的判定和性质.................................................14 篇二：压轴部分 【考点18】平行四边形为背景的压轴题...........................................15 【考点19】中位线为背景的压轴题...............................................16 【考点20】矩形为背景的压轴题.................................................17 【考点21】菱形为背景的压轴题.................................................17 【考点22】正方形为背景的压轴题...............................................18 篇一：综合部分 篇一：综合部分 【知识点1】多边形及其内角和 【考点1】多边形内角和 1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【考点2】多边形外角和 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　）    A．90° B．180° C．120° D．270° 【考点3】多边形内角和与外角和综合 1．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的内角和为 ． 【知识点2】平行四边形 【考点4】平行四边形的性质 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，已知是平行四边形的对角线，点是的延长线上一点，连接，分别交于点． 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，则的长为 ． 【考点5】平行四边形的判定 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面内，从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ，若测得之间的距离为， 点之间的距离为， 则的值为    【考点6】平行边形的性质与判定综合 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏镇江·二模）如图，点A、B、C、D在网格中的格点上，与相交于点O，小正方形的边长为1，则等于 ． 【知识点3】三角形中位线 【考点7】利用三角形中位线求解 1．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，，点D，E分别在边上，且，点M、N、F分别是的中点，则的长为 ． 【考点8】利用三角形中位线证明与求解综合 1．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 2．（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．2 D． 3．（2023·云南昆明·三模）已知，与相交于点，其中点，分别是，的中点，若，则的值为 ．    【知识点3】矩形 【考点9】矩形的性质 1．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 【考点10】矩形的判定 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 2．（2024·广东深圳·三模）如图，要使成为菱形，下列添加条件正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边上一点，点为左侧一点，，若，，则 ． 【考点11】矩形的性质与判定综合 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值． 2．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 3．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ． 【知识点4】菱形 【考点12】菱形的性质 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 （1）求证：四边形是菱形： （2）若平行四边形的周长为，求的长． 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（   ） A． B．8 C．50 D．10 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【考点13】菱形的判定 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，，点、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形菱形平行四边形 B．平行四边形矩形平行四边形 C．平行四边形菱形正方形平行四边形 D．平行四边形矩形正方形平行四边形 3．（2024·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【考点14】菱形的性质与判定综合 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分． （1）求证：是菱形； （2）若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知，①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，②分别以点、为圆心画弧交于一点，作射线，③过点作的平行线交射线与点，④连接；求线段的长（    ） A． B．16 C． D． 3．（2024·江西南昌·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点．分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点E，作射线．以点C为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点D，与射线交于点F，连接，．若，则四边形的面积为 ． 【知识点5】正方形 【考点15】正方形的性质 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（  ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则 【考点16】正方形的判定 1．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 2．（2024·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形 3．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 【考点17】正方形的判定和性质 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．     （1）求反比例函数的解析式． （2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，等腰的斜边的中点为D，，E是边上一点，连接，过点D作，交于点F．若，四边形的面积是9，则的长为 ． 篇二：压轴部分 【考点18】平行四边形为背景的压轴题 1．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，，的长是方程的两个根．请解答下列问题： （1）求点的坐标； （2）若直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，直线交延长线于点，，求的值； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点（不与点重合），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点19】中位线为背景的压轴题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）在中，是的中位线，是的平分线，与交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）若． （ⅰ）如图2，求证：； （ⅱ）如图3，若，其他条件不变，求的值． 【考点20】矩形为背景的压轴题 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且． （1）证明四边形为矩形； （2）若，，求的面积； （3）点，分别是线段，上的点，若，，，，求的长． 【考点21】菱形为背景的压轴题 1．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题情境： 在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点分别是边上的点，将菱形沿折叠．    猜想证明： （1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决： （2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上的点处，若，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，求的面积（用含的式子表示）． 【考点22】正方形为背景的压轴题 1．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 2．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． （1）当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； （2）如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——四边形（综合压轴题分类专题）（7） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】多边形及其内角和 【考点1】多边形内角和.........................................................2 【考点2】多边形外角和.........................................................4 【考点3】多边形内角和与外角和综合.............................................6 【知识点2】平行四边形 【考点4】平行四边形的性质.....................................................8 【考点5】平行四边形的判定....................................................11 【考点6】平行边形的性质与判定综合............................................14 【知识点3】三角形中位线 【考点7】利用三角形中位线求解................................................17 【考点8】利用三角形中位线证明与求解综合......................................21 【知识点3】矩形 【考点9】矩形的性质..........................................................23 【考点10】矩形的判定.........................................................28 【考点11】矩形的性质与判定综合...............................................31 【知识点4】菱形 【考点12】菱形的性质..........................................................35 【考点13】菱形的判定.........................................................38 【考点14】菱形的性质与判定综合...............................................41 【知识点5】正方形 【考点15】正方形的性质.......................................................44 【考点16】正方形的判定.......................................................47 【考点17】正方形的判定和性质.................................................50 篇二：压轴部分 【考点18】平行四边形为背景的压轴题...........................................56 【考点19】中位线为背景的压轴题...............................................63 【考点20】矩形为背景的压轴题.................................................68 【考点21】菱形为背景的压轴题.................................................73 【考点22】正方形为背景的压轴题...............................................79 篇一：综合部分 篇一：综合部分 【知识点1】多边形及其内角和 【考点1】多边形内角和 1．（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，在四边形中，，，，则四边形的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和，角度和差等知识，过作，交延长线于点，通过角度和差得，根据四边形的内角和得，从而证明即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 解：如图，过作，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积的面积， 故答案为：18． 3．（2024·山西·模拟预测）如图，将正五边形纸片沿折叠，得到，点C的对应点为点，的延长线交于点F，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键．由正五边形纸片，可得，由，可得，由折叠的性质可知，，，根据，求解作答即可． 解：∵正五边形纸片， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 故选：B． 【考点2】多边形外角和 1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 解：如图，直线相交于点，则， ∵正多边形的每个内角相等， ∴正多边形的每个外角也相等， ∴， ∴， 故选：． 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，五边形中，，分别是的外角，则（　　）    A．90° B．180° C．120° D．270° 【答案】B 【分析】如图：根据平行线的性质可得，然后根据多边形的外角和即可解答． 解：如图，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B．    【点拨】本题主要考查了平行线的性质、多边形的外角和等知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键． 【考点3】多边形内角和与外角和综合 1．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键． 解：设这个正多边形的边数为， 则， ∴， ∴这个正多边形的每个外角为， 故选：． 2．（2024·河北邯郸·二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识；由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 解：∵正五边形的每个内角为， ∴组成的正多边形的每个内角为， ∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴形成的正多边形为正n边形，则， 解得：． 故选C． 3．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若 ，则这个正多边形的内角和为 ． 【答案】/1260度 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握圆周角定理．先连接，，根据已知条件判断点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，然后根据圆周角定理和已知条件求出的度数，从而求出多边形的边数，最后根据多边形内角和公式进行计算即可． 解：如图所示：连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数为：， 这个正多边形的内角和为：， 故答案为：． 【知识点2】平行四边形 【考点4】平行四边形的性质 1．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． （1）由以上作图可知，与的数量关系是_______ （2）求证： （3）若，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3） 【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案； （2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明； （3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可． 解：（1）解：由作图可知，为的角平分线 故答案为： （2）证明：四边形为平行四边形 （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点 四边形为平行四边形， ， ， 又 ． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，已知是平行四边形的对角线，点是的延长线上一点，连接，分别交于点． 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合，根据题意可证，，由此即可求解． 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点是延长线上一点， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C ． 3．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，则的长为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．首先利用平行四边形的性质及角平分线的定义得到，然后利用等腰三角形的三线合一的性质得到，利用勾股定理求得，即可求得答案． 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：13． 【考点5】平行四边形的判定 1．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见分析；（2）6 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 解：（1）解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：由（1）得， ∵，， ∴． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）在同一平面内，从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定，用概率公式求概率，掌握平行四边形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法，由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形．再根据概率公式求解即可． 解：从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法， 由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形． ∴这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为． 故选：A． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ，若测得之间的距离为， 点之间的距离为， 则的值为    【答案】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，勾股定理，三角函数，过点作于，于，连接，相交于点，先证明四边形是平行四边形，再根据面积法证明四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积求出高，最后根据正弦的定义计算即可求出的值，推导出四边形是菱形是解题的关键． 解：过点作于，于，连接，相交于点，则，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：. 【考点6】平行边形的性质与判定综合 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，平行四边形中，、分别是，的平分线，且E、F分别在边，上． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，结合角平分线的条件得到，由得到，，根据平行线的判定得到，根据平行四边形的判定即可得到是平行四边形； （2）求得是等边三角形，得到，，证明，求得，作于点，在中，求得，据此求解即可． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点， 在中，，， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，是的边的中点，，，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，求角的正弦值，延长 至点，使，连接，，可证明四边形是平行四边形，得到，则当最大时，最小；过点A作 交的延长线于点，由于，则最大为30度，据此可得答案． 解：如图，延长 至点，使，连接，． 是的中点， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， 当最大时，最小． 过点A作 交的延长线于点， ∴， 当且仅当 时等号成立，此时最大，， 的最小值为， 故选：D． 3．（2024·江苏镇江·二模）如图，点A、B、C、D在网格中的格点上，与相交于点O，小正方形的边长为1，则等于 ． 【答案】3 【分析】连接，证明四边形是平行四边形得，由勾股定理得，从而有，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，可得，从而即可解答． 解：如下图：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【知识点3】三角形中位线 【考点7】利用三角形中位线求解 1．（2024·云南·中考真题）如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． 解：（1）解：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 【点拨】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 2．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，利用垂径定理得到，再利用三角形中位线定理得到，接着证明，得到，设，则，，利用半径为5，解出x，最后在中由勾股定理即可求解． 解：如图，连接，交于， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴，即， ∴， 在中，， 故选：D． 【点拨】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 3．（2024·四川南充·模拟预测）如图，在中，，，，点D，E分别在边上，且，点M、N、F分别是的中点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中位线，根据三角形的中位线可得，，，，即可得到，再由勾股定理求出的值即可． 解：∵，，， ∴，， ∵点M、N、F分别是的中点， ∴是中位线，是中位线， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴， 故答案为：． 【考点8】利用三角形中位线证明与求解综合 1．（2024·北京·中考真题）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长. 【答案】（1）见详解；（2） 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 解：（1）证明：∵是的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 2．（2024·安徽滁州·三模）已知线段，点是线段上一动点，和都是等边三角形，是的中点，是的中点，则线段的最小值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】取的中点，的中点，得到，，当为与之间的距离时，最小，求出到的距离,即可求解， 本题考查了等边三角形的性质，三角形的中位线，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线，得到最小值． 解：取的中点，的中点，    连接，，则，， 当为与之间的距离时，最小， 过点作， ∵，， ∴， 在中，，， 故选：D． 3．（2023·云南昆明·三模）已知，与相交于点，其中点，分别是，的中点，若，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据相似的判定与性质，数形结合即可得到答案． 解：∵， ， ， ∴， ∵点、分别是、的中点， ∴由三角形中位线定义可知是的中位线， ∴， ∵， ∴，即与的相似比为1:2， ∴的周长与的周长之比为1:2， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查相似三角形性质的应用，涉及平行线性质、相似三角形的判定与性质、三角形中位线判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【知识点3】矩形 【考点9】矩形的性质 1．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形中，为边上一点，且． （1）求证：； （2）为线段延长线上一点，且满足，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】（1）由矩形性质得到，，，由角的互余得到，从而确定，利用相似三角形性质得到； （2）由矩形性质，结合题中条件，利用等腰三角形的判定与性质得到，，， 进而由三角形全等的判定与性质即可得到． 解：（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）证明：连接交于点，如图所示： 在矩形中，，则， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ． 【点拨】本题考查矩形综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题第的关键． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图1，在矩形中，点P从点A出发，匀速沿向点D运动，连接，设点P的运动距离为x，的长为y，y关于x的函数图象如图2所示，则当点P为中点时，的长为（   ） A．5 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，从函数图象中获取信息是解题的关键． 根据图2中点的实际意义可得∶当时， ，再根据图2中点的实际意义可得∶， ，然后在中，利用勾股定理可求出，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 解：解∶由图2可得∶ 当时，， 当点P的运动距离为0时，的长为6， 当时，． 由图2可得∶ 当时，， 当点的运动距离为a时，的值最大，最大为6， 当点P运动到和点B重合时，的值最大， ，， 在中，， ． ， ， 点P为的中点， ， ， 故选：D． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由作图可知垂直平分线段，由垂直平分线的性质，矩形的性质勾股定理可得，再证，得到，由此即可求解． 解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂直平分线及其性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合．掌握垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质是解题的关键． 【考点10】矩形的判定 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，D是的中点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的判定以及性质，三腰三角形三线合一的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出，有平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 解：（1）证明：∵， D是BC的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 2．（2024·广东深圳·三模）如图，要使成为菱形，下列添加条件正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定、平行四边形的性质、垂直平分线的性质、矩形的判定进行逐一判定即可求解． 解：A、当时，是矩形，故此选项错误； B、当时， ∵四边形是平行四边形， ∴与互相平分， ∴， ∴是菱形，故此选项正确； C、当时，是矩形，故此选项错误； D、当时，不能证明是菱形，故此选项错误； 故选：B． 【点拨】本题考查菱形的判定、平行四边形的性质、垂直平分线的性质、矩形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，点为边上一点，点为左侧一点，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的证明与性质和三角形的相似，熟练掌握矩形的证明与性质和相似三角形的性质是解题的关键，过点作，交于，则，再结合题意可得四边形为矩形，从而得到，再根据为正方形，得到，易证，可得，即，进而可得到答案． 解：过点作，交于，如图： 则， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∵为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点11】矩形的性质与判定综合 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，于点E，于点F，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，当等于多少度时，四边形是矩形？请说明理由，并直接写出此时的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）当时，四边形是矩形，理由见分析，此时 【分析】（1）先证明得到，再由垂线的定义得到，据此证明，得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）当时，四边形是矩形，利用三角形内角和定理得到，则可证明是等边三角形，得到，进而可证明，则四边形是矩形，在中，． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 即当时，四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 【点拨】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键． 2．（21-22九年级上·江苏常州·期中）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20，则的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，角平分线的意义，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点，并作出适当的辅助线是解题的关键．连接，过点O作，垂足为F，则，先证明四边形是矩形，设，再用含x的式子表示出，最后根据勾股定理求解即可． 解：连接，过点O作，垂足为F，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 设， ∵，的直径为20， ∴，， ∴， 在中，∵，即， ∴（负舍）， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在中，，，点D在上，且，点E是上的动点，连接，点F，G分别是和的中点，连接，，当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P，得到四边形、是矩形，结合勾股定理和等腰三角形性质可分别表示出线段、，进而推出、和的长，再根据建立等式求解，即可解题． 解：如图，分别过点G，F作的垂线，垂足为M，N，过点G作于点P，作于点P， 四边形、是矩形， ，， ∵，， ，， 又∵点G和点F分别是线段和的中点， ，， ，且， ∴，， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴，， 设， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得，即， 在中， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 【知识点4】菱形 【考点12】菱形的性质 1．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接 （1）求证：四边形是菱形： （2）若平行四边形的周长为，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识 ： （1）由平行四边形的性质得再证明，得出，证明出四边形是平行四边形，由得出四边形是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，得出． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴即 ∴ ∵为的中点， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形； （2）解：∵ ∴ ∵平行四边形的周长为22， ∴菱形的周长为： ∴ ∵四边形是菱形， ∴ 又 ∴是等边三角形， ∵． 2．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期中）若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（   ） A． B．8 C．50 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质．熟练掌握解一元二次方程，菱形的性质，是解此题的关键． 先求出方程的解，即可得出，根据菱形的性质求出和，根据勾股定理求出即可． 解：设菱形为，交点为O，, 解方程， 得或4， ∵菱形两条对角线的长度是方程的两根， ∴， ∴， 由勾股定理得：． 故选：A． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 【考点13】菱形的判定 1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论； （2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长． 解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，，点、、、分别是、、、的中点，顺次连接、、、，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．平行四边形菱形平行四边形 B．平行四边形矩形平行四边形 C．平行四边形菱形正方形平行四边形 D．平行四边形矩形正方形平行四边形 【答案】A 【分析】连接、，根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理可证得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定与性质、菱形的判定定理判断即可． 解：如图，连接、， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为矩形， 则， ，此时平行四边形为菱形， 在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是：平行四边形菱形平行四边形， 故选：． 【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，平行公理，平行四边形的判定，矩形的判定与性质，菱形的判定等知识点，熟练掌握三角形中位线定理，平行四边形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键． 3．（2024·西藏·中考真题）如图，在四边形中，，，与相交于点O，请添加一个条件 ，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定定理，由题干的已知条件可得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 解：添加（答案不唯一）， ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点14】菱形的性质与判定综合 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分． （1）求证：是菱形； （2）若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形． （1）根据平行四边形性质得出，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出，，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论； （2）连接，由菱形性质可知，，，在利用余弦求出长即可． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． （2）连接，交于点O，    ∵四边形是菱形．，， ∴，，， ∴， 即菱形的边长为5． 2．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知，①以点O为圆心，长为半径画弧，交于点，②分别以点、为圆心画弧交于一点，作射线，③过点作的平行线交射线与点，④连接；求线段的长（    ） A． B．16 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的作图、平行线的性质和菱形的判定和性质，根据题意得，则，则有，进一步得，即可判定四边形为菱形，则，结合已知即可得，有即可． 解：由题意得，，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， 则， ∵，， ∴，， ∴， 则． 故选：C． 3．（2024·江西南昌·二模）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点．分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点E，作射线．以点C为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点D，与射线交于点F，连接，．若，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】连接交于点．证明四边形是菱形，求出，即可由菱形的面积公式求银．． 解：如图，连接交于点． 由作图可知， 是等边三角形， ， 由作图可知平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ， 菱形的面积． 故答案为：． 【点拨】本题考查作图基本作图，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【知识点5】正方形 【考点15】正方形的性质 1．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱．摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形的底边取中点E，以E为圆心，线段为半径作圆，其与底边的延长线交于点F，这样就把正方形延伸为矩形，称其为黄金矩形．若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 设，根据题意得出，在中，由勾股定理，可得，代入数值并求解，即可获得答案． 解：设， ∵四边形是正方形， ， ∵点为中点， ， 又∵， ， ∴在中，由勾股定理，可得， 即， 整理可得， 解得：（舍去）， ， 故选：D． 3．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）正方形中，E，F分别是的中点，则 【答案】/0.6 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键． 连接，过点于点G，设正方形的边长为，由勾股定理得，，设，则，则由勾股定理得，那么，解得：，再由勾股定理求出，即可求解． 解：连接，过点于点G， 设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点16】正方形的判定 1．（2024·内蒙古·中考真题）如图，，平分，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点B作于点G，若，请直接写出四边形的形状． 【答案】（1）证明见详解；（2）四边形为正方形 【分析】（1）由角平分线的定义可得出，由平行线的性质可得出，等量代换可得出，利用证明 ，由全等三角形的性质得出，结合已知条件可得出四边形是平行四边形． （2）由已知条件可得出，由平行四边形的性质可得出，，根据平行线的性质可得出，，由全等三角形的性质可得出，等量代换可得出， 即可得出四边形为正方形． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由∵， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是正方形． 过点B作于点G， ∴， ∵四边形是平行四边形． ∴，， ∴，， ∴，， 由（1）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定，以及平行线的性质，掌握全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质和判定，正方形的判定定理是解题的关键． 2．（2024·重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（   ） A．对角线相互垂直的四边形是平行四边形 B．对角线相等且相互垂直的四边形是菱形 C．四条边相等的四边形是正方形 D．对角线相等且相互平分的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理、平行四边形的判定、特殊的平行四边形的判定，根据平行四边形的判定、特殊的平行四边形的判定进行逐一判断即可． 解：A、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是假命题； B、对角线相等且相互垂直的四边形是正方形，故原命题是假命题； C、四条边相等的四边形是菱形，故原命题是假命题； D、对角线相等且相互平分的四边形是矩形，故原命题是真命题； 故选：D． 3．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在四边形中，，，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是正方形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证四边形是矩形，再由正方形的判定即可解答． 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴需添加的一个条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 【考点17】正方形的判定和性质 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．     （1）求反比例函数的解析式． （2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到， 推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可； （2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标． 解：（1）解：作轴于点G，如图，          图1 ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，    ∴， ∵，， ∴， 设，则，解得：， ∴， ∴点C的坐标为， 代入，得； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当在A点右侧时：如图1中图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵平分， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F的坐标是． ，， 当在A点左侧时，如图2： 轴，的平分线交直线于点， 点纵坐标为2，， ， ， 点横坐标为， ， 综上所述：F或． 【点拨】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 2．（2024·贵州遵义·三模）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，求得，得到，求得， 根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 解：∵O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·重庆江津·模拟预测）如图，等腰的斜边的中点为D，，E是边上一点，连接，过点D作，交于点F．若，四边形的面积是9，则的长为 ． 【答案】4 【分析】过点D作于点G，作于点H，连接，根据等腰直角三角形的性质易证都是等腰直角三角形，得到，进而得到四边形是正方形，再证明，得到，由四边形的面积是9，推出正方形的面积为9，进而得到，由，求出，即可求解． 解：过点D作于点G，作于点H，连接， 等腰中，，点D为斜边的中点， ， ， 都是等腰直角三角形， ，， 同理得：都是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 四边形的面积是9，即， ， 正方形的面积为9， ， ， ，即， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角的判定与性质，正方形的判定与性质，直角三角形的特征等知识，正确作出辅助线，构造三角形全等时解题的关键． 篇二：压轴部分 【考点18】平行四边形为背景的压轴题 1．（2024·安徽·中考真题）如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】（1）见详解；（2）（ⅰ）见详解，（ⅱ） 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，在轴上，在轴上，，的长是方程的两个根．请解答下列问题： （1）求点的坐标； （2）若直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，直线交延长线于点，，求的值； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点（不与点重合），使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）2；（3）存在， 【分析】（1）结合，的长是方程的两个根，进行解方程，即可作答． （2）根据平行四边形的性质，得，再得出，结合直线分别交轴、轴、于点，，，且是的中点，得；；然后得出，是等腰直角三角形，得出，再证明，则，再证明是等腰直角三角形， 得，再运用勾股定理列式解得，再结合，得，代入数计算，即可作答． （3）根据点在直线上，使与相似，第一种是，第二种是，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答． 解：（1）解：由，得 ∴或 ∴，， ， ，， ∵在轴的负半轴， ； （2）解：∵，， ∴， ∵平行四边形的顶点，在轴上，在轴上， ∴，，， ∵是的中点， ∴， 则， ∵直线分别交轴、轴、于点，，， ∴令时，则；即； ∴令时，则；即； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∴把代入，得 即， 过点作于，过点作于， ，， ， ， ，， ， ∴是等腰直角三角形，，， ∴，     ∵点在直线， ∴， 解得， ∴， 同理证明是等腰直角三角形，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 整理得， ∴， ∵， ∴，则， 解得， 经检验：是的解． ∴， 则． （3）解：∵， ∴直线， ∵点在直线上，且，如图所示： 由（2）得出，则，， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， 设点P的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即， 则， 解得， ∴或， 如图所示： 即，， ∵点在直线上，， ∴只能，， 显然点不合题意； ∵点不与点重合，且，故不存在， 综上：． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，因式分解法解一元二次方程，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【考点19】中位线为背景的压轴题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． （1）求证：，； （2）将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________； ②求证：． 【答案】（1）见分析；（2）①；②见分析 【分析】（1）先证明得到，，根据直角三角形斜边中线性质得到，根据等边对等角证明，进而可证明； （2）①延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．先证明，得到，，进而，．证明得到，然后利用三角形的中位线性质得到，则，进而证明即可得到结论； ②根据得到即可得到结论． 解：（1）证明：在和中， ，，， ， ，． 是斜边的中点， ， ， ， ． ， ， ． ； （2）解：①； 理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点． ，，， ， ，， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ，，， ， ． 是中点，是中点， 是中位线， ． ， ， ． ， ． 故答案为：； ②证明： ∵， ， ， ． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线性质、平行线的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 2．（2024·安徽六安·模拟预测）在中，是的中位线，是的平分线，与交于点，连接． （1）如图1，求证：； （2）若． （ⅰ）如图2，求证：； （ⅱ）如图3，若，其他条件不变，求的值． 【答案】（1）见分析；（2）（ⅰ）证明见分析；（ⅱ） 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，，进而根据等边对等角得到，再根据三角形内角和定理证明即可； （2）（ⅰ）只需要证明，得到，即可证明 （ⅱ）先证明是等腰直角三角形，再证明，推出，则可证明，进而可证明是等腰直角三角形，则．证明，得到，由正切的定义，得． 解：（1）证明：是的中位线， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （2）（ⅰ）证明：由（1）知． ， ， ， ， 又， ， ， （ⅱ）解：如图，取的中点，连接，过点作交于点，则． ， 是等腰直角三角形， 平分， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ． 在中，由正切的定义，得． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 【考点20】矩形为背景的压轴题 1．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当P为的中点，，时，求的长； （3）如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）；（3），见分析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 解：（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点拨】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，平行四边形的对角线，相交于点，且． （1）证明四边形为矩形； （2）若，，求的面积； （3）点，分别是线段，上的点，若，，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）的面积为；；（3）的长为． 【分析】（1）先证明，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”即可证明结论成立； （2）利用正函数的定义求得，再求得矩形的面积，据此即可求解； （3）过点分别作的垂线，垂足分别为，等面积法证明，进而证明，，根据全等三角形的性质得出，，根据已知条件求得，进而勾股定理求得，进而即可求解． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴矩形的面积为， ∴的面积为； （3）解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得： ∴ 在中，， 在中，， ∴． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点21】菱形为背景的压轴题 1．（2024·四川资阳·中考真题）（1）【观察发现】如图1，在中，点D在边上．若，则，请证明； （2）【灵活运用】如图2，在中，，点D为边的中点，，点E在上，连接，．若，求的长； （3）【拓展延伸】如图3，在菱形中，，点E，F分别在边，上，，延长，相交于点G．若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，即可证明结论； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，解直角三角形得出，，证明，得出，求出，根据勾股定理得出，得出，证明，得出，求出； （3）连接，证明，得出，求出，证明为直角三角形，得出，根据勾股定理求出，证明，得出，求出结果即可． 解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作于点F，过点D作于点G，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； （3）连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，负值舍去， ∴， ∴， ∵， ∴为直角三角形，， ∴， ∴在中根据勾股定理得： ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题情境： 在数学实践课程中，教师引导同学们围绕“菱形纸片的折叠”主题进行探索．已知菱形，，点分别是边上的点，将菱形沿折叠．    猜想证明： （1）如图1，设对角线与相交于点，若点的对应点与点重合，折痕交于点．试直接写出四边形的形状； 问题解决： （2）如图2，若点的对应点恰好落在对角线上的点处，若，求线段的长； （3）如图3，若点的对应点恰好落在边上的点处，若点为的一个三等分点，设，求的面积（用含的式子表示）． 【答案】（1）四边形为菱形；（2）；（3） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据折叠的性质可知，，易得，进而证明四边形为平行四边形，然后根据“邻边相等的平行四边形为菱形”，即可获得答案； （2）过点作于点，首先证明为等边三角形，进而可得，，设，则，由折叠的性质可得，，在中，由三角函数解得，的值，进而可得的长度，然后在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （3）过点作，交延长线于点，根据题意可得，，在中，由三角函数解得，的值，设，则，，由折叠的性质可得，，在中，由勾股定理解得的值，然后根据三角形面积公式求解即可． 解：（1）四边形为菱形．理由如下： ∵四边形为菱形， ∴， ∵将菱形沿折叠，点的对应点与点重合， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形； （2）如下图，过点作于点，    ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 解得， ∴； （3）如下图，过点作，交延长线于点，    ∵点为的一个三等分点，且， ∴，， ∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∴在中，， ， 设，则，， 由折叠的性质可得，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和折叠的性质是解题关键． 【考点22】正方形为背景的压轴题 1．（2024·贵州·中考真题）综合与探究：如图，，点P在的平分线上，于点A． （1）【操作判断】 如图①，过点P作于点C，根据题意在图①中画出，图中的度数为______度； （2）【问题探究】 如图②，点M在线段上，连接，过点P作交射线于点N，求证：； （3）【拓展延伸】 点M在射线上，连接，过点P作交射线于点N，射线与射线相交于点F，若，求的值． 【答案】（1）画图见分析，90；（2）见分析；（3）或 【分析】（1）依题意画出图形即可，证明四边形是矩形，即可求解； （2）过P作于C，证明矩形是正方形，得出，利用证明，得出，然后利用线段的和差关系以及等量代换即可得证； （3）分M在线段，线段的延长线讨论，利用相似三角形的判定与性质求解即可； 解：（1）解：如图，即为所求， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 故答案为：90； （2）证明：过P作于C， 由（1）知：四边形是矩形， ∵点P在的平分线上，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：①当M在线段上时，如图，延长、相交于点G， 由（2）知， 设，则，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当M在的延长线上时，如图，过P作于C，并延长交于G 由（2）知：四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形，合理分类讨论是解题的关键． 2．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接．将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处． （1）当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由； （2）如图2，作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你写出与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）不会发生变化；理由见分析；（2）；理由见分析；（3）；理由见分析 【分析】（1）作于点M，作于点N，证明四边形是正方形，则．证明，则，即可证明； （2）证明四边形是矩形，，则则，四边形是正方形，则垂直平分BD，则，由旋转知：则，得到，由即可得到结论； （3）作交于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，得到，证明，由旋转知：则，证明是等边三角形，同理与都是等边三角形，则， 作于点M，则，得到，即可得到． 解：（1）的大小不会发生变化，始终有， 理由如下：作于点M，作于点N，如图， 四边形是正方形， ， 又 ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ； （2），理由如下： 四边形是正方形， ， ， ∴四边形是矩形，， ， 四边形是正方形， 垂直平分BD， ， 由旋转知： ， ， ，即， ． （3），理由如下： 如图，作交于点E，交于点G， 则四边形是平行四边形， ∴， 四边形是菱形， 垂直平分， ， 由旋转知： ， 四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， 同理与都是等边三角形， ， 作于点M，则， ，即， ． 【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定和性质、菱形的性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$