江苏省2025年九年级中考数学一轮复习专题09 圆练习

一轮复习——圆练习 1. （2023•扬州中考真题）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 　　cm． 2. （2023•宿豫区三模）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 　　cm． 3. （2023•宿城区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝　　． 4. （2023•常州二模）如图，⊙O的半径为2，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，则弦BC的长为 　　． 5. （2023•苏州中考真题）如图，在▱ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　　．（结果保留根号） 6. （2023•南京中考真题）如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 　　． 7. （2023•秦淮区二模）如图，正方形ABCD的边长是4cm，E是CD边的中点．将该正方形沿BE折叠，点C落在点C′处．⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，则⊙O的半径为 　　cm． 8. （2023·江苏宿迁·中考真题）若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ． 9. （2024·江苏徐州·一模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，若，则的长为 ． 10. （2023·江苏泰州·中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．    11. （2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ．    12. （2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）    13. （2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． (1)求证：四边形是菱形；(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．    14. （2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．(1)求的度数；(2)若，求的半径．    15. （2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 16. （2023·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． (1)求证：；(2)若，求的长． 17. （2023·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)在（1）的条件下，求证：．    18. （2024·江苏徐州·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）    (1)如图1，正方形网格中的圆经过格点A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心； (2)如图2，的顶点A、B在上，点C在内，利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使与相似； (3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以边上一点O为圆心作，使过点C，且与相切． 19. （2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一轮复习——圆练习 1. （2023•扬州中考真题）用半径为24cm，面积为120πcm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 　5　cm． 解：设圆锥的底面圆的半径为r cm， 则×2πr×24＝120π， 解得：r＝5， 故答案为：5． 2. （2023•宿豫区三模）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3cm的扇形，则这个圆锥的底面圆半径是 　1　cm． 解：展开图扇形的弧长l＝＝＝2π． 根据题意展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长， ∴这个圆锥的底面圆半径是＝1（cm）． 故答案为：1． 3. （2023•宿城区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠D＝62°，则∠BAC＝　28°　． 解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠D＝62°， ∴∠B＝∠D＝62°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝28°， 故答案为：28°． 4. （2023•常州二模）如图，⊙O的半径为2，OA⊥BC，∠CDA＝22.5°，则弦BC的长为 　2　． 解：如图，连接CO， ∵∠CDA＝22.5°， ∴∠EOC＝45°， ∵AO⊥BC，OC＝2， ∴CE＝2×＝， ∴BC＝2． 故答案为：2． 5. （2023•苏州中考真题）如图，在▱ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝．以点A为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r1；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r2，则r1﹣r2＝　　．（结果保留根号） 解：在▱ABCD中，AB＝+1，BC＝2， ∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝+1，AB∥CD． ∵AH⊥CD，垂足为H，AH＝， ∴sinD＝＝， ∴∠D＝60°， ∴∠DAH＝90°﹣∠D＝30°， ∴DH＝AD＝1， ∴CH＝CD﹣DH＝+1﹣1＝， ∴CH＝AH， ∵AH⊥CD， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∴∠ACH＝∠CAH＝45°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACH＝45°， ∴＝2πr1，解得r1＝， ＝2πr2，解得r2＝， ∴r1﹣r2＝﹣＝． 故答案为：． 6. （2023•南京中考真题）如图，⊙O与正六边形ABCDEF的边CD，EF分别相切于点C，F．若AB＝2，则⊙O的半径长为 　　． 解：连接CF，OC，OF，过D作DG⊥CF于G，过E作EH⊥CF于H， ∴EH∥DG， ∵EF，CD是⊙O的切线， ∴∠OFE＝∠OCD＝90°， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠FED＝∠CDE＝120°， ∴∠COF＝120°， ∵OC＝OF， ∴∠OCF＝∠OFC＝30°， ∴∠EFH＝∠DCG＝90°， ∵∠EHF＝∠DGC＝90°，CD＝EF， ∴△CDG≌△FEH（AAS）， ∴FH＝CG，EH＝DG， ∴四边形EHGD是矩形， ∴HG＝DE＝2， ∵EF＝CD＝2，∠DCG＝∠EFH＝∠OFE﹣∠OFH＝60°， ∴FH＝CG＝EF＝1， ∴CF＝4， 过O作OM⊥CF于M， ∴CM＝CF＝2， ∴OC＝＝＝， ∴⊙O的半径长为， 故答案为：． 7. （2023•秦淮区二模）如图，正方形ABCD的边长是4cm，E是CD边的中点．将该正方形沿BE折叠，点C落在点C′处．⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，则⊙O的半径为 　1　cm． 解：连接OG，OF，OH，延长BC′交AD于点M，连接EM，如图， 由题意得：△BC′E≌△BCE， ∴BC′＝BC＝4cm，EC′＝EC＝CD＝2cm，∠BEC′＝∠BEC． 在Rt△MC′E和Rt△MDE中， ， ∴Rt△MC′E≌Rt△MDE（HL）， ∴MC′＝MD，∠C′EM＝∠DEM， ∵∠BEC+∠BEC′+∠MEC′+∠DEM＝180°， ∴∠BEC′+∠MEC′＝90°， 即∠BEM＝90°． ∵EC′⊥BM， ∴△BC′E∽△EC′M， ∴， ∴， ∴C′M＝1， ∴BM＝BC′+C′M＝5，MD＝C′M＝1， ∴AM＝AD﹣MD＝4﹣1＝3． ∵⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H， ∴OH＝OF＝OG＝⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD， 连接OA，OB，OM， ∵S△ABM＝S△OAB+S△OBM+S△OAM， ∴AB•AM＝AB•OF+BM•OH+AM•OG， ∴4×3＝4r+5r+3r， ∴r＝1． 即⊙O的半径为1cm． 故答案为：1． 8. （2023·江苏宿迁·中考真题）若圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的母线长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了扇形的弧长的计算，设这个圆锥的母线长是，先求得扇形的弧长，再根据弧长公式即可求解，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设这个圆锥的母线长是，依题意得：圆锥的底面周长为：， 则展开后扇形的弧长为，即：，解得：， 这个圆锥的母线长是，故答案为：6． 9. （2024·江苏徐州·一模）如图，将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，连接，，根据折叠性质可得，，先证明为等边三角形，得到，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 扇形翻折，使点A与圆心O重合，，， 又，又，，为等边三角形， ，．故答案为：． 10. （2023·江苏泰州·中考真题）小明对《数书九章》中的“遥度圆城”问题进行了改编：如图，一座圆形城堡有正东、正南、正西和正北四个门，出南门向东走一段路程后刚好看到北门外的一颗大树，向树的方向走9里到达城堡边，再往前走6里到达树下．则该城堡的外围直径为 里．    【答案】9 【分析】由切圆于D，切圆于C，连接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案． 【详解】解：如图，表示圆形城堡，    由题意知：切圆于D，切圆于C，连接，∴，里， ∵里，∴里，∴， ∵，∴，∴（里）． ∴城堡的外围直径为（里）．故答案为：9． 【点睛】本题考查勾股定理，解直角三角形，切线的性质，切线长定理，关键是理解题意，得到，求出长即可． 11. （2022·江苏徐州·中考真题）如图，圆锥母线，底面半径，则其侧面展开图扇形的圆心角的度数为 ．    【答案】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得，解得：， ∴侧面展开图扇形的圆心角为．故答案为：． 【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握圆锥侧面展开图的相关知识是解题的关键． 12. （2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，，垂足为．以点为圆心，长为半径画弧，与分别交于点．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为；用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为，则 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】由，，，，，，，，求解，，证明，可得，再分别计算圆锥的底面半径即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，∵，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，， 解得：，，∴；故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，扇形的弧长的计算，圆锥的底面半径的计算，熟记圆锥的侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长是解本题的关键． 13. （2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，． (1)求证：四边形是菱形；(2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接，和底边相切于点，，       ，，， ，，和都是等边三角形， ，，，四边形是菱形； （2）解：连接交于点， 四边形是菱形，，，， 在中，，，， 图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积 ，图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 14. （2023·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，与相交于点．过点的圆O的切线，交的延长线于点，．(1)求的度数；(2)若，求的半径．    【答案】(1)(2) 【分析】（1）连接，根据为的切线，则，由，则，根据圆周角定理可得，又，根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，代入数据即可求解． 【详解】（1）如图，连接．  为的切线，． ，．，． ，． （2）如图，连接，，，． ，，且，， ，即，，，即半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，相似三角形的性质与判定等知识．正确作出辅助线是解题关键． 15. （2023·江苏徐州·中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系． (1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为 ； (2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）． ①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔． 【答案】(1) (2)①符合，图见详解；②图见详解 【分析】（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例可进行作图． 【详解】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为， ∴它们的面积之比为；故答案为； （2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可       由作图可知满足比例关系为的关系； ②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示： 【点睛】本题主要考查圆的基本性质及平行线所截线段成比例，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键． 16. （2023·江苏苏州·中考真题）如图，是的内接三角形，是的直径，，点在上，连接并延长，交于点，连接，作，垂足为． (1)求证：；(2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）分别证明，，从而可得结论；（2）求解，，可得，证明，设，则，，证明，可得，可得，，，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴， ∵，∴． （2）∵，，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，设，则，， ∵，，∴，∴， ∴，则，∴，∴，∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟记圆的基本性质与重要定理是解本题的关键． 17. （2023·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．(1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）(2)在（1）的条件下，求证：．    【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． 【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示．    （2）∵，∴． 又∵，∴，∴． ∵点在以为直径的圆上，∴，∴． 又∵为的切线，∴． ∵，∴，∴，∴． ∵在和中，∴．∴． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18. （2024·江苏徐州·一模）按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹）    (1)如图1，正方形网格中的圆经过格点A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心； (2)如图2，的顶点A、B在上，点C在内，利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使与相似； (3)如图3，利用无刻度直尺和圆规，以边上一点O为圆心作，使过点C，且与相切． 【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解 【分析】（1）根据圆经过格点A、B，且结合网格以及圆的对称性，得出为直径，则的中点，即为所求的圆心；（2）运用圆周角定理，先连接并延长交圆上于一点D，延长交圆上于一点E，再连接，即为直径，故，则，因为，即，则，所以，即可作答．（3）作角平分线，因为角平分线上的点到角的两边距离相等，满足过点C，且与相切，即可作答． 【详解】（1）解：该圆的圆心如图所示：       （2）解：如图：先连接并延长交圆上于一点D，延长交圆上于一点E，再连接， ∵为直径，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，即，则，所以， （3）解：∵利用无刻度直尺和圆规，以边上一点O为圆心作，使过点C，且与相切 ∴作的角平分线交于一点，即为圆心 如图：    【点睛】本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆的基本内容，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19. （2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论． 如图，已知，， 是的外接圆，点在上（），连接、、． 【特殊化感知】 （1）如图1，若，点在延长线上，则与的数量关系为________； 【一般化探究】 （2）如图2，若，点、在同侧，判断与的数量关系并说明理由； 【拓展性延伸】 （3）若，直接写出、、满足的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】（1）；（2）（3）当在上时，；当在上时， 【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点，则，设，则，分别求得，即可求解； （2）在上截取，证明，根据全等三角形的性质即得出结论； （3）分两种情况讨论，①当在上时，在上截取，证明，，得出，作于点，得出，进而即可得出结论；②当在上时，延长至，使得，连接，证明，，同①可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形，则 ∵是的外接圆， ∴是的角平分线，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴ 设交于点，则， 设，则 在中， ∴ ∴， ∵是直径，则， 在中， ∴ ∴ （2）如图所示，在上截取， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴，则 ∴ ∵四边形是圆内接四边形， ∴ ∴； ∵，， ∴是等边三角形，则 ∴， 又∵ ∴ 在中 ∴ ∴， ∴ 即； （3）解：①如图所示，当在上时， 在上截取， ∵ ∴ 又∵ ∴，则 ∴即 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 如图所示，作于点， 在中，， ∴ ∴ ∴，即 ②当在上时，如图所示，延长至，使得，连接， ∵四边形是圆内接四边形， ∴ 又∵ ∴，则 ∴即， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ 同①可得 ∴ ∴ 综上所述，当在上时，；当在上时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$