精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

华清中学高二年级下学期开学考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：黄红艳 校对人：高二数学组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可求得结果. 【详解】因为数列的前项和为， 则. 故选：C. 3. 复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先应用模长公式，再结合复数的除法运算，最后应用共轭复数概念得出虚部即可. 【详解】因为，即， 所以， 所以复数，故虚部为. 故选：C. 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量共线的向量坐标运算列式求得 或，再根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】向量，，由，得， 解得 或，由能推出 或成立，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的运算法则计算即可． 【详解】由，则. 故选：D. 7. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 12或24 【答案】C 【解析】 【分析】根据在处取得极值0可得，解出即可. 【详解】由题意知，，又在处取得极值0， 则，解得或， 当时，， 函数在R上单调递增，无极值，不符合题意； 当时，， 令或，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，符合题意， 所以，， 则. 故选：C. 8. 设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质得到，然后结合等比数列的通项公式解方程，最后利用求和公式计算. 【详解】解析：设公比为，因为，，成等差数列，所以， 则，解得或（舍）． 因为，所以，故． 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的公比为2 C. D. 数列为递增数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 依题意，，解得，则，，BC正确，A错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误. 故选：BC 10. 我国2024年3月至10月服务业生产指数当月同比增速依次为5.0%，3.5%，4.8%，4.7%，4.8%，4.6%，5.1%，6.3%，则（ ） A. 这组数据的众数为4.8% B. 这组数据的极差为2.8% C. 这组数据的25%分位数为4.6% D. 这组数据的70%分位数为5.0% 【答案】ABD 【解析】 【分析】把给定的数据由小到大排列，再利用众数、极差、百分位数的定义求解即得. 【详解】样本数据由小到大排列为：3.5%，4.6%，4.7%，4.8%，4.8%，5.0%，5.1%，6.3%， 对于A，4.8%出现次数最多，这组数据的众数为4.8%，A正确； 对于B，这组数据的极差为，B正确； 对于C，，这组数据的25%分位数为，C错误； 对于D，，这组数据的70%分位数为5.0%，D正确. 故选：ABD. 11. 已知曲线．（ ） A. 若，则E是一条直线 B. 若，则E是圆，其半径为 C. 若，则E是双曲线，其焦点在y轴上 D. 若E的离心率是，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，B，C直接代入结合直线，圆和双曲线分析可判断，选项D根据离心率小于可知是椭圆，化为椭圆标准方程后结合的范围由可求解. 【详解】若时，E即，表示直线y轴，A正确； 若表示圆，其半径为，故B正确； 若表示双曲线，且焦点在y轴上，故C正确； 由题意，E是椭圆，则且 当时，，故，所以，解得， 当时，，故，所以，解得，故D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式求函数值. 【详解】因为，，故. 故答案为： 13. 已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得，由三角形内角的关系得. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 故答案为：. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的面积可得，可得,利用双曲线定义可得，进而根据余弦定理求解. 【详解】设切点为,连接,过作， 则， 设则 ，故， ，故，进而可得， 由余弦定理可得，化简可得， 因此， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，再根据切线斜率为0计算求参； （2）先求函数的导函数，再求解函数的单调性进而得出函数的极小值即可. 【小问1详解】 由可得， 则， 由于，故， 【小问2详解】 ， 当或时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极小值为 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接. 因为，，则， 而，故. 在正方形中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面， 因为平面，故平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到面面. （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得切线的斜率为，利用导数的几何意义列方程求； （2）条件可转化为在上恒成立，再分离变量，结合基本不等式求结论. 【小问1详解】 设曲线在点处的切线的斜率， 直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，即， 又的导函数， 所以， 所以， 所以， 【小问2详解】 由若在上单调递增，可得在上恒成立， 由（1）可得在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，其中， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 18. 记是等差数列的前项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值； （3）求数列的前项的和． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，进而可求解， （2）根据等差数列求和公式可得，即可列不等式求解， （3）根据平方差公式，即可结合等差数列求和公式得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意知，，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 由可得，解得或， 因为，故正整数的最小值为. 【小问3详解】 因为， 所以 19. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【答案】（1） （2） 直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 【解析】 【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴. 【小问1详解】 设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或 ）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学高二年级下学期开学考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：黄红艳 校对人：高二数学组 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前 项和为，则（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 12或24 8. 设等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则（ ） A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在等比数列中，，，则（ ） A. 的公比为 B. 的公比为2 C. D. 数列为递增数列 10. 我国2024年3月至10月服务业生产指数当月同比增速依次为5.0%，3.5%，4.8%，4.7%，4.8%，4.6%，5.1%，6.3%，则（ ） A. 这组数据的众数为4.8% B. 这组数据的极差为2.8% C. 这组数据的25%分位数为4.6% D. 这组数据的70%分位数为5.0% 11. 已知曲线．（ ） A. 若，则E是一条直线 B. 若，则E是圆，其半径为 C. 若，则E是双曲线，其焦点在y轴上 D. 若E的离心率是，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数，则__________. 13. 已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为_______. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处的切线平行于轴． （1）求实数的值； （2）求函数的极小值． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，若． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的余弦值． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 18. 记是等差数列的前 项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的 的最小值； （3）求数列的前项的和． 19. 已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． （1）求的方程； （2）过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $